1、 1加强数学课堂的变式教学，提高教学有效性 潮州市湘桥区城基中学 林继森 摘要：在新课程标准背景下，为了每个学生都能获得良好的数学教育，不同的学生在数学上得到不同的发展。数学教师应当以学生发展为本，加强变式教学，想方设法创设教学情境，让学生主动参与到课堂学习中来，同时积极开拓学生思维，充分发挥学生学习的主观能动性，不断培养他们的创新精神，优化课堂教学。关键词：变式 有效 拓展思维 创新精神 义务教育数学课程标准指出：数学教学不应局限在一个狭窄的课本知识领域里。数学课堂教学上应用“变式教学”的方法是拓展学生思维空间十分有效的手段。所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化，即教
2、师可不断更换命题中的非本质特征；变换问题中的条件或结论；转换问题的内容和形式；配置实际应用的各种环境，但应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性。下面，结合自己的教学实践，笔者对数学变式教学谈几点看法。一、利用变式创设教学情境，激发学生学习积极性 教育学家乌申斯基说：“没有丝毫兴趣的强制学习，将会扼杀学生探求真理的欲望”兴趣是学习的重要动力。好的变式情境，就可以大大激发学生学习数学的兴趣和积极性。因此情境引入我们通过一些简单的变式来解决，设置一个悬念，把情境与课题巧妙有机的结合起来，吸引引发了学生的学习兴趣，调动起他们的主动性和积极性。如在学习分式的运算中，教师上课一开始展示
3、：=+3121 教师问：“我们是怎么运算的？”学生答：“先运用分数基本性质进行通分，化为同分母分数相加减，分母不变分子相加，结果等于 65”教师接着问：你们能计算=+b1a1 吗？那=+1111ba 呢？从而导出课题分式运算的课题。2又如学习整式的乘法第 3 课时多项式的乘法时，教师上课一开始展示：(a+b)c=_。师问：“它是运用了什么法则来完成的？”学生 1：“利用了单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去 乘多项式的每一项，再把所得的积相加。”学生 2：“利用分配律，也可以解决。”教师表扬评价。教师及时变式展示：（a+b）(c+d)=_。问如何解决呢？导出课题。通过经
4、过变式教学创设教学情境，学生明确了这节课的学习目标，思路上有所启发，能够积极引导学生对新课题进行积极探索，从而激发学生的求知欲和好奇心，激活了学生学习的主动性，提高课堂教学效果。二、利用变式教学深化基础知识，拓展学生的数学思维。著名的教学教育家波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个。”数学教学中，通过对一个基本问题的变式，引导学生运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法，探索问题的发展变化，使其在更深入、更透彻地理解问题的本质的同时拓展了数学思维1。而几何训练是学生对抽象思维培养的一种有效方法，能不断提高学生逻辑抽
5、象能力，和空间想象能力，保证思维的活跃。几何变式更能体现学生的应变能力，解题能力。再此基础上进行探究，可以培养学生的探究精神，激发学生浓厚的学习兴趣，提高课堂教学的效率。在进行相似三角形学习中引入 2011 年中考第 21 题作为例题进行教学。例：如图（1），ABC与EFD为等腰直角三角形，AC 与 DE 重合，AB=EF=9，BACDEF90，固定ABC，将EFD绕点 A 顺时针旋转，当 DF 边与 AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE、DF（或它们的延长线）分别交 BC（或它的延长线）于 G、H 点，如图（2）.（1）问：始终与AGC相似的三角形有 及 ；（2
6、）设 CGx，BHy，求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据 2 的情况说明理由）；（3）问：当 x 为何值时，AGH是等腰三角形？3 变式练习：如下图 1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，BAC=AGF=90，它们的斜边长为 4若ABC 固定不动，AFG 绕点 A 旋转，AF、AG 与边 BC 的交点分别为 D、E（点 D 不与点 B 重合，点 E 不与点 C 重合），设 BE=a，CD=b（1）请在图中找出两队相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；（2）求 ab 的值；（3）在旋转过程中，当AFG 旋转到如图 2 的位置时，AG
7、与 BC 交于点 E，AF 的延长线与 CB 的延长线交于点 D，那么 ab 的值是否发生了变化？为什么？这两道题解题思维的方式是一样的，本质不变，只是进行了一个的变式，培养学生的应变能力，同时检验学生是否完全掌握了旋转和相似三角形的证明。这一过程重点在于“变中求化”，即在变化中体现化归，突出基本的数学方式。通过变式让学生在原有认知的基础上得到升华，抓住旋转和相似的本质，同时也提高了学生学习的动态探究思维，更能进行有效地教学。三、利用变式教学加强问题学习，提高学生自主学习能力 新数学课程标准的核心理念是人人都能获得良好的数学教育，不同的学生在数学上得到不同的发展。在数学教学活动中，学生是数学学
8、习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。如何使学生成为学习数学的主人，是落 4在每个数学教师身上最为重要的问题。我们知道，传统的数学教学模式是以教师课堂教学为中心的，在一定程度上削弱或遏制了学生主动学习、主动探索的能力的培养。只有数学教师积极地教学转变教学观念和方式，千方百计加强教学研究，才能激发和培养学生的自主学习和自主探究的能力。因此，数学教师课堂上利用变式教学加强对问题的学习，提高学生自主学习能力的培养尤其重要。在学习全等三角形的时候，我有意加强对例题中问题的变式学习，从学生的反映来看，收到意想不到的学习效果，学生们更愿意主动地去学习，去探索并解决问题。例：如图（3）,在ABC
9、 中，C=90，AC=BC，过点 C 在ABC 外作直线 MN，AMMN 于 M，BNMN 于 N。求证：AM=CN （图 3）（图 4）变式练习：如图（4）,在ABC 中，C=90，AC=BC，过点 C 在ABC 外作直线 MN，AMMN 于 M，BNMN 于 N。求证：MN=AM+BN。像这样从问题入手，加强对问题的变式教学学习，正好印证了我国数学教育学家郑毓信先生关于变式教学的观点，他指出：我们更应强调变式的共同本质是“变化中求不变，求变以突出其中的不变因素”2。学生能够通过教师设计变式问题的学习，激发学习的热情，使学生更主动地参与课堂教学，从而提高了学生自主学习能力的培养。总之，在数学
10、课堂教学中，遵循学生认知发展规律，根据教学内容和目标加强变式训练，不仅能使学生全方位、多层次的的认识所学问题的本质，而且能使学生在亲自参与的教学活动中，增强了学生学习兴趣，提高他们自主学习能力，提高学生思维的整体性、严密性和创新性，从而达到提高课堂的教学效果，充分NMCBANMCBA 5的体现了新课程倡导的数学理念。参考文献：1：王峰.例题教学中要学会善于采“蘑菇”J.数学通讯 2011 年 02 期 2：郑毓信考试高压下的中国数学教育：现状与对策 J数学通报，2007年 05 期 设计多样化的作业模式，增强学生数学的学习力 湘桥区城西中学 陈淑玲 美国的未来学家阿尔温.托夫勒在 20 年前就
11、曾经预言：“21 世纪的文盲不是那些没有知识的人，而是那些不会学习的人。”在当今的竞争环境下，与知识相比更重要的是如何让所有的学生有效地学习，保持一种不断创新的能力，使学生成为“学习型的人”。通过实践，本人认为正确设计好学生作业，对于培养学生的独立作业的能力和习惯，发展学生的智力和创造才能有着重大意义。数学习题是组织数学学习训练的主要载体,也是教材中最有利于展现学生才能和创新能力的最具活力的部分。数学作业是学生完成数学学科学习任务的重要内容和手段,做作业是形成学生各种知识技能、提升学生数学思维能力的基本途径。因此,作业是初中数学教学的重要组成部分,据不完全统计,各种课型的练习环节和专门设置的练
12、习课占了整个课时的二分之一。然而,当前的各个层面的练习效果都收效甚微,教师往往只注重课堂教学的研究设计和实施,而忽视对作业练习的系统筹划和设计。种种问题的存在影响了作业练习的效果,练习单调机械,学生依旧陷于题海,学习负担依旧过重。因此，“精心设计数学作业,增强学生学习力的研究”成为一个亟待研究的课题,在把课堂作为主战场认真备课精心教学的同时,教师应把作业设计作为教学的重要环节来设计和把握,使教学与练习相互促进,增强教学实效。在这些年的教学实践中，我十分注重对学生数学作业的设计工作，并进行了一些探索。一、布置趣味性作业，促进学生的自主学习 新课程标准指出:“从学生熟悉的生活情境与童话世界出发,选
13、择学生身边的,感兴趣的事物,以激发学生学习的兴趣与动机”。学生对作业是否感兴趣,在很大程度上取决于作业的内容是否新鲜、有趣,他们对形式单调、内容枯燥的 6作业感到乏味,而更喜欢贴近生活、形式新颖的作业。因此,作业设计时,我们应从学生的年龄特征和生活经验出发,切入学生已有知识,设计出题型多样,方式新颖,内容具有创造性、趣味性和亲近性的数学作业。让学生感受到作业内容和形式的丰富多彩,使之情绪高昂,乐于思考,从而感受到做作业的乐趣。例如，在上完“二元一次方程组的应用”后可这样设计趣味性练习：一千零一夜中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽
14、子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了。”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？又如：当学生学完有理数的加、减、乘、除混合运算后，我设计了“二十四点”游戏题，让学生作业。题目如下：有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任意四个 113 间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用 1 次）进行加、减、乘、除运算，使其结果等于 24。如对 1、2、3、4 所作运算：（1+2+3）4=24 现有四个有理数 3、4、-6、10 运用上述规则写出三种不同方法的运算，使其结果等于 24。现有四个数 3、-5、7、-13 仍运用上述规则，
15、写出一种运算式，使其结果等于24。这样，学生在快乐的作业中，加强了“双基”，增强了阅读能力和按规律办事的意识。同时，我还充分发挥教材的优势并结合学生的实际，对作业题进行大胆地突破，让数学作业变得轻松、活泼。如在八年级数学教学中，当学生学完了勾股定理后，为激发学生的探究兴趣，设计了如下作业题：有一盖子封着的长方体盒子。如图所示：若按棱将这个长方体剪开，至少需要剪几刀，才能摊开铺成一个平面？今有一只蚂蚁从 A 点出发，沿着盒子的表面爬行到 B 点，请你为它设计一条最短路线？如果这个长方体的长为 5，宽为 3，高为 4，求这条最短路线的长？这些类型的题目极大地调动了学生作业的积极性，树立了数学来源于
16、实践的唯物主义观点，同时，也使学生充分认识到，身边处处有数学，只要仔细观察，潜心研究，人人都可以成为发现、发明创造的人，从而为国家的发展作贡献。二、设计分层作业，调动学生学习的积极性 义务教学阶段，学生水平参差不齐，层次高低不同，按照以往的大锅饭似的作业布置，有的不够吃，有的吃不下，刚性的作业要求实在不适合新课程的标准，7所以根据学生的不同情况，设计不同层次的作业，编排时由易及难，层层递进，让学生根据不同的需要选做，这样能使全体同学确信自己能行，以调动学生的积极性，促进全体学生的共同发展，如学习了二次函数以后，我给学生设计了如下作业：已知抛物线 y=x2+mx+m-5（1）求证：不论 m 为何
17、实数，抛物线与 x 轴都有两个不同的交点；（2）当 m 为何值时，抛物线与 x 轴的交点都在原点左侧；（3）当 m 为何值时，抛物线与 x 轴的两个交点间的距离等于 5？在这三个作业中，第一题我要求全体学生都要完成，在此基础上，根据学生能力的不同，自主选择完成第二、三题。这样一来，对于那些学习有困难的学生来说，在掌握基础知识的同时，减轻了他们的作业量，适量、适当的作业和练习要求，有效地帮助学生体会了成功的喜悦，培养了自信心，同时，学生又具有好强的心理，有的学生往往会知难而进，去跳一跳，摘到果子。这样才能真正体现“因材施教”的原则，才能让不同情况、不同程度的同学都得到提高、都感到满意。如果一概而
18、论，不考虑学生的实际情况，必然造成一些程度好的学生“吃不饱”，而基础不实、程度不高的学生“吃不了”的现象。一些学有困难的同学，对于一时没能理解或无法解决的问题不能真正理解，都会因种种原因不去向他人求教，最终只能是不做或者迫于教师的压力而抄袭他人的作业。三、设计开放性作业，激发学生的求异思维 每个学生由于知识水平不同，社会经历不同，对同一问题的理解和把握也各不相同，基于这一认识，新课程标准特别强调人人学有用的数学，不同的人学习不同的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。这就要求教师在设计练习时，从练习内容的选取到练习形式的呈现都可能让学生留有充分的思考余地。传统的练习设计有一个共同的特点，条件确
19、定，答案唯一，这样的练习有很大的缺陷，阻碍了学生个性的发展，时间一久往往造成学生思维的定势，对培养学生的创新精神和实践能力显然不利。因此，我们在教学时，应设计一些开放性的练习，给学生提供较为广阔的创造时空，激发求异思维。例如，我在上完“四边形”这一单元后，是这样设计课堂作业的：求证：依次连接四边形四边中点所得的四边形是平行四边形.变式 1：依次连接矩形四边中点所得的四边形是 .8变式 2：依次连接菱形四边中点所得的四边形是 .变式 3：依次连接正方形四边中点所得的四边形是 .变式 4：依次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是 .又例如，在上完“菱形”后可这样设计课后作业：如图,AE=AF,点 B
