1、1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用问题引航1.利用定积分求平面图形的面积时，需要知道哪些条件?2.两条曲线相交围成的平面图形能否用定积分求其面积?定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f(x)在a，b上是连续函数，由直线y=0，x=a，x=b与曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：f(x)的符号平面图形的面积与定积分的关系f(x)0S=_f(x)g(x)，那么直线x=a，x=b与曲线y=f(x)，y=g(x)围成的平面图形的面积为S=_.1.判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)曲线y=sin x，x ，与x轴围成的图形的面积为sin xdx.()(2)曲
2、线y=x3与直线x+y=2，y=0围成的图形面积为x3dx+(2-x)dx.()(3)曲线y=3-x2与直线y=-1围成的图形面积为(4-x2)dx.()【解析】(1)错误，当x，时，y=sin x0，曲线y=sin x，x ，与x轴围成的图形的面积为sin xdx-sin xdx.(2)正确，曲线y=x3与直线x+y=2交点为(1，1)，所以围成的图形面积为x3dx+(2-x)dx.(3)正确，曲线y=3-x2与直线y=-1的交点为(-2，-1)，(2，-1)，所以围成的图形面积为(3-x2)-(-1)dx=(4-x2)dx.答案：(1)(2)(3)2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1
3、)如图中阴影部分的面积是_.(2)曲线y=x3与直线y=x所围成图形的面积为_.(3)抛物线y=x2-1与x轴围成图形的面积是_.【解析】(1)直线y=2x与抛物线y=3-x2的交点为(-3，-6)和(1，2)，设阴影部分面积为S，则S=(3-x2-2x)dx=3x-x3-x2 =答案：(2)曲线y=x3与直线y=x所围成图形的面积为(x-x3)dx+(x3-x)dx=2(x2-x4)=答案：(3)由得交点(-1，0)，(1，0)，则围成的图形的面积是S=|x2-1|dx=(1-x2)dx=(x-x3)=答案：【要点探究】知识点定积分在几何中的应用1.一条曲线y=f(x)和直线x=a，x=b(
4、ab)及y=0所围成的平面图形的面积如果f(x)在a，b上有时取正值，有时取负值时，且直线x=a，x=b，y=0与曲线y=f(x)围成的各个小曲边形的面积S1，S2，S3(如图所示)，那么f(x)在积分区间a，b上的定积分等于这些小曲边形面积的代数和，即有f(x)dx=S1-S2+S3.2.两条曲线f(x)和g(x)，直线x=a，x=b(ag(x)，曲线f(x)，g(x)，直线x=a，x=b围成的面积S=f(x)-g(x)dx.(2)f(x)0，g(x)0，面积S=f(x)-g(x)dx=f(x)dx+|g(x)|dx.3.对于不规则平面图形面积的处理原则定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非
5、规则的曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则的曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积.对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解.【微思考】(1)当f(x)0，xc，b，f(x)0，所以曲线y=cos x与直线y=0，x=，x=-围成的图形的面积为cos xdx.2.曲线y=sin x与直线y=0，x=，x=-围成的图形的面积为S=|sin x|dx=sin xdx=2(-cos x )=2.答案：23.由于曲线y=x2(x0)与y=的交点为()，而曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形(阴影部分)的面积为答案：【题型示范】类型一计算简单的平面图形的面积【典例1】(1)