20、、D 分别在 AE、AF 上,四边形 ABCD 是菱形,连结 EC、FC。求证:EC=FC(要求用两种方法证明)。通过练习，既培养了学生思考问题的全面性，又培养了学生创新精神，而且使不同层次的学生都有所提高，人人都有收获。四、让学生相互设计作业，增强自主意识和合作交往能力 1、学生自己编题，激发学生的主观能动性 作业是巩固掌握所学知识的重要手段，也是学生进行能力训练的重要途径，因此作业的设计要发挥学生的主观能动性。数学新课标有一个突出的特点就是重视学生编题能力的培养，通过编题，不仅加深他们对所学知识的理解，又可以开拓他们的思维，丰富他们的想象力，提高他们的学习兴趣。例如，我上了“一元一次方程的
21、应用”之后，设计了如下练习：我们学校的环形跑道的周长是 400米，有甲、乙两个同学参加 1500 米长跑训练，他们的速度不同，他们都跑完了全程。根据这些条件，编出一道练习题，然后解答。根据学生编写的题目，评选其中的好题，印发交流，让他们体会到学习主人的感受，产生了得到老师认可的自豪感，激发了他们积极投入到创造性的学习中去。2、同学间相互设计，培养学生的合作交往能力 教育家孔子曾说过：“独学而无友，则孤陋而寡闻。”因此，教师在培养学生创新精神时，不仅要注重对学生的独立思考、相互竞争和自我内化的主体意识培养，同时还要注重对学生的相互沟通、合作攻关和伙伴交往的合作能力的培养。为此，在作业安排上，我让
22、水平在同一层次的同学相互结对，彼此给对方设计一些自己认为有意义的作业题，对方按要求完成后，再由双方共同批阅、探讨。由于受成就动机的驱使，同学们都会注重作业题的质量，使他们积极参与课堂教学，课后认真思考、准备。实际上，这一过程也是学生深挖教材的提高和知识的再生过程。通过这样的生生交流，使他们感受到了集体的智慧和温暖，较好地消除了学生对作业的枯燥和无奈。因此，教师要端正教育思想，转变作业观念，真正把学生当作学习的主体，把作业的主动权交给学生，让他们在交往中“学会学习”、9“学会生存”、“学会合作”。“教者有心，学者有益”，作业是课堂的延伸，在作业设计时务必少而精，形式多样，高质、高效、富有启发性。
23、这样的作业设计才符合新课程素质教育的精神，才能调动学生学习的主动性，挖掘学生的创造潜能，让学生有更好的自由空间进行创造活动，让他们感受数学学习的乐趣，不断提高数学的学习能力。参考文献：叶瑞祥论学习力-学生学习力理论与实践研究 哈尔滨工程大学出版社 2011 年 张仁贤教师如何设计作业与命题 天津教育出版社 2008 年 史益萍新课程（上）2011 年第 2 期 乐国华 远程培圳专题研修作业设计与学生评价2012 年 附件：中学数学教育优秀论文评选推荐表（以下内容必须全部填满，打印或用正楷填写，以免造成识别错误）论文题目 设计多样化的作业模式，增强学生数学的学习力 10 姓 名 陈淑玲 性 别女
24、 出生年月1978 年 3 月 作者单位 潮州市湘桥区城西中学 单位电话2288872 通讯地址 潮州市湘桥区南较西路 邮 编 521000 E-mail 移动电话13509898167 初中 高中 字 数 3735 论文内容摘要（200 字以内）：数学习题是组织数学学习训练的主要载体,也是教材中最有利于展现学生才能和创新能力的最具活力的部分。二、布置趣味性作业，促进学生的自主学习 二、设计分层作业，调动学生学习的积极性 三、设计开放性作业，激发学生的求异思维 四、让学生相互设计作业，增强自主意识和合作交往能力 作业是课堂的延伸，在作业设计时务必少而精，形式多样，高质、高效、富有启发性。这样的
25、作业设计才符合新课程素质教育的精神，才能调动学生学习的主动性，挖掘学生的创造潜能，让学生有更好的自由空间进行创造活动，让他们感受数学学习的乐趣，不断提高数学的学习能力。关键词：载体 促进 调动 激发 增强 11论文参评作者所在单位意见：参评作者所在单位：（公章）年 月 日 以下由所属市中数会填写 推荐意见：单位：（公章）年 月 日 参评序号 12新课标下数学思想的渗透 潮州市湘桥区锡华中学：陈宏锦 2012 年 1 月，教育部颁布了义务教育数学课程标准 2011 版。标准的“基本理念”部分指出，数学课程内容“不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法”。与此同时，标准的课
26、程总目标指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能：获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”这说明“数学思想”在标准中不仅作为课程的一个重要内容，也作为课程的一个基本目标。把“双基”扩展为“四基”，这一观点的提出，更加凸显了数学思想在义务教育数学课程中的重要地位。那么，如何在教学过程中做到这一点，自然成为数学教学所必须研究的一个重要问题。一、对数学思想的认识 1、数学思想与数学方法 所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。当应用数学思想解决问题时，需要有具体的操作程序，这样就逐渐形成了数学方法。数学思想与数学方法是密
27、不可分的，前者是后者的“源”，后者是前者的“流”。2、当前数学思想教学中存在的误区 教育虽然在不断地改革与创新，然而，由于多种原因，当前数学思想方法的教学发展并不平衡，存在不少误区，表现为：（1）重知识的记忆，轻思想的指引 在日趋激烈的升学竞争下，一些教师为应付考试，上课争分夺秒要求学生死记硬背概念、定理和公式，忽视对知识形成的理解，忽视对数学思想方法的系统指导。（2）重结论获取，轻过程探索 在当前教学中，重结论轻过程的教学弊端仍然存在。定义教学不讲它的概括 13过程；数学原理教学不涉及它的探索、发现过程；解题教学中，不少师生看重解题结果的正误，而忽视引结学生思考解题方法是怎么得到的。没有过程
28、，也没有联系，学生只能被动接受，不能主动思考，不仅不利于学生数学思维的发展，也不利于基础知识的掌握，更不要说良好认知结构的形成了。（3）重题型套路，轻思想方法的总结提高 受到片面追求升学率错误思潮的影响，有些教师为了提高学生的考试成绩，常用的做法是猜题、压题、抓题型，并归纳出每类题的特征及其解法，供学生依葫芦画瓢，按规定步骤训练求解。这种呆板的常规性工作，对于单纯的计算型数学题可能有用，但对问题情境开放的应用题却无能为力，是一种舍本求末的做法，不利于学生数学素养的提高。3、渗透数学思想的意义 作为数学老师，我们时常会思考：数学最终留给学生的是什么？当学生毕业之后走入社会参加工作，平时生活、生产
29、中用不到的一些纯数学知识随着时间推移可能在学生脑海中已逐渐模糊，但几年来培养而成的数学思想仍然受用。这些数学思想在科学思想方法方面给人以启迪，同时也培养了人的科学态度和科学习惯：目的的明确性，思维的条理性，行为的准确性，这些是所有职业的社会人才都不可缺少的，而数学课程的数学思想恰恰在这些方面起着重要的作用。二、新课标下数学思想的渗透途径 数学思想是通过数学知识的载体来体现的，对于它们的认识需要一个较长的过程，既需要教科书的渗透反映，也需要教师的点拨，最终还需要学生自身的感悟和理解。那么，作为教师，在教学实践中，如何渗透数学思想，充分体现新课标理念呢?我以为，只要对此有充分的认识与重视，那么，在
30、任何一个学段的教学过程中，都能以数学思想为主线把相关的数学知识串起来。下面以本人在教学实践中，如何渗透数学思想，体现新课标理念，谈谈本人的体会。1、渗透化归思想，促进知识迁移 所谓“化归”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。这体现了研究 14科学的一种基本思路，即把“不熟悉”迁移到“熟悉”的路子上去。我们也常把它称之为“转化思想”。可以说化归思想在初中教材中是贯穿始终的。例如：在教材有理数的减法、有理数的除法这两节内容中，教材让学生经历把有理数的减法、除法转化为加法、乘法的过程，学生在探索如何进行转化的过程，客观上就渗
31、透了化归的思想。又如解“二元一次方程组”以及标准中新增的选学内容“能解简单的三元一次方程组”都渗透了通过消元化归为“一元一次方程”；解一元二次方程渗透了通过降次转化为一元一次方程等等。再如在学习三角形内角和这个内容时，教学中最常见的教法是让学生动手操作或是学生在教师的提示要求下，用量角器先量出三角形的每个内角度数，然后相加，从而得出“三角形内角和是 180”这样的结论。如果按新课标的要求，我们不禁要问：学生除了获得这个结论外，还获得了什么？如果让学生认识其它诸如四边形、五边形等多边形的内角和，学生只能用动手量这一方法吗？因此在实际教学中，我只提供材料（大小不等的三角形和不同种类的三角形），由学
32、生主动去解决所面临的问题。这样，学生不但会用量角的方法（一种最简单的一般性方法），可能也会用剪拼的方法（一种数学中特殊的化归方法）。学生不仅仅获得了所要的结论，也掌握了一种数学思想化归法，为以后学习四边形内角和以及多边形内角和奠定了思维基础。2、渗透数形结合的思想方法，开拓学生的解题思路 数形结合是指运用“数”与“形”之间的一种对应关系来解数学问题的方法。在初中数学中，许多知识点都可以渗透数形结合思想。通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，优化解题途径。（1）以形助数 由于数和形是一种对应，有些数量比较抽象，我们难以把握，而形具有形象、直观的优点，能表达较具体的思维
33、，起着解决问题的定性作用，因此我们可以把数的对应形找出来，利用图形来解决问题。例如在八年级教材中，乘法公式的记忆是学生的一个难点。尤其是完全平方公式，学生往往写成222)(baba+=+，222)(baba=，使许多老师头痛。这 15个 问 题 可 以 通 过 图 形 解 释 帮 助 学 生 掌 握。在 推 导 完 全 平 方 公 式2222)(bababa+=+时，我构造它的直观模型（如下图），让学生先观察图形，并用等式表示下图中图形面积的运算：从而通过“数”与形的对照来验证公式的正确性和合理性。（2）以数解形 虽然图形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别对于较复杂的“
34、形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算。例：将如图的五个边长为 1 的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形【分析】这是一类很常见的问题如果单单从“形”的角度来思考，恐怕除了试验，没有其它更好的办法了但是如果我们先不忙考虑怎样剪裁，而是先从“数”的角度来算一下，我们不难利用面积算出剪拼出来的正方形边长应该是 5 现在我们只需要在图中找出来一段边长为 5 的线段，以此为一边作一个正方形（如图），我们就不难设计出各种剪裁方法了 所以，我们一定要通过课堂的教学、习题的讲解使学生充分地理解
35、数中有形、形中有数、数形是紧密联系的，从而得到数形之间的对应关系，并引导学生应用数形结合的思想方法学习数学知识、解决数学问题。3、渗透分类讨论的思想方法，培养学生全面观察事物的能力。b b 2bb2 b 16近几年的中考数学试卷中结合数学思想方法考查基础知识的试题比比皆是，其中分类思想方法及其应用的试题尤为多见。这类题目往往难度较大，得分率偏低，其原因就是学生不能按照可能出现的各种情况进行分类讨论。为了帮助学生克服这种状况，在教学中渗透分类思想是必要而有效的。在渗透分类讨论思想的过程中，我认为首先要培养学生分类的意识，然后才能在其基础上进行讨论。每个学生在日常生活中都具有一定的分类知识，如班级
36、的分类、性别的分类、文具的分类等。我们利用学生的这一认知基础，把生活中的分类迁移到数学学习中来，挖掘教材提供的素材，在教学中进行分类思想的渗透。比如：两个有理数的大小比较，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较。又如在研究加、减、乘、除四种运算法则，也是按照同号、异号、与零运算这三类分别进行研究的。初中课本中也有不少习题，需要分类讨论。在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。如七年级课本直线、射线、线段习题：点 A、B、C 在同一条直线上，AB3
37、cm，BC1cm，求 AC 的长。【分析】解这类题首先必须把题目中的信息转化为图形，由于题目没说明点C 的具体位置，所以本题有两种情况：一种为 C 点在 AB 线段外，一种为 C 点在AB 线段内。对于初学几何的七年级学生，大部分只画出一种情况（点 C 在线段AB 外），没有分类讨论的意识，这需要我们有意识、有计划地培育。又如八年级课本等腰三角形习题：已知等腰三角形一边上的高等于腰长的一半，求这个等腰三角形的顶角的度数。【分析】题中未说明：（1）一边上的高是哪一边上的高？（2）等腰三角形是锐角的等腰三角形还是钝角的等腰三角形？所以，应分成底上的高等于腰长的一半腰上的高等于腰长的一半，而此时等腰
38、三角形又应分为锐角的等腰三角形和钝角的等腰三角形两种情况。所以总共有如图所示三种情况：17 底边上的高 腰上的高 4、渗透建模思想，培养学生解决问题的能力 我们经常听到教师们抱怨，学生对实际应用问题总解决不好，在各级各类考试中得分率很低。这些现象的产生，固然有问题本身的难度所致，但更大的问题可能与我们对实际问题的教法有关。实际问题的教学，重点是什么？难点是什么？如何在抓住重点的同时突破难点？我认为，其教学关键是如何把题目中的有关元素（如数、量、物等）进行数学化处理，转化成数学元素，并将题目中涉及的关系用数学关系联结起来，建立起数学模型。在教学过程中，本人从以下几方面入手，用数学建模的思想，让学
39、生经历数学建模的过程，感受数学建模给自己带来的乐趣，增强了学生学习数学的兴趣。（1）以生动有趣的实例介绍建模方法，让学生体会建模思想 数学建模思想是一种比较抽象的思想，而人们认识事物的一般顺序又是从具体到抽象，所以在向学生介绍数学建模思想时，可以先向学生介绍哥尼斯七桥问题：18 世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有 7 座桥横跨河上，把全镇连接起来。当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。让学生通过分组讨论，尝试着解决这个问题。当学生议论纷纷，但总是没法得到最后的办法时，教师再向学生介绍瑞士数学家欧拉的方法：把问题中的点线之间的关系抽取出来
40、，把桥看成是“线”，把陆地看成是“点”，这样就把 18原来的实际问题转化成数学问题了，再用一笔画就可以解决此问题。（2）从课本原题出发，让学生感受建模乐趣 八年级轴对称P42 探究：如图，要在燃气管道 L 上修建一个泵站，分别向 A、B 两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？在教学中，我讲授课本的探究题后，把它当成一个模型，出示了以下练习，让学生通过练习知道它们都可以归结成课本的模型。如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点。连结 BD，由正方形对称性可知，B 与 D 关于直线 AC 对称。连结 ED 交 AC 于 P，则PB+