6、由曲线y=x2-1，直线x=0，x=2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是()A.(x2-1)dxB.|(x2-1)dx|C.|x2-1|dxD.(x2-1)dx-(x2-1)dx(2)直线y=2x与抛物线y=x2-3围成平面图形的面积是多少？【解题探究】1.题(1)中，x轴下方的图形面积如何用定积分表示？2.用积分求两曲线围成平面图形的面积时，如何确定积分上限与下限？【探究提示】1.可以求|f(x)|的积分值，也可表示为：-(x2-1)dx.2.将直线方程与抛物线方程联立方程组求出交点的横坐标即为积分上下限，将平面图形的面积转化为定积分计算.【自主解答】(1)选C.y=x2-1将x轴下方阴影
7、反折到x轴上方，此时在0，1上定积分为正，故应选C.(2)由消去y，得x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，这是直线与抛物线交点的横坐标，如图，直线y=2x与抛物线y=x2-3围成平面图形的面积是S=2x-(x2-3)dx=(3+2x-x2)dx=(3x+x2-x3)=(33+32-33)-13+(-1)2-(-1)3=9+2-=【方法技巧】求函数图象围成平面图形面积的方法(1)画出两个函数的图象，先将两个函数方程联立方程组求解，得到函数图象的交点的横坐标a，b(af2(x).【变式训练】设f(x)在a，b上连续，则曲线f(x)与直线x=a，x=b，y=0围成图形的面积为()A.f(x
8、)dx B.|f(x)dx|C.|f(x)|dx D.以上都不对【解析】选C.当f(x)在a，b上满足f(x)0时，f(x)dx0)所围成的图形面积为a3，则直线l的方程为()Ay=ax B.y=axCy=-ax Dy=-5ax【解析】选B.设直线l的方程为y=kx(k0)，由得交点坐标为(0，0)，(2a+k，2ak+k2).图形面积S=kx-(x2-2ax)dx所以k=a，所以l的方程为y=ax.类型二计算较复杂的图形的面积【典例2】(1)由曲线y=2x-x2与曲线y=2x2-4x围成图形的面积为_.(2)求曲线y=与直线y=2-x，y=-x围成图形的面积.【解题探究】1.在题(1)中如何
9、确定积分区间？被积函数是什么？2.如何将图形的面积转化为定积分计算？【探究提示】1.解两条抛物线的交点得(0，0)(2，0)，其积分区间为0，2，被积函数为f(x)=6x-3x2.2.灵活确定积分变量与积分区间，转化为定积分计算.【自主解答】(1)由得x1=0，x2=2，由图可知，所求图形的面积为S=(2x-x2)dx+|(2x2-4x)dx|=(2x-x2)dx-(2x2-4x)dx=(3x2-x3)=4.答案：4(2)解方程组：及及得交点(1，1)，(0，0)，(3，-1)，所围图形如图中阴影部分所示，所以S=-()dx+(2-x)-()dx=(+x)dx+(2-x+x)dx=()+(2x
10、-x2+x2)=【延伸探究】若将题(2)中条件变为如图由直线y=x-2，曲线y2=x所围成图形，试求其面积S.【解析】由得x=1或x=4，故A(1，-1)，B(4，2)，如图所示：【方法技巧】求平面图形面积的步骤以及注意事项(1)步骤：画函数的图象，联立方程组求出曲线的交点坐标.将曲边形的面积转化为曲边梯形的面积.确定被积函数和积分区间，计算定积分，求出面积(2)注意事项：根据图形特点选择适当的积分变量：若公共积分区间在x轴上，选取x为积分变量；若公共积分区间在y轴上，选取y为积分变量，要把函数变形成用y表示x的函数.【变式训练】(2014太原高二检测)由曲线y=sin x，y=cos x与直
11、线x=0，x=所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是_.【解析】答案：【补偿训练】由两条曲线y=x2，y=x2与直线y=1围成平面区域的面积是_【解析】如图，在第一象限，y=1与y=x2交点A(1，1)，y=1与y=交点B(2，1)，由对称性可知面积答案：【易错误区】因被积函数及原函数确定不准确导致错误【典例】已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0，0)，B(，5)，C(1，0)，函数y=xf(x)(0 x1)的图象与x轴围成的图形的面积为_.【解析】根据题意，得从而得所以所求的面积为S=答案：【常见误区】错解错因剖析因处被积函数和处原函数确定错误导致面积错误.【防范措施】计算定积分的关键 当图象为折线时，对应的函数为分段函数，要分别来求.本例主要考查由分段函数的图象求函数式，考查定积分在计算平面图形面积中的运用.突出体现数形结合思想以及计算能力，求出被积函数f(x)以及函数F(x)的解析式是关键.【类题试解】(2013北京高考)直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()【解析】选C.l的方程是y=1，所求面积相当于一个矩形面积减去一个积分值：