41、PE 的最小值是多少。如图 2，O 的半径为 2，点 A、B、C 在O 上，OAOB，AOC=60，P是 OB 上一动点，求 PA+PC 的最小值；如图 3，AOB=45，P 是AOB 内一点，PO=10，Q、R 分别是 OA、OB上的动点，求PQR 周长的最小值。（3）从生活中的数学问题出发，让学生感悟建模思想的应用 P P/BA B C DP2P1 19例：一位篮球运动员在距篮球筐下4米处跳起投篮，球的运行线路为抛物线，当球运行到水平距离为 2.5 米时达到最高高度 3.5 米，然后准确地落入篮筐，已知篮圈中心到地面的高度为 3.05 米，该运动员的身高为 1.8 米，在这次投篮中，球在该
42、运动员的头顶上方0.25米处出手，则当球出手时，请问他跳起的高度是多少？【分析】本题是一道生活中的实际问题，解决问题需要经过一定的数学加工，对学生运用所学知识解决实际问题有相当大的帮助。我们知道，数学建模的关键是如何将实际问题数学化。在该问题中，首先我们应将“人”和“篮筐”进行数学化处理：把“人”看作“一条直线”，而把人所站地面的位置、“篮筐的中心”及其在地面上的垂直投影看作“点”，然后把这个点和这条“线段”放到一个平面内，这样就可以选择合适的位置建立直角坐标系了。交给学生数学思想方法，犹如交给学生一把开启数学智慧之门的“金钥匙”，这就是人们所说的“授人以鱼，不如授人以渔”的道理。因为思维的锻
43、炼不仅对学生在某一学科上有益，更使其终生受益。站在“以学生发展为本”的角度上看，在教学中适时渗透数学思想将对培养学生可持续发展的能力有极大的好处，这难道不正是新课标下关注学生发展的理念吗?参考文献：义务教育数学课程标准（2011 年版）北京师范大学出版社 马复，凌晓牧 新版课程标准解析与教学指导 北京师范大学出版社 王林全 中学数学思想方法概论 暨南大学出版社 例谈数学教学中学生思维能力的培养 20潮州市金山实验学校 数学组陈燕曼 摘要：课堂中，学生是主体，知识是客体，教师是媒体，教师要实现主体与客体的有效链接，而这种有效的链接过程就是学生独立思维的过程，也是学生把知识转化为能力的过程.在数学
44、教学中，有意识多地培养学生的思维是形成学生独立思维的基础.本文借助例题就为何要培养学生的思维能力和如何培养学生的思维能力谈些做法和体会.关键词：思维能力 反例教学 规律探究 一题多变 一题多解 思维能力是指人们在工作、学习、生活中每逢遇到问题，总要“想一想”，这种“想”，就是思维.它是通过分析、综合、概括、抽象、比较、具体化和系统化等一系列过程，对感性材料进行加工并转化为理性认识及解决问题的.我们常说的概念、判断和推理是思维的基本形式.无论是学生的学习活动，还是人类的一切发明创造活动，都离不开思维，思维能力是学习能力的核心.心理学研究表明，思维活动一般是在大脑皮层印痕所积累的过去经验参加下，通
45、过联想而进行的，所以学生头脑中所积累的过去经验愈多，联想就愈丰富，思维便愈活跃.长期以来，数学教学中往往存在只重视教师的教，忽视学生的学的状况；注重“授之以鱼”，而忽视“授之以渔”.这种现象妨碍了学生独立思维能力的培养，不利于智力开发，人才造就.因此，作为一名数学教师应该尽最大的努力多方面去培养学生的思维能力.1.注重反例教学，培养学生思维的严密性和批判性 英国哲学家、科学家培根说过“数学使人周密”.数学是一门严密的科学，数学教材中的许多内容对学生思考问题的全面性与深刻性起到了很好的教育与训练作用，然而正是在这一点上同时也是学生思维的薄弱环节，学生往往非常容易遗漏一般问题中的特殊性质与关键环节
46、.此时教师设置恰当的反例或是引导学生考虑特殊的反例，便能很好的将这一难点解决.在几年的教学中，我会收集和保存学生作业、练习或试卷中因为考虑不周而出错的题目，在新一年的教学中，我会针对学生这些易错点，设置看起来正确，而实际上完全错误的解答，然后提问学生，恰当对学生进行点拨、启发，并探究、归纳出错误的根源，思考解题过程是否混淆了概念、是否忽视了隐含条件等，最后引导学生得出正确的结论.长此以往加于训练和培养，无疑对培养学生思维的严密性和批判性是大有益处的.例 1 关于 x 的方程06)32(22=+kxkx的两根之积是两根之和的 2 倍，求 k 的值.本例题是我在上一届（2011-2012 学年度）
47、初三数学单元考试题目中收集来的，当时 63 名学生中，出现以下做法的有 47 人，占了 70%以上.所以，本学期的教学中，我把当时学生的解答过程板演在黑板上：4,0k04)32(26)(26),32(,212221212212121=+=+=+=+kkkkkxxxxkxxkxxxx解得，整理得，则有和为解：设方程的两跟分别Q 21板演后，我用平常的语气说：“这道题目就被我们做出来了！你们是不是也这样做呢？”这个时候，台下很多同学都点头示意，表示赞成.我再用疑惑的眼神看了他们，“这样做就对了吗？再深入思考一番，看哪位同学能指出解答过程出现的问题？”在一阵寂静后，有几位学生发现问题并并举手，此时，
48、我提问其中一个学生，学生回答：把 k=0 代入原方程，得到方程0632=+xx，此时，=9-24=-150,显然，这个方程没有实数根.学生找出了错误的根源：运用一元二次方程根与系数关系的前提是应满足0.通过这一反例，不仅使学生豁然明朗，更能让学生对此问题留下深刻的印象，我特意留意了本单元中同类的习题，学生的正确率明显提高，效果明显.反例教学确实很好地训练学生思维的严密性与批判性.2.注重规律探究，培养学生思维的广阔性和深刻性 前苏联著名教育实践家和教育理论家苏霍姆林斯基曾经说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者.在儿童的精神世界里，这种需要特别
49、的强烈.”而我发现，在解答题目的时候，学生往往只注重快点得出结果，很少主动去观察探究，得出一些规律，这样便无法很好地开发思维的广阔性.所以，在教学过程中，我也有意识得培养学生思维的广阔性和深刻性.例 2 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，通过深入的分析，引导学生列出以下方程：81)1(1=+xxx 一般情况下，学生会急于去括号、移项、合并同类项，进而得到以下方程：08022=+xx，然后解这个一元二次方程，得出问题的答案.然而，如果我们教师也
50、跟学生一样的思路和一样的深度的话，那么这道题目就是一道很普通的题目，无法很好地启发学生进一步思考.所以，在课堂上，我并不急于去括号整理方程，而是通过恰当的变形：81)1(1=+xxx）（，提取公因式，得到：81)1(2=+x，在此基础上，我提出以下问题：经过三轮感染后一共有多少台电脑被感染？用含x 的式子表示.经过 n 轮呢？此时，学生自己动脑动手，得到第三轮被感染的电脑台数（用含 x 的式子表示）是221)1(）（xxx+，学生也通过观察式子，提取公因式进行变形，得出以下答案答案，经过三轮，一共有3)1(x+台电脑被感染，用同样的方法得出经过n 轮一共有nx)1(+台电脑被感染.在此基础上，
51、我又提问：把“如果一台电脑被感染”改为“如果两台电脑被感染”呢？学生开始新的探究，得到经过三轮，一共有 23)1(x+台电脑被感染，22经过 n 轮一共有 2nx)1(+台电脑被感染.在此基础上，我又提问：改为“如果有 a 台电脑被感染”呢？学生进一步思考演算，解决了以上的所有问题.这样的探究过程，循序渐进，符合中学生的认知规律，学生从中获得成就感和满足感，更重要的是，思维被拓展开了.3.注重一题多解、一题多变，培养学生思维的创造性和灵活性 著名的数学教育家波利亚曾形象的指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个.”创造的成功直接
52、依赖于努力钻研的坚韧程度.数学教学中由一个基本问题出发，运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法，探索问题的发展变化，使我们发现问题的本质.要注意主动地克服思维的心理定势，变中求进，进中求通，拓展学生的创新空间.教师结合典型例题，着意设计阶梯式的问题，引导学生的思维纵深拓展.例 3 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用 20m 长 的篱笆，能否围成一个面积为 32cm2的长方形场地？分析：设与墙平行的一边为 xm，依题意得 32)2021=xx（整理得 064202=+xx 解得 x1=4,x2=16 得到有两种围法：(1)与墙平行的一边长为 4m，与墙垂直的一边长为 8m;(2)与与墙平行的
53、一边长为 16m，与墙垂直的一边长为 2m;之所以会想到要把这道题进行变式是受到本题中括号里“墙的长度不限”这个条件的启发.既然墙的长度不限，那么，我就把墙的长度给出来，但数值不能随便给，要具有代表性，而且循序渐进，把握梯度.所以逐一给出变式.变式一：如图，利用一面长为 17m 的墙，用 20m 长的篱笆，能否围成一个面积为 32cm2的长方形场地？变式二：如图，利用一面长为 7m 的墙，用 20m 长的篱笆，能否围成一个面积为 32cm2的长方形场地？变式三：如图，利用一面长为 3m 的墙，用 20m 长的篱笆，能否围成一个面积为 32cm2的长方形场地？变式四：如图，利用一面长为 am 的
54、墙，用 20m 长的篱笆，能否围成一个面积为 32cm2的长方形场地？a 对本题的解起到什么作用？变式一中，给出墙的长度 17m，比 4m 和 16m 都大，所以得出的答案与原题是一样的，而这个过程，学生已经初步形成自己的思维和方法；变式二中，给出墙的长度 7m，此时，学生不难发现，第（1）种围法可以，而第（2）种围法因墙的长度比 16 小，所以无法实现；变式三中，学生也发现了，墙的长度 3m，比4m 和 16m 都小，所以这个时候无法围成满足条件的长方形.有了以上的三个变式，第四个变式水到渠成，学生很快能得出，能否围成满足条件的长方形场地受到墙的长度的限制，但是，变式四中，有一个难点：需要分
55、类讨论，课堂上，我先后邀请了 4 位同学回答，前边三位都没能完整答出来，分类出现重复或是缺漏，都只是答到其中的一点，第四位同学总结了前三位同学的分类，最后终于完整解答了这个问题.此时，学生口述，我板书：解：a 对本题解起到限制的作用 231）当 0a4 时，本题无解，此时无法围成满足条件的长方形场地；2）当 4a16 时，本题有唯一解，此时有一种围法：与墙平行的一边长 为 4m，与墙垂直的一边长为 8m;3）当 a16 时，本题有两解，此时，有两种围法：与墙平行的一边长 为 4m，与墙垂直的一边长为 8m 或与与墙平行的一边长为 16m，与墙垂直的一边长为 2m;这位学生口述完毕时，教室里也响
56、起了热烈的掌声.题目“一题多变”的变式过程，就把一道题演变成一类题，使学生学一个题，会一类题，做一道题会一串题，从而提高触类旁通解决一类问题的能力，培养学生思维的创造性.例 4 已知：如图，AECD，求A+B+C=?这道题难度中等，课堂上，很多学生都能在几分钟内解答这个问题，于是我提出要求“解这道题目的方法有好几种，看哪位同学在 10 分钟内能想出最多种解法？计时开始！”学生的竞争机制启动了.10 分钟过后，我通过让学生举手的方法了解班里各位学生解答方法的种数，除了个别同学做不出来外，最少的想出了 2 种，最多的想出了 5 种，我让解法最多种的一位学生一一讲出方法，并逐一给予点评和肯定，这位同
57、学回答后，台下有同学举手，补充了 1 种，所以一共出现以下 6 种解法：解一：:过点 B 向右引 AE 的平行线 BF，利用平行线的性质求解 解二：过点 B 向左作 HBAE，构造出一个周角 解三：延长 AB 交 DC 的延长线于点 F，后用三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和，从而求解.解四：连接 AC，利用三角形内角和等于 180 解五：连接 DE，构成五边形，后用五边形内角和进行解答 解六：反向延长 AE，CD，从而构成两个平角.这样通过“一题多解”的方式，有效地培养学生思维的灵活性.结束语：思维能力的培养途径是多种多样的，以上只是我在数学教学实践中某一角度的经验和体会.学生的思维能力
58、的培养过程，是一个长期的过程，这个过程中，教师就好比农民，把思维的种子播洒在学生的心间，每天为思维的种子提供充足的阳光水分和养分，促进这颗种子的发芽、生根、破土、成长，这个过程急不了，也没有任何捷径.但是，当这颗种子终于有一天在学生心里长成一颗独立的大树，学生便能独立思考问题，解决问题，他们真正拥有的是一种思考问题解决问题的技能，而非仅仅只是掌握一种技巧.参考文献 1.王小平.注重数学教学中的学法指导.中学数学研究 2.童其林.利用解题后的“再思考”，培养学生的思维品质.数学通讯 3.吴大勤.例谈变式在数学教学中的应用 4.百度百科中思维能力的定义 B D A E C 24 导学探索 培养能力
59、 潮州市金山实验学校 赖晓勤 近代的学习理论特别强调“教会学生学习”。数学教学过程，对于教师和学生来说，就是一个学数学、用数学的过程。教师的主旨应是通过这个过程让学生在发现问题、探索求解的活动中学习数学，加深对数学意义、功能的理解，树立学好数学的信心，学会数学的思维方式，提高用数学解决问题的能力和意识。教师的“导”体现在为学生创设一个好的问题环境，激发起学生的探索欲望，最终由学生“自立解决”面临的问题，并使获取的知识成为继续发现问题、获取新知识的新起点和手段，形成新的问题环境和学习环境的循环。教学过程导学探索是手段，培养能力是目的。一、实践从“做”到“悟”，培养动手探究能力 教学过程的“两主”
60、是有机结合的，教师的主导作用体现在创设问题环境，激发学生自主探索解决问题的积极性和创造性上，学生的主体作用体现在对问题的探索、发现解决的深度和方式上，由学生自主控制和完成。学生的学习只有通过自身的操作活动和再创造性的“做”，才是有效的。可以说，数学是“做”出来的。一个学生，没有活动，没有“做”，就不会形成学习。数学教学过程必须重视让学生亲身感受，动手操作，动口交流，在老师指导下，学生有目标地探索和高度自主地解决问题的过程，是形成学生良好认识结构的基础。数学教材每章每节的基础知识如概念、公式、定理，应尽可能地 25让学生动手“做”一下，探究“结论”产生的过程，并遵循从感性到理性，特殊到一般的认识
61、规律，“悟”出其“结论”来。例如，教师讲授在角形中位线定理时，作出如下安排：第一步，课前准备。要求学生课前各自备好三角形纸片。第二步，操作实验。在介绍三角形中位线定义之后，要求每一名学生将准备好的三角形纸片，沿着三角形的中位线折叠，再打开铺平得图（1）。第三步，观察思考。要求学生认真观察自己的三角 形纸片，并思考如下的问题：折痕把原三角形分划为什么图形？各有几个？学生通过讨论交流，明确折痕把原三角形划分为四个全等的三角形，它们的不同组合又组成三个面积相等的平行四边形。第四步，归纳、发现。思考：三角形的每一条中位线与其第三边有什么关系？学生很快根据平行四边形的性质得出，三角形的中位线平行于三角形
62、的第三边，且等于第三边的一半。从而得到“三角形中位线定理”。由上面的操作过程获得启发，只要在 ABC中构造平行四边形 BDFE，并利用三角形全等关系，即可证明定理。指导学生探究是让学生发现定理的发生过程，并遵循从特殊到一般的认识规律，不断为学生的思维活动创造“知识的最近发现区”，从而引起学生心理上的强烈期待与愿望，使学生思维由潜隐状态变为活跃状态，思维能力得到了培养和提高。二、创设“矛盾”情景，培养求真解疑能力 数学思维的一个重要特性是数学思维的问题性，“只有问题才是 26数学的心脏。”数学思维就是解决数学问题的心智活动。“学生的心智活动包含着互为前提、互为促进的认识结构和情意状态两个方面，激
63、发学生学习的动机、兴趣和追求的意向，加强师生间的情感交流，是促进认知发展的支柱和动力。”矛盾和困难是最好的教具，矛盾的魅力就在于把人吸引住，既让你乐在其中，又使你焦虑不安，却又欲罢不能，更重要的是它还能引起学生的好奇心。孔子说过，“疑虑，思之始，学之始。”有矛盾，才能使学生产生认知需要和认知冲突，从而引发学生积极探索思维。例如在课授分式方程时，设置如下情境：解分式方程=51x25102 x（1），教师在引导学生分析解题思路和方法后，师生共同得出解题过程。解：方 程 两 边 同 乘 最 简 公 分 母()()55+xx得 整 式 方 程 式 105=+x（2）,解得5=x 教师问：x=5 是原方
64、程的解吗？检验后发现，5=x时，方程（1）的分母都为 0，相应的分式无意义，因此，x=5 不是原方程的解。又问：致使 x=5 时，原方程的分母为零的原因是什么？（让学生讨论交流）此时课堂气氛活跃，同学讨论热烈，但一段时间过后，学生仍找不出原因，学生处于“心求通而未得，口欲言而未启”的状态，在这思维最佳的突破口上，教师及时点拨。教师问：x=5 是方程（2）的解吗？学生验算后答：是 27 又问：原方程的解呢？学生无言以对。紧接着教师作出下面推理，设x 是 原 方 程 的 解，则=51x25102 x且5,5 x 即 1=510+x且5,5 x，所以 x 不存在，即原方程无解。学生顿悟，由于解分式方
65、程（1）时，两边同乘以整式()()55+xx，变方程（1）为整式方程（2），未知数取值范围改变了。前者必须使分母不为零，后者没此限制，未知数取值范围扩大，可能会引起增根。又问，既然解分式方程去分母可能产生增根，那么解分式方程时，必须注意什么？学生答：检验 创设“矛盾”情景进行教学，既可使学生通过积极思维找出矛盾的根源，大彻大悟，又能使学生对这一知识点深刻领会，终生难忘。三、利用特殊思考，培养探索归纳能力 特殊思考是指从研究问题的特殊情况入手，发现和解决一般性结论的思维方法。特殊与一般是对立的，又是统一的，事物的普遍性存在于特殊之中，共性寓于个性之中，这是事物内部的辨证规律。特殊思考正是人们恰到
66、好处地利用这一辨证规律的一种创造。它反映了人们的认识过程是由个别（特殊）向一般推移，反过来由一般向个别迁移的过程。特殊思考是人们认识事物的普遍规律，是数学发展的动力。许多数学问题的发现都来源于特殊思考。著名的哥德巴赫猜想，就是在对特殊事例的观察、分析基础上猜想发现的。可以说没有特殊思考的归纳猜想，就没有数学的发现，特殊思考具有极其重要的发现功能，是推动数学发展的思维工具，中学数学教学中，不失时机地进行特殊 28思考的训练，有利于培养学生探索意识、提高探索能力。例如，在讲授勾股定理时，教师不失时机地指导学生运用特殊思考这一思维方法，归纳、发现定理。首先，从特例入手，为归纳结论凑足素材。()1 利
67、用地砖表面的构图方法，研究等腰直角三角形三边间关系，由图 2 可得,ABCASABs=220，ABCBSACS=220,ABCCSBCS=420,故222ACABBC+=。()2 借助方格纸，探究边长为正整数的直角三角形三边关系。设 图 3中 的 单 位 正 方 形 面 积 为 1，则 由 图 可 得，2222222,9132214,9,4baccSbSaSCBA+=+=又2121212212121,34253214,25,9111baccSbSaSCBA+=+=第二，归纳、猜想。设直角三角形的两直角边的长分别为,ba 斜边长为c，则由上述()()2,1可猜想得222bac+=。第三，利用周髀
68、算经中“赵爽弦图”及（2）的处理方法即可证得“勾股定理”。为体现特殊思考这一认识事物的普遍方法，中学教材为学生设置了不少可供学习观察场所，如“思考”“探究”等栏目，引导学生观察、分析，最后归纳出许多运算律、公式、定理或事物变化规律。有 29了特殊思考训练，学生计算能力、归纳解决问题能力跟着提高。四、利用“疑惑”、“问题”，培养辩解释疑能力 在常规教学中，教师可以结合学生易出现的错误，有意识地“误导”一下，让学生检错、挑毛病、找漏洞，从反面加深对错误的认识。当学生发现错误时，教师又要进行“引导”性的辩解，引起学生的批驳，使他们对错误的认识比较清楚。通过学生自己的讨论，培养他们独立思考和理论联系实
69、际的学风。并从中得到题外的收获。例如在等腰三角形教学中，学生曾习作问题。“已知等腰三角形有一个角等于o30。求其它两个角”题解有两种，甲方案认为：“其余两个角分别为o30 和o120”。乙方案认为：“其余两个角都是o75”究竟哪个答案正确？评讲时，教师让学生讨论交流谈看法。甲方代表说：我们视已知角为底角，由三角形内角和定理可得另两个角分别为 o30 和o120。乙 方 代 表 说：我 们 视 已 知 角 为 顶 角，则 两 底 角 均 为()ooo753018021=。接着，教师引导学生回味条件“一个角”的寄意，指出这个角可以是顶角，也可以是底角。其结果应为，当o30 角为底角时，其余两角分别
70、是o30 和o120；当o30 角为顶角时，其余两角均为o75。甲、乙两方同学思考问题不严密，以偏概全。通过讲评，学生既发现错误，又纠正错误，还学到分类讨论解决问题的新方法。在数学教学中，有意选编一些迷惑性题目，使学生犯错，再通过师生合作交流，从反面或侧面引起他们的注意和思考，激发他们自觉 30学习探究。“评讲”不要总是把教师扮成正确的化身，教师不要总是“拔乱反正”，有时还可以买个破绽，让学生“攻击”。“评讲”过程应立足于学生对问题的分析，对问题过程的理解，不应以仅仅有“正确”答案为满足。应以提高学生的解疑能力为目标。五、渗透开放题教学，培养探索创造能力。数学开放题是相对于传统题条件完备、结论
71、确定的封闭题目而言，是指那些条件不完备、结论不确定的教学问题。如问题，在于 ABC中，o90=ACB,CDAB 于 D 点，求 AC 的长度。这里的条件不完备,给法较多，现仅考虑每次给出两条边长的情况，除 AC 边外在，图中共有 AD、DB、AB、CB、CD 五条边可供选择，有1025=c种情况，即（1）AD、CD；（2）AB、CB；（3）AD、AB；（4）AD、DB；（5）AB、DB；（6）CD、DB（7）CB、DB；（8）AB、CD；（9）CB、CD；（10）AD、CB。已知（1）或（2）时，直接应用“勾股定理”；已知（3）、（4）、（5）时，直接用“射影定理”；已知（6）、（7）、（8）
72、、（9）时，用有关定理两次才能解决，这说明此四种情况的已知与结论的距离远些；已知（10）时，须用一元二次方程知识和“勾股定理”或“射影定理”才可求 AC，即题目的已知与结论距离更远了。本题是已知条件发散。首先，用“穷举法”列举各种条件的可能性，再让求 AC 的思维过程在多种的解题途径暴露无遗，这有利于学生在观察、比较中寻找思维的差距，在总结、归纳中提高思维水平。DBCA 31开放题按其思维形式和题目未知要素，可划分为：条件开放题、策略开放题、结论开放题和综合开放题四种类型。在解决开放题的过程中，或可能引出新问题，或可能引伸出更一般的问题。其中好多事情是意料之外。在开放题的解答过程中，往往没有固
73、定的、现成的模式可循，仅靠死记硬背、机械模仿不可能找到问题的解答。学生必须充分调动自己的知识储备，积极开展智力活动，从多角度、用多种思维的方法进行思考和探索。在这种教学环境中，学生不再是知识被动的接受者，而是知识主动发现者、探索者和研究者，学生不仅是学数学，而是“搞”数学。所以，渗透开放题型教学是培养学生探索能力和创造能力，并形成正确的科学态度的有效工具。成功的教学，必须把学生看成“发展中的人”。而不是知识的容器，让他们能在老师和自己设计的问题环境中，通过逐步自主的“做”和“悟”，学会学习，学会创造，从而学会生存，学会发展，这是每一个教师的使命和责任。只有教师有创造力，才能激发学生的创造欲。只
74、有教师自己不断学习，自主地钻研和探索教学规律，才能使学生刻苦学习，积极进取，只有在充满生命活力与和谐气氛的教学环境中，师生共同参与、相互作用，才能磨擦出知慧的火花，结出创造之果。对“自主学习法”课堂教学模式的运用与思考 饶平龙湾慈云中学 吴利春 当今时代，科技迅猛发展，知识更新换代频繁，充满了激烈的竞争。“教学生学会学习”已成为各国教育的热门话题。美国教育家珍妮特沃斯和新西兰著名记者戈登德莱顿合著的学习的革命通向 2l 世纪的个人护照中写道：“全世界在争论着这样一个问题：学校应该教什么?，在我们看来，最重要 32的应当是两个科目：学习怎样学习和学习怎样思考，我们认为，怎样学习比我们学习什么要重
75、要得多。”因此，培养和提高学生的自主学习能力，是时代的需要，是切实提高数学教学质量的需要，也是培养现代人素质的需要。自主学习法是指学生在教师的指导下进行自学,获得书本知识,发展能力(特别是自学能力)的一种教学模式。进入初中的学生已具备一定的自主学习能力，教师的任务是帮助学生提高自主学习的效率，让学生学会积累知识，沉淀方法，分析并解决问题。在这一模式中,学生通过自学进行探索、研究，教师则通过给出自学提纲,提供一定的阅读材料和思考问题的线索,启发学生进行独立思考。这种模式的特点是学生的自主性、独立性强，可以让学生在自学中学会学习,撑握学习方法。让学生主动参与,加强师生间的交流,有计划的实现教学目标
76、。在新课标理念的指导下，笔者谈谈教学中的体会：一、提供自主学习的目标，增强自主参与意识 目标导向意在置学生于学习主体的地位，通过呈现学习目标让学生明确本课要学习的内容和需要达到的程度，进而围绕目标带着问题积极、主动地参与学习活动。在教学过程中，还要扩大教学环节的具体要求，通过过渡语、小黑板或幻灯片等形式使学生明确每个教学环节的具体目标。例如，我在教学新人教版八年级数学（下）18.1 勾股定理时，就给出以下的教学目标：1.探索直角三角形三边关系，掌握勾股定理的运用思想，发展数学思维；2.经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识；3.通过对勾股定理的历史的了解，感受数学文化，
77、并体会勾股定理的应用价值。目标导学的根本在于：把学生推到探究新知的“第一线”，让学生自己动手、动口、动脑，主动思考问题，并在探究新知的过程中，暴露他们感知理解新知的矛盾和差异，把他们弄不懂的地方、错误的地方都摆在桌面上，再引导他们通过独立思考，摒弃错误，发现真理，实现由感性认识到理性认识的转化。这样，通过活动，让学生自己发现要学习的东西，能够积极地被同化，因而容易得到更深刻的理解。二、指导自主学习的策略，提高自主学习能力 33初中阶段的学生受心理和知识基础的限制，缺乏必要的学习方法，不能做到完全自主。这就需要老师引导学生掌握必要的学习方法，提供必要的自学指导。自学指导是学案设计的中心环节，要在
78、“指导”二字上做文章，即必须让学生知道干什么？利用什么工具资料怎么干？多长时间以后将以什么样的方式检测、展示学习的效果等。自学板块式设计要考虑知识的完整性，问题的设计要具体，可操作性要强；由浅入深，由易到难。例如，我在教学新人教版八年级数学（下）19.1.2 平行四边形的判定（1）时，给出以下的自学指导：请同学们认真学习 P86-87 练习前的内容，并思考：（1）通过动手探究，你能验证命题 1、命题 2 吗？（2）你能利用三角形的全等，根据平行四边形的定义证明它们吗？请写出证明过程。（3）例 3 运用了平行四边形的哪些性质和判定？你还有其他证明方法吗？请写出来。学生自学时要注意两个问题，（1）
79、不要发现问题就开始讲，这样会干扰其他同学的自学，要让学生安静地、独立地完成自学过程。（2）教师利用这个时间巡视，解决学生自学过程中出现的问题，并通过观察、个别询问等形式发现学生在自学中暴露出的疑难问题，并把主要的倾向性问题进行梳理、归类，为下一步调整课堂进程和调整精讲点拨的内容寻找依据。三、营造自主学习的氛围，提高自主学习效率 创设民主和谐的课堂教学氛围，使学生勤于动脑，善于发言。心理学家指出：人在情绪低落的时候，想象力只有平时的二分之一甚至更少。因此只有在宽松、民主的教学氛围中，学生的创造性思维才能得到最大限度的发挥，这就需要我们教师能在数学课堂上建立亲和的对话平台，沟通对话渠道，可以聆听学
80、生的见解，并能适时地给以赞同表扬或指正他们的观点。学生在我们的数学课堂上不应该仅仅是学习活动的接受者，而应该充分体现主体地位的作用，积极参与到一个新知识形成的思维过程中，学会独立思考。34同时，数学教学是抽象思维活动的理性教学，应针对教材特点，大胆改革45 分钟的时间分配，提高自主学习效率，把大部分时间留给学生去思考、去讨论、去探究、去练习。具体的方法有：1、讨论式。讨论是充分实现师生间、学生间互动作用的有效方式。例如，在二次函数的图像与性质的新课教学中有这样一题：已知点 A（-4，y1），B（2，y2）和 C（-1，y3）都在二次函数 y=x2+5 的图像上，比较 y1、y2、y3 的大小。
81、学生在自主探索中，我观察到学生解此题的方法主要有两种，一种是学生把横坐标的值代入解析式分别求出 y1、y2、y3的值，结果得到 y1y2y3；另一种是学生利用二次函数图像的性质。因为 214，所以 y1y3y2。看到这种情况，于是我请了这两种方法的学生代表，并且是平时数学成绩很好的两名同学甲、乙上台板演他们的解题过程。这么一板演，下面的学生就议论开了，两名优秀的同学用了两种思路解出了截然不同的结果，学生都愣住了。“甲做的没错，乙做的似乎也有道理。究竟谁对谁错？错在哪里？”一石激起千层浪。学生通过小组讨论最终找出了乙同学做错的根源。原来二次函数图像的性质是“当 a0时，在对称轴的左侧，y 随 x
82、 的增大而增大;在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小”。由于 A，B，C 三点不都在对称轴的同一侧，所以不能用同一侧的增减性质来解此题。然后我肯定了甲同学的做法，同时也肯定乙同学的想法。这次小组讨论就解决了学生对二次函数图像的性质理解不透彻的问题。最后让同学们一起帮助乙同学改正错误，学生通过讨论能够得出，只要找出点 B 的对称点的坐标（-2，y2）就可以利用二次函数图像的性质比较 y1、y2、y3的大小。让每个学生亲历讨论的过程，获得解疑释惑的体验。这种良好的课堂习惯对学生而言意味着心态的开放、主体地位的凸现、个性的彰显、创造性的解放，对教师而言意味着与学生分享理解，是生命的活动，专业所长
83、，自我实现的过程，教师在成就学生的同时也成就自己。2、探究式。教学过程中，要积极创造条件让学生自己去探索、去发现，领略知识形成的过程。如我在三角形的内角和的新课教学时，为了让学生在实践中直观地获取知识，培养学生的思维，采用了如下程序：（1）度量：让学生用量角器度量三角形三个内角的度数，然后计算出这三个内角的总和。（2）思考：所有三角形的内角和都是 180吗？（3）动手探究：用拼合或折叠的方法。35拼合的做法:在纸上画一个三角形并将它的三个内角剪下，然后在一个顶点把它拼合起来；折叠的做法:把三角形三个内角往同一条边折叠。通过拼合或折叠的方法，都能够说明三角形的内角和是 180。（4）推理证明：已
84、知：ABC；求证：A+B+C=180。综上都能够得到的结论是：三角形的内角和是 180，“三角形内角和”定理的得出水到渠成。（5）应用举例：由教者引导，学生讨论并独立完成作业。这样引导学生亲自动手实践，积极参与发现，激发了学生的思维，使学生对“三角形内角和”定理的产生过程真正做到了心领神会，也从亲历过程中获得新知，并在成功的体验中建立起学习数学的乐趣。在大力实施素质教育的今天，课堂教学革故鼎新对教师来说就是要走出传统教学的模式，以学生为主体，千方百计地调动学生的内因，激励学生积极参与，把课堂变为师生共同创造的场所，努力摒弃“教师唱主角”的课，“见书不见人”的课。让每一个学生都成为学习的参与者、
85、实践者、研究者和探索者，让课堂真正成为学生赏心乐学之所，奇思妙想之处。而自主学习法不仅打破了传统的满堂灌、注入式的教学方法,而且从单纯的灌输知识技能转向着重培养自学能力，使学生由“学会”变为“会学”，适应了素质教育的要求。新课标初中数学有效课堂教学的若干思考 饶平县海山第二初级中学沈振鸿 摘要：课堂教学质量如何，将直接关系到学生数学基础知识和基本技能的掌握，能力的发展，兴趣的培养以及情感态度价值观的培养等等。而实施素质教育的关键就在于提高课堂教学效率，那么如何提高数学课堂教学的有效性，促进每一个学生的能力得到全面的发展呢？在新课标的理念指导下，本文就学习兴趣、优化思维、练习训练、评价和反馈等环
86、节做了探讨。关键词：课堂教学；学习兴趣；优化思维；练习；评价和反馈 初中数学课堂教学是一种有计划、有目的、有组织的学习活动。抓住了课堂、提高了课堂教学效益，就把握住了提高数学教学质量的关键。而教师是课堂教学活动的组织者、引导者和合作者，教师能动性的发挥直接影响着课堂的进程和质量。因此，在新课标下的教学改革中，数学教师就应当不断地去研究课堂教学，改进课堂教学，精益求精，使课堂教学的质量日益提高。结合自己九年来的教学实践，在新课标的理念的指导下，下面谈谈有效提高课堂教学的若干思考。一、激发学生学习兴趣是有效课堂教学的前提“兴趣是最好的老师”。兴趣是学生有效学习的动力源泉，而激发学生学习数学的兴趣是
87、有效课堂教学的前提。学习数学的兴趣，是学生对数学对象和学习数学活动中的一种力求趋近或认知的倾向。浓厚的学习兴趣，是学好数学的重要 36因素。学生学习兴趣的形成是复杂的，是在数学课堂学习中，一点一滴逐渐培养起来的。（一）设计悬念，诱发好奇，培养学习兴趣。悬念可在课的导入，也可在课的结尾。导入悬念是中心，但时间不宜过长，否则学生会厌烦、精神不集中，就不能引起学生好奇，激发学生兴趣。课的结尾的悬念是下一节课的中心，即打下伏笔，给学生一个想象的空间余地。例如，在讲授幂的运算之前，我是先讲述这样一个问题：“一张纸，对折 50次，有多厚？1 米？10 米？100 米？你决不会想到：它比喜马拉雅山还高！说出
88、来让人难以相信，但算一算确实比喜马拉雅山还要高得多得多。”采用这样的导入，使学生感到无比惊讶，这时教师顺势导入幂的运算，学生就会有强烈的求知欲望和学习兴趣。（二）揭示教材中所含的美学因素，提高学生审美情趣和能力。数学中有许多审美因素，如数式的和谐，图形的对称，数学的规律，独特的解法，奇妙的技巧都体现出了科学美。教师在课堂教学中，应揭示和利用教材中的美学因素，来激发学生好奇和兴趣。如在中心对称图形的课堂教学中，我就先通过线段和平行四边形，这两个最基本的数学图形引入中心对称图形的概念后，然后让学生联系生活中的中心对称图形，如电视台的台徽、广告商标、汽车标志、银行标志、工艺品（如地毯，挂毯）、阿拉伯
89、数字、大写的英文字母等等，让学生体会到生活中的对称美，发展学生的美感。（三）挖掘教材中贴近生活的素材，调动学生的学习主动性和积极性。数学教材中，有许多新颖、生动、有趣的例题；有许多设计奇妙的习题；有许多奇妙、趣味的叙述章节；有许多论证严谨的定理；有许多历史典故、名人轶事；有许多与日常生活密切关联的图片和图形、高科技新成果等。在教师的精心组织和编排下，都可以成为沟通教师和学生之间感情交流的媒介，也可以成为引出抽象数学问题的导线。教师应用形象生动有趣的语言来讲授，唤起学生浓厚的学习兴趣，使课堂教学生机盎然，有声有色。以勾股定理为例，在这节课的教学中，我们可以用数学家的故事来引入。先操作投影仪，讲述
90、毕达哥拉斯的故事，引导学生观察图片，发现问题，激发兴趣。然后，通过教师提问，引导开展师生双边活动，以巩固兴趣。最后，引导探究勾股定理，得出结论，肯定学生的课堂活动，发展兴趣。二、优化思维能力是有效课堂教学的关键 培养学生的数学思维能力是数学教育的核心问题，而激发学生积极的思维活动是有效课堂教学成功的关键。（一）注重概括能力的培养 从中小学数学学习过程的整体上看，就是一个以数学概念系不断发展和深化为基本线索的循序渐进、螺旋上升的概括过程。在课堂教学中，加强概括能力的培养是数学学习的内在要求，也是培养数学思维能力的根本措施。教师可以从以下两方面来培养学生的概括能力：首先，加强数学概念、原理的形成过
91、程。让学生经历分析具体例证的共同本质特征，从而概括出概念全过程，给学生独立自主地概括数学概念的机会，从而培养学生的概括能力。其次，加强不同知识之间联系性，引导学生研究当前学习内容与已有相关知识之间的联系，讨论不同知识互相解释、表示的方法，其中，数形结合，相互化 37归是培养学生概括能力的重要措施。（二）用问题引导学生，启发思维。问题是思维的起点，也是思维的动力。课堂教学中，教师要围绕教学目标、教学重点和难点，通过富有启发性、探究性、递推性的课堂提问，来实现教学目标。1.课堂提问要准确，能突出解决问题的关键。2.提问面要大，也就是说问题的设计要面向全体学生，照顾到各个层次学习水平的学生。3.提问
92、要灵活，形式多样，角度多样。4.提问要得当，提出的问题要与学生的进程一致，提问应在学生似懂非懂、欲说难说之时。5.提问难度要适宜，即提出的问题学生经过独立思考或教师的有效引导后能解答出来，不能过易或过难。例如，在“不等式基本性质”的教学中的提问，我们可以设计“问题串”来启发学生的思维，明确研究思路。问题 1：你能回忆一下等式的基本性质吗？问题 2：你能归纳一下等式的基本性质的研究思路吗？问题 3：类似的，不等式有哪些基本性质呢？你能自己探究一下吗？在这样的问题引导下，学生不仅可以独立提出关于不等式的基本性质，而且还可以自己探究哪些猜想正确的，哪些是不正确的。思维永远是从问题开始的。在课堂教学中
93、，应该根据具体的教学内容，从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学的基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习，不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。例如,在多边形的内角和的教学中，我就采用了问题引导探究的教学方式，让学生领会和掌握“从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级”的思想方法。在课堂教学过程中，首先由教师创设情景，提出问题，引导学生思考；再让学生通过画图、测量、判断、找规律、猜想、探究，得出一般性的结论；最后，让学生能灵活地运用多边形的内角和定理，根据已知条件求
94、多边形的边数，内角度数。使学生自始至终参与，体验，尝试到知识的生成过程，并品尝成功带来的乐趣。让学生参与到卓有成效的数学活动中来，让学生扎扎实实地经历观察与实验、归纳与演绎、比较与分类、分析与综合、抽象与概括等数学思维的基本过程。在课堂教学中，只有在关键的地方坚持让学生独立思考，才能卓有成效地培养学生的逻辑思维能力。（三）贯彻具体与抽象相结合的教学原则 在数学课堂教学中，教师通常可以从以下三方面入手：（1）注意从实例引入，阐明数学概念。通过实物直观（包括直观教具）、图象直观或语言直观形成形象，提供感性材料。例如，通过温度的升降，货物的进出等实例，来引入相反意义的量。（2）注意从特例引入，讲解一
95、般性的规律。例如，讲解二次函数的图象及性质，一般先学习2axy=型，接着学习caxy+=2型，再学习()2hxay+=型，然 38后学习顶点式()khxay+=2型，最后学习一般式02=+cbxax型，这样较易为学生所接受。（3）注意运用有关理论，解释具体现象，解决具体的问题。在课堂教学中，具体、直观仅是手段，而培养学生抽象思维能力才是根本目的。只有在课堂教学中不断做到具体与抽象相结合，具体抽象具体，循环往复，才能不断将学习向纵深方向发展，使认识逐步提高和深化。三、适量的练习训练是有效课堂教学的重要手段 当前，在课堂教学中普遍存在“多练”现象，不少人认为练习越多越好，以致出现了“题海战术”盛行
96、的局面。实践证明，练习应该重在理解，而不能只追求练习的数量。盲目重复地进行训练，其效果只能是“报酬递减”，而且会使学生产生错误理解，形成不正确的练习态度。教师应该为学生提供具有一定复杂程度的综合性练习，使学生得到对数学双基进行精致和协调的机会。通过一定的变式训练，才能使学生真正把握知识及其使用的条件，从而不仅能正确应用知识，而且还能根据问题情境选择适当的知识和技能。确定练习的数量的准绳只有一条，那就是有利于数学认知结构的发展和完善，以使学生更有效地进行数学学习，更好地发展数学能力。教师运用变式手段创设变式问题，通过多问、多思、多变、多用、辨错等形式，去激发学生思维的积极性和独创性，引导学生对变
97、式问题独立地探索和尝试，从而获得新知识和解决新问题。四、及时评价和反馈是有效课堂教学的重要保证 有效课堂教学，必须要有反馈调节的参与。教师及时地、有针对性地调节课堂教学，学生自我评价的参与，是改善教学、提高学习效果的必要条件。这些又都依赖于反馈机制的作用。在课堂教学中，教师通过评价反馈机制，从学生的学习表现获得关于学习的差异性信息，及时调节课堂教学活动，才能使课堂教学最大限度地适应于每一个学生的需要。由反馈信息的差异性，相应采取分化性措施：通过评价区分不同学生需要帮助的类别，并给予相应的专门帮助；提供难度不一的作业集合，或给学生一定的自主选择作业题的机会；关注学生不同的爱好，并将其机智地纳入课
98、堂教学等。对课堂教学的及时、恰当调节，才能保持学生学习的最佳状态，实现有效学习，提高教学质量。参考文献：1.李求来.初中数学课堂教学研究.湖南师范大学出版社，2000.163 2.赵振威，章士藻.中学教学教学教法.华东师范大学出版社，2000.40 3.曹才翰，章建跃.中学数学教学概论.北京师范大学出版社,2008.428 4.数学课程标准.北京师范大学出版社,2011.42 反思提升自我的捷径 潮州市高级实验学校 潘春鸿 39 记得肖川老师在他的教育的理想与信念中讲到：“一个有事业心和使命感的教师，理当作为教育的探索者，其探索的最佳门径就是从自我反思开始。”近年来，随着新课程的实施，初中数学
99、教学也正朝着更高的目标去发展，教学当中需要更注重拓展学生的思维空间，提升学生思考问题的层面，以期待学生在掌握基本知识与基本技能的同时，能有创新的问题的出现，这正是对现阶段教师知识水平、教学技术的挑战和考验。因此，作为教师，在起着架设知识的传承和创新的桥梁作用的同时，更希望能从与学生在互动中不断得到思考与进步，同时也为了让学生在学习上少走弯路作指引。所以，在教学中更得充分作好准备，并适时、不断地进行反思，及时调整教学策略，力求达到高效的目的。教学反思，其实也挺实在的，也就是教完想想，想后写写，思考自己在课堂上的得与失，对自己的某些固有观念、想法及教学行为进行重新审视，找出差距，寻出原因，拿出对策
100、，再把自己的思考和分析写出来，以利今后的教学，从而寻找到适合自己的经验知识。它的实质就是教师要敢于怀疑自己，敢于和善于突破自我、超越自我，不断地向更高的层次迈进。首先是教前反思。在近几年的教学中，我已渐渐养成一种习惯，在上一节课之前，常常会先把老的教案拿起来翻一翻，思考上一届的学生在学这个内容时容易出现哪些问题，哪个内容学生比较难以接受，从而明确了本节课上课前对教材内容的选取与舍弃、补充与延伸；对教学策略的选择和教学重点难点的思考；对教学内容的组织和教学过程的设计；对教学方法的确定和教学媒体的使用；对教学想象的设想和探究问题的筛选；对学生参与的预测和教学效果的初评等等。比如，在上三角形的内角和
101、这节课之前，我先对本节课的内容进行分析：三角形作为一种常见的几何图形，在学生已有的认知结构中已非常熟悉；本班学生对平行线判定及性质和平角定义这两方面内容掌握程度好，为探索定理证明方法奠定基础；但是在定理的证明中必须添加辅助线，为什么及如何添加辅助线若引导得不好，学生不容易独立思考并得到辅助线的正确作法。因此在上课之前，我特别注重在引导的方法上下功夫，从学生的动手操作把三角形的三个内角剪下拼合在一起，到联想到平角的度数为 180 度，再结合原三角形及平行线公理，最终得出辅助线的作法，即“过三角形的一个顶点作一条直线平行于第三边”环环相扣，水到渠成。由于 40有了先前的准备，学生对这个辅助线的作法
102、及接下来的证明都比较容易接受，教学流程顺利进行，也得到了预期的效果。通过这样的一节课，使我认识到：我们的课前反思要关注学生可能存在的盲点及思想偏差，不要等到一节课上完了，发现问题再进行反思，其实对学生来讲是一种损失，教前的反思意识和反思能力，对教师的发展非常有益。其次是教中反思。有时候，即便你在上课之前准备得非常充分，但课堂教学是一个生动活泼的过程，因此课堂教学就有其不可预见的一面。对教学中出现的偶发事件和突然出现的一些难题，学生提出教师事先意想不到的问题，教师就应有一种教学机智，及时捕捉瞬间的信息，及时反思，使教学高质高效地进行。对于这种情形我深有体会，在降次解一元二次方程（因式分解法）一课
103、中，在解一元二次方程：1x)1x(x=时，原先我是预计利用这个特殊的方程形式，挖好“陷阱”，引导学生出错，即“认为可以方程两边同时除于（x-1）对方程进行化简”，然后让学生对暴露出来的错误进行充分讨论甚至发生争论，最后得出“方程两边同时除于（x-1），必须有（x-1）不等于 0 这一前提条件”的正确结论，这样不仅能够使他们牢固掌握正确知识，避免错误；更重要的是，在这一过程当中，激发了学生的学习兴趣，刺激了学生的学习欲望。但是我万万没有想到，就在这个时候，有一名学生就站起来发言：老师，我是这样解答：方程两边同除以（x-1），解得 x=1，经检验：x=1 使得 x-1=0，所以原方程无解。理由就是
104、“这是我们以前解分式方程的一般过程”他一讲出来了，好多同学都认同了他的看法，这可不是我原先所预想的哦。考验我的时候到了，我灵机一动，先肯定地表扬他“不错，你可以类比地得到解答的方法，说明你有充分地思考问题并进行前后的联系，”然后反问：“你有没有发现这与前面的解分式方程的依据有何不同？”进而引导学生讨论思考，并对等式的基本性质进行复习，得出解分式方程的时候，方程两边同时乘以一个式子，即使这个式子等于 0，等式依然成立，不会改变原等式的性质。但是如果两边同时除以一个式子，依据除数不为 0 这一要求，就不成立了。我乘机再让这个学生进行总结，得出了解答这道方程的解法，并复习总结不同方程的解法区别，学生
105、学情踊跃，这样既活跃了课堂气氛，又对内容的前后联系加深了理解，岂不是两全其美吗？这样的教中反思，有利于挖掘出课堂上教学深度，41有利于学生进行多角度地理解数学思想，更有利于发展学生的求异思维能力和创新能力。当然，对教师的知识体系及应对能力都有很高的要求，为自我的提升提供了捷径。还有就是教后反思。教学后的反思是指完成教学任务后的反思，是对本节课的教学活动全过程进行反思，是教师课堂教学自我反馈的一种好形式，更重要的是它还有利于进一步提高备课质量，促进教学内容更全面、教学设计更合理；有利于加强教学的针对性，及时发现问题，查漏补缺；有利于教师积累教学经验，提高教学水平。比如，在直线与圆的位置关系中讲到
106、切线长定理时，我按照教材的安排，顺利地完成新课的教学任务后，其实学生当节课的内容掌握及利用还是不错的，但在后续的练习中，我发现部分同学容易出现这样的问题：只记住了切线长定理中的前半部分即切线长相等，往往对于后面的“这点与圆心的连线平分两条切线的夹角”这一结论不能灵活应用，甚至有的学生在解答过程中还利用三角形全等对结论再证明一遍。课后我就不断地反思自己的教学过程，寻找一种可以避免这一情况发生，翻查相关的资料及练习，发现可以从切线长及圆的一个完整图形是一个轴对称图形入手，引导学生通过图形寻找图形的一些相等的量（包括相等的线段，相等的角，相等的弧甚至是全等三角形）当然也就后包括了切线长定理中的两个重
107、要的等量结论，在寻找的过程学生经过独立思考，印象更为深刻，自然而然的对结论的记忆也就更为深刻！而在具体题目的解答过程中也能抽象出切线长及圆的那一个基本图形，对要证明的结论或解答的方向提供了思路，起来了事半功倍的作用。美国学者波斯纳认为，没有反思的经验是狭隘的经验，至多只能形成肤浅的知识。只有经过反思，教师的经验方能上升到一定的高度，并对后继行为产生影响。他提出了教师成长的公式：教师的成长=经验+反思。叶澜教授也讲过：“一个教师写一辈子教案，不可能成为名师，但一个教师写三年教学反思就可以成为优秀教师。”就让我们都做好自我反思这一环节，把握这一提升的捷径，积累经验，完善自我。激发数学学习兴趣,提高
108、课堂教学效益 潮州市枫溪区益盛中学詹楚萍 42孔子曰：“知之者不如好知者，好知者不如乐知者。”“乐知”也就是人们所说的兴趣。德国教育家赫尔巴特也主张：“教学必须引发兴趣，唤起学生的注意。”可见，兴趣是学习动机中最现实、最活跃、最强烈的心理因素。浓厚的学习兴趣能带动学生愉快地努力求知、乐而不倦地勤奋钻研，是学好数学的催化剂。因此，能否调动学生的学习兴趣，关系到教学的成功与否。作为一名数学教师，必须要结合数学这一学科的特点，精心设计每一节课，以情趣导学，充分调动学生学习数学的热情。所以，在数学教学中，要改变传统的讲授方法，把枯燥的数学知识转化为激发学生求知欲望的刺激物，从而引发其产生进取心，激发学
109、生的学习兴趣，最终达到提高数学教学效率的目的。那么，如何激发学生学习数学的兴趣呢？一、增进师生情感，激发学习兴趣。（一）让学生对你这位老师有第一好感，让他们从心理上认同你。心理学家认为一个人一旦对你产生兴趣，则表现他对你的活动的优先注意和集中注意上，产生愉快紧张的情绪体验和主观意志努力等心理状态。我们知道每位学生对每位教师都会产生好奇心理，并去评论他。教师应该抓住学生的这种心理，让学生一开始就喜欢你，对你产生兴趣。因此，我们要把握好第一节课的教学。我们要以端正大方、神态自然、态度和蔼，始终保持振奋的精神来感染学生；我们要以形象生动、贴近学生、幽默风趣的语言来感染学生；我们要以我们独特的风格来吸
110、引学生的注意力，激发学生对数学这一科目的喜爱。（二）对学生充满爱心、无私心。既不偏重优生，也不歧视差生，而是多鼓励关心差生。正如高尔基所说：“爱孩子是母亲的事，可是善于教育他们，这是国家的一桩大事，这需要有才能和渊博的生活知识。”教师应从点滴做起，关心爱护学生，使师生之间形成真正的情感融合，使学生形成积极的情感反应，在言行上去效仿这位老师并乐于向教师谈论自己的思想，进而主动接受教育和指导，即产生“乐其师，信其道的效果”，常言道：“爱人者，人恒爱之，敬人者，人恒敬之”，情感总是相互的，我们只有去热爱每一位学生，尊重每一位学生的人格，从心理学角度感召学生学数学的浅层倾向，赢得学生的热爱和尊重，进而
111、热爱数学这一学科，这对差生而言，尤为重要。二、精心创设情境，激发学习兴趣。数学情境是学生掌握知识、形成能力、发展心理品质的重要源泉，是沟通现实生活与数学学习、具体问题与抽象概念之间的桥梁。教师要让学生保持浓厚的学习兴趣，关键在于能够根据教材内容和学生的个性特点来创设情境。如：创设 43情境，引入新课；创设情境，解决重难点；创设情境，引领学生参与教学；创设情境，拓展知识，这些都能激发学生的学习兴趣，激活课堂的学习气氛，从而提高课堂的学习效益。例如：在学习“负数”时，创设情境：让学生充当气象局播报员的角色来播报各大城市的天气情况。如：哈尔滨的气温是158，上海的气温是510 又如多媒体的运用，可以
112、在教学的过程中充分地调动学生的多种感官，直观、生动、逼真的画面，悦耳的声音，能给学生予新异感。而这种刺激，可以更好地引导学生自主探索与学习。例如：在学习“轴对称”时，伴随着轻松的音乐，让学生欣赏着一幅幅美丽的图画：印度的泰姬陵，巴黎的埃菲尔铁塔，中国的剪纸与脸谱让学生在轻松的学习氛围中欣赏轴对称图形的美，发现并掌握轴对称图形的特点。最后，让学生充当“剪纸高手”的角色，自己动手创作，用课前准备的彩纸剪下一个个具有对称美的图案，并展示出来。可见，创设情境不仅可以激发学生的学习兴趣，而且可以培养学生的动手实践能力，更好地提高了课堂的学习效益。三、引入相关故事内容，激发学习兴趣。数学本身是有点枯燥无味
113、，但蕴涵数学知识的环境却是其乐无穷的。其中，故事的引入就是一种有效的方法。它能够让学生对数学课堂感兴趣，对新知识感兴趣，让他们更快更自觉地投入到学习中去。例如：在列方程解应用题的课堂教学中，可以讲这样一个哲理小故事：“一群蚂蚁来到一堵墙边，感觉墙背后有食物，于是这些蚂蚁有四种表现：一部分回头就走了；一部分往墙上爬，几次都掉下来后也灰心丧气地走了；还有少数蚂蚁坚持往上爬，掉下来后接着再爬，最终找到了食物；另外一部分蚂蚁却仔细观察了周围的环境，很轻松地绕过墙找到了食物。”用这样一个故事可以告诫学生在解应用题时，要仔细看题，认真分析，才能正确地解答出来。例如：在“合并同类项”的习题课教学中，教学目的
114、是让学生学会用整体思想化简代数式，教师可以先讲这样一个故事：“篮子里有 5 个苹果，5 个小朋友每人拿走了一个，为什么篮子里还有一个呢？”，有学生回答，是因为最后一个小朋友把篮子一起提走了。于是教师接着解释，我们认为最后一个小朋友把苹果和篮子当成一个整体提走了，这种思想在数学上称为整体思想。然后出示习题：3(x+y)+7(x+y)；9(3x2y)+3x2y；4(ab)+8(ba)；44有了这样的课堂引入，学生已经对整体思想有所了解，看到这样的习题，一般都不直接去括号化简，而会根据老师的提示，应用数学整体思想，很简便地解答了此类题目。自然地掌握了这种抽象的数学思想。四、开展小组学习，激发学习兴趣
115、。“小组合作学习”这一教学模式的应用给课堂教学注入了活力，它不仅可以使师生之间、学生之间更有效地进行语言交际；而且还可以培养学生的合作意识、团队精神，进而促使学生相互学习，共同提高，有力地促进了课堂效率的提高。例如：七年级教材用火柴棒搭正方形一节，是这样设计的（要求：自愿组成 4 人为一组的形式进行讨论与交流）搭一个正方形需 4 根火柴棒 按图方式，搭 2 个正方形，需（）根火柴棒，搭 3 个正方形，需（）根火柴棒。搭 10 个这样的正方形需要多少根火柴棒？搭 10 个这样的正方形需要多少根火柴棒？你是怎样得到的？如果用 x 表示所搭正方形的个数，那么搭 x 个这样的正方形需要多少根火柴棒？思
116、路：正方形的个数 火柴棒的根数 1 个正方形 4=4+3 0 2 个正方形 7=4+3 1 3 个正方形 10=4+3 2 4 个正方形 13=4+3 3 X 个正方形 4+3（X 1）=3X+1 这节课以直观的贴近学生生活的拼图游戏展开教学，设置问题情境，所设问题具有开放性和渐次递进性，由浅入深，由直观到抽象，由感性到理性。问题入口比较宽，难度较小，从而吸引每个学生积极参与数学活动。题目中前三个小题，学生都会做出答案，从而获得一定成功的体验。而后面的问题难度逐渐增加，学生需要借助合作交流去完成，从中体会合作的乐趣与集体智慧的力量。整个教学 45过程中，培养了学生动手操作观察、归纳、表达等方面
117、的能力，同时也培养了学生探索、合作、质疑、独立思考的习惯。例如：八年级教材三角形全等的判定这一节中讲授了三角形的五种判定方法，分别有：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）和斜边直角边（HL）。让学生以 4 人为一组，利用所学的知识共同完成：“如何画出与已知三角形全等的三角形”。例如：八年级教材中的问题 平面内的 1 条直线可以把平面分成 2 部分，2 条直线最多可以把平面分成 4部分，画图看看 3 条直线最多可以把平面分成几部分？4 条直线呢？你能不能想出 n 条直线最多可以把平面分成几部分？（要求：同桌两人为一个小组的形式共同探讨与交流）思路：可见，小组合作
118、学习更能突出学生的主体地位，培养其主动参与的意识，激发学生的求知欲；强化学生对自己学习的责任感，和对自己同伴学习进展的关心；为学生提供一个较为轻松、自主的学习环境，提高了学生创造思维的能力。总之，在教学中采用小组合作学习的方式，形成了师生、学生与学生之间的全方位、多层次、多角度的交流模式，使小组中每个人都有机会发表自己的观点与看法，也乐于倾听他人的意见，使学生感受到学习是一种愉快的事情，从而满足了学生的心理需要，促进学生智力因素和非智力因素的和谐发展，最终达到使学生学会、会学、乐学的目标，进而有效地提高了教学质量。46综上所述，在新课程改革的背景下，我们必须以激发学生学习兴趣作为出发点，充分利
119、用各种有利资源以及各种教学形式来诱发、激励学生的学习兴趣与求知欲望，使学生由被动的“要我学”转变成主动的“我要学”的模式，从而提高教学效益。“数学概念课”教学模式的实践与探究 潮州市金山实验学校 郑锐佳 数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式。数学概念是数学知识的基础，是数学教材结构的最基本的因素，是数学思维与方法的载体。正确理解数学概念，是掌握数学基础知识的前提。学生如果不能正确地理解数学中的各种概念，就不能很好地掌握各种法则、公式、定理，也就不能应用所学知识去解决实际问题。因此。抓好数学概念的教学，是提高数学教学质量的关键。然而，由于数学概念是用简练的语言对研究对象
120、的本质属性的高度概括，比较抽象，再加上初中学生由于生活经验、阅读能力和理解能力等方面的限制，要接受教材中的所有概念是不容易的。因此，教师在教学过程中，应结合学生心理发展特点去分析事物的本质特征，认真讲解概念，不能忽视每一个概念，不能认为概念只是条条，只要学生记住就行了，而应该是让学生在透彻理解的基础上去记忆。这样不仅能使学生记得牢，而且能使学生通过概念举一反三、融会贯通，从而达到教与学的根本要求。经过了七年的“实践反思再实践再反思”，特别是去年全市青年教师观摩课比赛精心准备了两节概念课后，更使我得益匪浅。我认为要上好数学概念课需做好下面几个方面：一、联系现实原型，自然引出概念。概念是对研究对象
121、的本质属性的概括。而本质属性的概括的过程是一个由感性到理性、由特殊到一般的思维过程，要使学生获得清晰的概念，就要在概念教学中充分开展这样一个过程。按照初中生的年龄特征，要尽量联系学生的实际生活经验引出概念，让学生在不知不觉中对概念潜移默化。例如，在教学函数的概念时，函数概念的引出就可以用学生熟悉的实际问题，如时间、速度、路程的关系；生产中的函数关系，气温变化，买卖中的函数关系等，引出函数概念，使学生意识到函数在生活中的作用，生活中函数无处不在。例如，在教学平面内点的直角坐标的概念时，实质上是建立在平面内点和有序实数对的一一对应关系基础之上。我们可以借助于教室里的座位，让学生说出第几排，第几列是
122、谁，某某同学在班里的第几排，第几列等等，一些学生所熟悉的实例来引入课题，让学生在无意识状态下进入新的概念学习当中，而不是就书背书，硬背概念。当然，要注意这样做的本身并不是目的，它只是实现教学目标的一种手段，是为了用形象的实例来探讨研究对象的抽象本质属性，因而应把精力放在如何把感性认识上升到理性认识这一过程上来。当然，生活实例并不等于数学概念，有的包括非本质属性，而有的遗漏了某些本质属性，因此教者在举例时必须切实，从多角度各方面加以补充说明。如在引出函数的概念时所举例子应兼顾解析式，图象和列表等三种函数基本的表示法，使材料更全面，更具代表性，防止学生对概念的曲解，走向另一个极端，也为后面学习函数
123、的三种表示法做铺垫。47在新课程理念中，学生的学习方式由原来的被动，接受式学习变为自主探究，合作交流，这对学生的交流能力提出了更高的要求，如何让学生正确地表达自己的思想，这是一个长期的过程。实践证明，学生在学习中，积极主动思考，善于发表不同的意见，其数学成绩也很好，因此，教师要多培养学生的语言表达能力。在数学概念的教学中，学生能否用自己的语言叙述概念，解释概念所揭示的本质属性，这是学生是否掌握好数学概念的标志。所以语言表达是概念学习过程中一个重要的环节。比如在教学函数的概念时，当教师已经举出了一些学生熟悉的具体事例时，学生可以根据老师刚才所举的事例，发现所举事例的共同点，从面自己归纳得出：上面
124、所举的问题中都有两个变量，且两个变量相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的对应值，然后，再在教师的指导下帮助学生抽象出函数的概念。二、紧抓概念本质，深刻剖析概念。数学概念的定义是对所研究对象的本质属性的概括。所以，每一个字、每一个词，每一句话、每一条注解都是关系到概念的完整性和科学性。教师应该引导学生透过对概念的感性认识，推敲出概念的本质。（1）抓住关键字眼，讲透概念意义 数学概念措辞精炼，每个字词都有其重要的作用。为了深刻领会概念的含义，教师不仅要注意对概念的论述时用词的严密性和准确性，同时还要及时纠正某些容易出现的理解偏差，以培养学生严密的逻辑思维习惯，逐步养成其对
125、定义的深入钻研，逐字逐句加以分析，认真推敲的良好习惯。如在理解不等式的解集这一定义时，不少学生都会产生这样的误解：不等式 x+10 的解集是 x1，那么，x0 或 x2 是不是也是这不等式的解集呢？不少学生都认为其中有一个也是。这样的误解实质上是对不等式的概念：“不等式所有解的集合叫做该不等式的解集”中的“所有”二个字的理解上出现了问题。如果教师在教学过程中，有针对性的对“所有”这两个字进行强调，那么学生一定不会犯这样的一种错误；又如，讲授函数概念时，为了使学生更好地理解掌握函数概念，我们必须揭示其本质特征，逐层剖析：“存在某个变化过程”说明变量的存在性；“在某个变化过程中有两个变量 x 和
126、y”说明函数是研究两个变量之间的依存关系；“对于 x 在某一范围内的每一个确定的值”说明变量 x 的取值是有范围限制的，即允许值范围；“y 有唯一确定的值和它对应”说明有唯一确定的对应规律；再如，“不在同一直线上的三点确定一个圆”，若改写成“三点确定一个圆”，得出一个新命题，它既包括了三点在同一直线上也包括了三点不在同一直线上的两种情形，而在同一直线上的三点不可能确定一个圆，即圆上任意三点都不在同一直线上。故将“不在同一直线上三点确定一个圆”写成“三点确定一个圆”是不成立的。因此，在讲述此概念时应突出“不在同一直线上”这句话。（2）注重联系比较，提高概念的清晰性 概念教学的过程中，对于一些学生
127、较易理解的概念，教师虽然会像蜻蜓点水一样，一带而过，学生可能也理解的很透彻，而对一些本身较抽象，高度概括的概念，如函数的概念等等，教师虽然讲得口干舌燥，但学生却不得要领，只得死记硬背。如果我们在教学时把某些相关或相对的概念放在一起进行类比、对照，使学生既了解它们之间的联系又注意到它们的区别，会使学生茅塞顿开，另辟蹊径。如，“圆心角”与“圆周角”，同学们已经知道了“圆心角”是顶点在圆心的角，由此及彼，大部分学生就会得出“圆周角”的定义：顶点在圆上的角叫“圆 48周角”这又恰恰错了。此时教师再将“圆周角”的定义叙述出来，学生就会恍然大悟。这样通过比较“圆心角”与“圆周角”的概念一目了然，清楚明了。
128、另外，为了加深对圆周角概念的理解，教师还可能设计一些反例，引起学生对错误的警觉。如：下列图中哪些角是圆周角？为什么？又如在学习函数的概念时，教师除了举一些函数的例子外，也可以举一些不是函数关系的例子让学生进行判断。如：一个正数的平方根是不是这个正数的函数。下列是函数图象的是：通过正反比较，学生自然对概念中易产生误解的地方有了更加清晰的认识，进一步加深了对概念的正确理解。（3）应用数学教具，提高概念的直观性。有些概念可借助于直观、形象的模型或教具，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，形成正确的概念。例如在学习“棱锥”概念时，可预先布置学生剪贴一个底面是多边形，其余各面都是三角形的封闭几何体
129、.学生在想方设法完成这个几何体的创作过程中，明确了要制作成功必须使各三角形有公共的顶点（否则不封闭），这实质上就是概念的一个重要内涵.这样既由学生自己总结出棱锥的概念，又锻炼了创造思维能力。三、结合解题应用，巩固升华概念 概念一旦获得，如不及时巩固，就会被遗忘。巩固概念，首先应在初步形成概念后，引导学生正确复述，这里的复述绝对不是死记硬背，而是让学生在复述过程中把握概念的重点要点，关键字眼，本质特征。而学生掌握数学概念的根本目的在于应用，所以我们还要注重概念应用的变式练习。恰当运用变式，能使思维不受消极定势的束缚，实现思维方向的灵活转换，使思维呈发散状态。因此，要在长期的解题训练中培养学生运用
130、概念进行思维的习惯，不断提高思维的能力，培养学生分析问题解决问题的能力，并对于解题中出现的错误，要从概念的角度去纠正，从概念认识的高度去提高学生运用概念的能力。如上面所提及的 x0 或x2 不是不等式 x+10 的解集，这样的问题教学时就应从概念理解的角度去加以纠正。再如，本人在函数概念教学中所设计的一道题目：下面是初二(1)班第一组 10 位同学数学成绩统计表，座号与数学成绩可以记 49作两个变量 x 与 y.座号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩 85 88 99 78 91 90 89 95 93 82（1）对于表中数学成绩 y 是不是座号 x 的函数？（2）假如 7 号同
131、学因病不能参加考试，没有成绩，对于表中 y 还是不是 x 的函数？座号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩 85 88 99 78 91 90 95 93 82（3）若成绩统计表改动如上面所示，对于表中 y 还是不是 x 的函数？座号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩 85 95 99 78 91 95 89 95 93 82 这道题在学生完成概念的理解后提出，利用学生非常熟悉的成绩问题做为背景，在第一个问题提出后，再对问题进行了两次变式，在学生直观看到背景的变化后，再次提出：y 是不是 x 的函数？当然，解决这些问题的关键仍然在于紧扣函数概念，引导学生用概念去检验：
132、变化过程当中是不是有“两个变量”？是不是“对于 x 在某一范围内的每一个确定的值，y 有唯一确定的值和它对应”？这样就不难得出问题的答案，从面巩固了学生对函数概念的理解。总之，概念是数学学习的核心，是学好数学的关键，要解决学生概念不清而造成的思路闭塞，逻辑混乱的难题，就必须在概念课教学中，辅以灵活多样的教法，使学生牢固掌握概念的实质及彼此间的联系与区别，使学生掌握逻辑思维的“语言”，逐步提高他们的思维水平，从面比较有效地扭转学习数学的被动局面，提高数学教学质量。数学史在数学教育中的作用 潮州市饶平县钱东中学黄鹏龙 数学，是一门古老的学科，它伴随着人类文明的产生而产生，是人们在生产斗争和科学实践
133、中逐渐形成和发展而成的。数学的最初概念和原理在远古时代就萌芽了。经过四千多年世界许多民族的共同努力，才发展大批今天这样内容丰富、分支众多、应用广泛的庞大系统。而数学史的研究范畴，正是包含了数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系。从大范围上来看，数学史对数学教育的作用可以从研究数学史的意义上略窥一斑。一方面，与其它知识学科相比，数学是一门历史性或者说累积性很强的科学。重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的。它们在不推翻原有理论的前提下包容了原先的理论。在数学的进化过程中几乎没有发生过彻底推翻前人建筑的情况。有些数学史家认为“在大多数的学科
134、里，一代人的建筑为下一代所拆毁，一个人的创造被另一个人所破坏。唯独数学，每一代人都在 50古老的大厦上添加一层楼。”这种说法虽然有些绝对，却也可以形象地说明数学这幢大厦的累积特性。因此当我们为这幢大厦添砖加瓦时，就有必要了解它的历史。从小范围上来看，也就是落实到具体数学教育上，数学史是一面镜子。它能使数学教学充分反映数学的文化底蕴。让学生追寻数学科学发展的足迹，在历史的脉络中比较数学家所提供的不同方法，拓宽学生的视野，培养其全方位的认知能力。同时对学生的人格成长也会有一定的启发作用。以下我们即将对数学史在数学教育中的四个作用，即“教育学生树立爱国主义思想、提高学生民族责任感；使教学包含丰富的内
135、涵、活跃课堂气氛，从而唤起学生学习数学的兴趣；帮助学生加深对数学知识的理解；培养学生的意志品质，促进学生的健康成长。”进行讨论和分析。作用一：结合数学史进行教学，可以教育学生树立爱国主义思想，提高民族责任感。中国是四大文明古国之一。曾拥有让世界为之侧目的辉煌古代文明。中华民族在各个领域都创造了看似不可能的神话与奇迹。为人类科学技术的发展和进步做出了不可磨灭的伟大贡献。数学因其在各个领域的应用广泛性，必然也有作为基础保证的辉煌历史而一度走在世界前列：如成书于东汉时期的九章算术标志着独具特色的中国传统数学体系机械算法体系早在公元前十世纪就已形成；南北朝时期著名的数学家祖冲之算出的圆周率3553.1
136、415929=/133=是世界上最早的七位小数精确值，比荷兰工程师安托尼兹早了 1000 多年。在月球上甚至还有以祖冲之的名字命名的“祖冲之山”，象征了他在国际上享有的极高声誉；随后出现的杨辉三角、祖暅定理、秦九韶公式；直至现代数学家陈省身、苏步青的微分几何、华罗庚、陈景润的数论、吴文俊的数学机械化方法等无一不为世界数学的发展创立了丰功伟绩。受多方面因素的影响，现今中国在某些科技发展上与西方科技大国相比稍显落后。这给年轻一代的心理造成了一定冲击。甚至印发部分青少年对西方国家的盲目崇拜，无形中对祖国起了妄自菲薄之心。如果教师能在数学教学中适当引入我国在数学史中取得的伟大成就，让学生充分了解祖国的
137、巨大发展潜力，便能起到良好的思想教育教学效果。被誉为“中国数坛巨星”的华罗庚在 1946 年受聘到普林斯顿高等研究所，并先后任美国几所大学的教授，与在中国的西南联大的生活对比，真如到了天堂。伊利诺大学以一万美元的年薪欲与华罗庚订立终生聘约。他的住房有四间卧室、两间浴室，还有一间可容纳五六十人开酒会的客厅，并给他配备四个助手、一个打字员。但华罗庚为了祖国的数学事业，毅然放弃了美国的舒适生活，于 1950年带领妻儿回国，任中国科学院副院长兼数学研究所所长。由于当时的中国正处 51于解放初期，各方面条件还相当差，但华罗庚以苦为荣，仍孜孜不倦在研究数学。此后，华罗庚又写出约 260 篇论文，出版专著数
138、论导引、典型解、多个复变典型域上的调和分析、统筹学平话、伏选法平话等。美国普林斯顿高等研究所的赛尔伯格曾对此评论到：“如果华罗庚留在美国的话，他本来会对数学作出更大的贡献。当然他回国对中国数学也是十分重要的。很难想象，如果他不回国，中国数学会怎样？”虽然话说得有些绝对，可是华罗庚心中对祖国的那份爱国深情以及他对祖国所作出的杰出贡献，历史已然见证，祖国人民也将永远铭记！随着越来越多的求学者倾向于出国留学深造，学业有成后返回祖国贡献自己的人才也越来越少。然则“饮水思源”，在数学教学中如果能结合这些史实知识进行讲解，不仅能培养学生的民族自豪感、社会责任感，还能使他们树立为祖国和家乡的繁荣富强而努力学
139、习的志向。作用二：结合数学史进行教学，能使教学包含丰富的内涵，活跃课堂气氛，从而唤起学生学习数学的兴趣。“在课堂里，我们常常会这样看待数学，好象我们是在一个孤岛上学习似的。我们每天一次去岛上学习数学，埋头钻进一个纯粹的、洁净的、逻辑上可靠的、只有清晰线条而没有肮脏角落的书房。学生们觉得数学是封闭的、呆板、冰冷无情的，一切都已经发现好了的。”这是美国学者 Bidwell 对传统的数学课堂所作的一个形象的比喻。它也给我们指出了为什么大部分学生都觉得数学枯燥无味、难学难懂的根本原因。对此，欧阳绛一针见血地指出了关键所在：“数学原本是有趣的，作为一名学生，不以这样的心情去学习，是学不好数学的。作为一名
140、教师不能激发学生的学习兴趣，就不是好老师。”作为教师必须能有效应用相关史料，使学生在掌握知识的同时了解这些知识的产生和发展过程，分享数学家们经过刻苦钻研取得新的成果时的欢乐。一段精彩的新课引入、一个数学家的故事，都能激起学生的学习热情和良好的学习动机，同时也能活跃课堂气氛，从而掀起课堂思维的高潮，使学生在惊奇、赞叹、佩服中迸发灵感，享受数学。例如，在讲解勾股定理的证明时，导课部分就可以采用故事导课法，用“百牛大祭”的典故来引起学生的学习兴趣，加深对该定理证明的理解。生活在公元前 500 多年的毕达哥拉斯是一位废寝忘食的大数学家。一次他到朋友家作客，朋友们高谈阔论，他却一言不发。一个人望着地上的
141、方砖出神，并不时地弯下腰在方砖上画起线段。不久他发现以一个等腰直角三角形的直角边为边长构成的正方形，其面积恰等于这个等腰直角三角形面积的两倍。而以斜边为边长的正方形，其面积等于这等腰直角三角形的面积的四倍。那么以斜边为边的正方形面积等于以这两直角边为边的正方形面积之和，也就是说斜边的平方等于两直角边的平方和。他立即想到这个结论对于任意直角三角形是否成立呢？很快他想到了边长分 52别是 3、4、5 的直角三角形，此时有 32+42=52。由此他猜测到：对于任意直角三角形都有 a2+b2=c2，其中 a、b、c 分别是两直角边和斜边。并且很快证明了它。这时毕达哥拉斯万分激动地说：“我找到了一个出色
142、的定理逼供内证明了它。我要感谢缪斯（科学艺术之神）的保佑！”为此他举行了祭牛仪式，向缪斯敬献了100 头公牛。这就是历史上有名的“百牛大祭”。王梓坤院士有以下这么一段话：“数学教师的职责之一就在于培养学生对数学的兴趣，这等于给了他们长久钻研数学的动力。优秀的数学教师之所以在学生心中永志不忘，就是由于他点燃了学生心灵中热爱数学的熊熊火焰。”只要教师能充分掌握在数学教学中引入数学史的教学方法，数学教师培养学生对数学的兴趣的职责便能完美实现。作用三：结合数学史进行教学，有助于帮助学生加深对数学知识的理解。美国学者 Heppel 曾用下面诙谐的诗句来说明大多数学生心目中的数学课本：“如果又一场洪水爆发
143、，请飞来这里回避一下，即使整个世界被淹没，这本书依然会干巴巴。”其实，数学并不是干巴巴的逻辑链条，也不是毫无意义的单纯演算，更不是题海战术般的大量训练。而是活生生的科学现实。学校所使用的数学教材由于受“编排”、“教材特点”等限制。虽然具备一定的系统性，却不可能把知识的来龙去脉叙述得十分清楚细致。教师可以运用数学史上人类认识自然的过程，在教材知识主干上纵横延伸串联，使知识脉络更加清晰，形成科学系统，这样便于学生对知识深刻理解、记忆。例如，当学生刚开始接触“负数”这一概念时，很容易感到困惑。而历史上对负数的理解就经历了一段漫长的过程。在 19 世纪以前，负数概念在学校的代数课本里就没有得到正确的解
144、释。直到 18 世纪，还有西方的数学家不理解-a（B）a-b0（C）2a+b0（D）a+b0 分析：本题首先引导学生根据 a、b 在数轴上的位置，得到 a1、0b1。值得注意的是这一步所得就是由形到数的过程，引起学生思想上的关注，从而获得答案 A。2、整体思想 从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。例 2 已知 a+b=5，ab=-2，求 a2+b2 的值。分析：把 a+b、ab 以及 a2+b2 看成是一个整体，利用三者的关系，得出 a2+b2=(
145、a+b)2-2ab=29 3、化归转换思想 化归,即转化与归结的意思。把有待解决或未解决的问题,通过转化过程,归结为所熟悉的规范性问题或已解决的问题中去,从而求得问题解决的思想。例 3 已知 x2+y2+4x-8y+20=0,求 xy。分析：对于初中生来说本题无法直接解出关于 x,y 的二元二次方程。但是如果从完全平方公式着手,已知条件可以转换为(x+2)2+(y-4)2=0。又因为偶次幂具 57有非负性,即(x+2)20,(y-4)20,所以(x+2)2=0,(y-4)2=0,从而得出 x=-2,y=4。最终问题得以解决。又如，对等腰梯形有关性质的探索，除了教材中利用轴对称方法外，还经常通过
146、作一腰的平行线、作底边上的高、延长两腰相交于一点等方法，把等腰梯形转化到平行四边形和三解形的知识上来。4、分类讨论思想 当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论。例 4 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A、20 B、120 C、20或 120 D、36 分析：等腰三角形的两内角度数为 1:4，则三个内角比为 1:1:4 或 1:4:4，故选 C。初中数学中蕴含的数学思想方法还有很多，如字母代数思想、方程思想、类比思想、函数思想、统计思想、建模思想等。三、数学思想方法的教学实践体会 1、在知识发生
147、过程中渗透数学思想方法 由于初中学生数学知识比较贫乏，抽象思想能力也较为薄弱，把数学思想、方法作为一门独立的课程还缺乏应有的基础。因而只能将数学知识作为载体，把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中。在渗透数学思想、方法的过程中，教师要精心设计、有机结合，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套，和盘托出，脱离实际等错误做法。比如，教学二次不等式解集时结合二次函数图象来理解和记忆，总结归纳出解集在“两根之间”、“两根之外”，利用形数结合方法，从而比较顺利地完成新旧知识的过渡。2、对不同类型的数学思想方法采取不同的教法 对于宏观型的数学思想方法，应着重让
148、学生理解其思想实质，认识到它的重大作用。对于逻辑型的思想方法，应着重讲清逻辑结构，注意正确使用逻辑推理形式。对于技巧型的数学思想方法，应着重阐述各种方法适用的问题类型，使用 58这种方法的技巧、操作程序，训练学生运用这类方法的能力。3、在解题教学中加强数学思想方法训练 数学解题实质上是数学思想方法的思维训练，要通过精讲、精练，使学生明确了解数学思想方法在解题中的指导作用，帮助学生真正掌握数学思想方法。4、引导学生养成分析的习惯 教学中应结合教材，引导学生主动自觉地去分析，在分析中领悟解决问题的思想方法，尤其是转化问题的思维过程中蕴含有的各种思想。所以说从某种意义上讲，数学思想方法的教学甚至比传
149、授知识更重要。因为思维的锻炼不仅对学生在某一学科上有益，更使其终生受益。站在“以学生发展为本”的角度上看，在教学中适时适度渗透数学思想方法将对培养学生可持续发展的能力有极大的好处，正适合现在方兴未艾的“素质教育”，其教学潜在价值更是不可估量的。【参考文献】1李朋娟.中学数学思想方法教学实验研究综述.中小学数学，2002,1-2 2蔡上鹤.数学思想和数学方法M.北京：中学数学，1997.9.3孙朝仁.初中数学思想方法的基本途径Y.南宁：中学数学教学参考，1 59 论文参评作者所在单位意见：参评作者所在单位：（公章）年 月 日 60 激活课堂,让学生合作学习、和谐发展 广东省潮州市饶平县三饶中学
150、邱锡辉 摘要：转变学生学习方式是课程改革的一项重要内容，课堂教学改革是课程改革的关键。本文谈谈在初中数学的课堂教学中，通过提出恰当的问题、选取合适的伙伴、分清个人的责任、合作交流，使学生能顺利有效的进行合作学习、和谐发展。关键词：恰当的问题 合作伙伴 动机和责任 合作交流 数学新课程标准明确指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”。最近许多有关教学方面的研究均发现，合作学习是较为有效的一种学习方式，不仅有利于培养学生合作精神与人际交往能力,又有助于因材施教,可以弥补一个教师难以面向有差异的众多学生教学的不足，从而真正实现使每个学
151、生都得到发展的目标。下面在初中数学的课堂教学中，谈谈如何让学生合作学习、和谐发展。一、确定恰当的问题。在平时的教学中，教师应注意根据不同的教学内容，以下由所属市中数会填写 推荐意见：单位：（公章）年 月 日 参评序号 61不同的教学目标，结合学生的认知水平，提出恰当的问题，让学生合作交流。一般来说，比较简单的认知学习任务，只需要独立自学或开展全班教学即可。而较复杂，综合的问题，可以采用不同的合作学习方式。合作探究的问题可以是由学生直接提出的，也可在教师提供的问题中选择一个问题进行合作学习，或者在别人提出的问题上稍加修改。案例：我在教学直线、射线、线段时，让学生举例说出哪些是关于直线的形象。这时
152、有一位学生举了孙悟空手中的金箍棒，我没有马上说出是否正确，而把这个问题让学生分组合作讨论交流。有的说直线，有的说射线，有的说线段。最后有几个小组总结出：孙悟空手中的金箍棒，是会变的，故必须分三种情况来说明，当它两端无限延伸时，它很像直线；当只看见一个端点，另一端无限延伸时，它是射线；当看见两个端点时，它是线段。二、选取合适的合作伙伴。国内大致把合作学习分为以下四种：即师生互动、师师互动、生生互动、全员互动。课堂的合作大多数是生生合作，在小组合作时，教师注意合作伙伴的定位，小组的人数以 2 6 人为最好，常见的分组有前后相邻座的几个学生组成一组；上新授课时，把不同层次的学生组成一组，上复习课、课
153、外阅读课把同一层次的学生组成一组，分组应注意把握：学习成绩差别、性别差异、家庭背景差异。注意发挥各自的优势，取长补短，让学生的合作潜能充分发挥。案例：如在教学立体图形与平面图形时，让学生在日常生活中找出与正方体、长方体、球、圆椎、圆柱相类似的物体。我让六位同学为一组，小组合作交流，其中六位同学中，男女比例适中，来自的地方有所差别。在小组讨论中，所举的例子也不同，如与圆椎相似的物体，女同学最先说出了冰琪琳，男同学说出了驼螺，农村的同学说出了家里的粟堆，城镇的同学说出了公园里有些亭子的顶部，他们的所见所闻有所不同，说出的结果也有所不同，这样的学习，参与面宽，他们合作交流，共同进步。62三、要认清合
154、作的动机和个人的责任。在进行合作学习时，先要明确学习任务与目标，应避免“三个和尚没水吃”这种情况的发生，要用很短的时间，协调合作的方法，提高小组合作学习的效率，完成学习任务。案例：我在教学三角形勾股定理一节时，创设以下问题情境：请五位同学为一小组，利用已准备好的（3、4、5、6；6、8、9、10；12、16、18、20；单位 cm）三组木棒，找出哪三根能围成直角三角形的，然后讨论它们三边的关系。同时提出小组合作要求：1二位同学负责摆三角形；2一位同学负责监测是否是直角三角形；3一位同学负责测量能摆成直角三角形的直角边和斜边的三根棒的长度；4剩下一位同学负责把数据填入下表；5最后小组同学讨论组成
155、直角三角形的三边有什么关系，并完成下表。两直角边的长度（精确到 1cm）斜边的长度（精确到 1cm）三边的关系 直角三角形三边的关系 3 4 5 32+42=52 A2+b2=c2(a b 分别为直角边，c 为斜边）6 8 10 62+82=102 12 16 20 122+162=202 在这个合作学习活动中，每小组学生有明确的学习任务，组内的每个学生有明确的分工，因而小组同学能以最快的速度进入合作状态，在课程的具体实施中，最快一组同学仅用 5 分钟时间就完成了各项合作任务，通过讨论得出直角三角形的三边关系，大大提高了学生学习效率。四、要营造一种轻松、和谐、平等的气氛。在师生合作、师师合作、
156、生生合作中，不论哪一种，参与者要心态开放，保持宽容的态度，彼此信任，互相尊重，全身投入，使他们能无所顾忌的发表自已的见解，以使他们得到进一步 63的提高。案例：我在教学一元一次方程时为创设情境、激发学生的兴趣，我这样引入问题：“同学们，让我来猜猜你的岁数，你把你的岁数（不要公开）除以2，再减去你的座位号，把结果告诉我，我就能算准你的岁数。”我提问四位同学后准确的说出了四位学生的岁数，大家都觉得我很“神”的时候，这时有一位学生却说，“这有什么了不起，我来问你，也能算出你数”。这时心头一气，想要教训这个学生，可又想，师生不是民主、平等的吗？我就让他一试，虽然他算的结果是错误的，但我还表扬了他。因为
157、他的思路是正确的。五、合作交流，体验成功。在小组合作学习过程中，学生面对的是自己的同学，因而，即使是性格内向、不爱发言的学生也较愿意开口交流，互相学习，学生在多次的交流、沟通中，巩固了知识和技能。我在上完三角形全等条件后，让学生以小组为单位测量学校旗杆的高度，比一比哪个小组又快又对，让他们体验“合作成功”的快乐。为了小组的成功，为了集体的荣誉，每位成员都积极献计献策，对测量工具的选用、使用和人物的分工都进行精心的考虑。之后，我让各小组说出了答案及讲解其中的道理，并表扬了误差较小的几个小组。这样，满足他们的表现欲，同时激发了学生的创新思维，培养小组内成员的互助合作精难所神，体验集体荣誉感和成就感
158、。随着新课程改革的逐步深入，我们要把“合作学习”的理念贯彻到教学活动中，激活课堂,使学生能顺利有效的进行合作学习、和谐发展。参考文献：王湛等，数学课程标准 北京师范大学出版社，2012 年 2 月 邓书云，初中数学合作学习探微，中学教学参考，2011 年 11 期 宋加平，提高初中数学合作学习有效性的策略，中学教学参考，2011 年 08 期 64孙惠琴，初中数学合作学习刍议，吉林教育，2010 年 33 期 付华，浅谈数学合作学习中存在的几个问题，新课程(教研版)，2009 年 08 期 浅析一次函数教学中渗透的数学思想 潮州市金山实验 徐蓁【摘要】数学思想是数学内容的升华与结晶，是数学的灵
159、魂，也是数学知识转化为能力的桥梁。一次函数中蕴含了许多数学思想，在一次函数的学习过程中不仅要掌握基本知识，更要善于发现和提炼知识中所隐含的数学思想。【关键词】数学教学 数学思想 一次函数 数学思想方法是数学知识的精髓，是我们解决数学问题的一把金钥匙，是学好数学的关键。一次函数是学生在学习了数、式、方程等常量问题后，研究函数中变量的变化规律。学习一次函数，是学生认识上的一次重大飞跃。一次函数是函数教学的重点内容之一，是学生学好其他函数的基础，也是中考命题中的“重头戏”。然而，好多老师都反映函数难教，学生反映函数难学。于是，在函数教与学的过程中，注意贯彻和掌握蕴含在其中的数学思想方法，提高教学质量
160、，成为一个值得探究的内容。下面，结合一些中考题，谈谈一次函数教学中渗透的数学思想。一、函数思想 函数思想，是指用运动、变化的观点分析和研究具体问题中的数量关系,再通过函数的形式把这种关系表示出来，并用函数的有关概念、性质和图像对其加以研究，从而使问题获得解决。（2012哈尔滨）李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为 24 米，要围成的菜园是如图所示的矩形 ABCD，设 BC 的边长为 x 米，AB 边的长为 y 米，则 y 与 x 之间的函数关系式是（）Ay=-2x+24（0 x12）By=-0.5x+12（0 x24）Cy=2x-24（0 x12
161、）Dy=0.5x-12（0 x24）【分析】利用已知条件中的等量关系得出2y+x=24，继而可得出y与x之间的函数关系式及自变量x的范围。故选B。【点评】分析数学问题中的两个变量间的关系，利用两个变量之间的等量关系列出函数关系式，是函数学习中一种重要的思想方法。（2012重庆）2012 年“国际攀岩比赛”在重庆举行。小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回 65开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场。设小丽从家出发后所用时间为 t，小丽与比赛现场的距离为 S。下面能反映 S 与 t 的函数关系的大致图象是（）ABC D【分析】问题
162、中小丽与比赛现场的距离为 S。小丽从家出发后所用时间为 t，这两个变量间是一一对应的关系。根据题意，可以将图分为四段，第一段，小丽从出发到往回开，第二段到遇到妈妈，第三段与妈妈聊了一会，第四段，接着开往比赛现场。故选 B。【点评】本题考查了函数图象的知识，学生读懂题意，明确题中两个变量间的函数关系，把整个过程分解成分段图象是解题的关键。（2012营口）如图，菱形 ABCD 的边长为 2，B=30。动点 P 从点 B 出发，沿B-C-D 的路线向点 D 运动。设ABP 的面积为 y（B、P 两点重合时，ABP 的面积可以看做0），点P运动的路程为x，则y与x之间函数关系的图象大致为（）A B C
163、 D 【分析】先分别求出点 P 从点 B 出发，沿 BCD 向终点 D 匀速运动时，当 0 x2 和 2x4 时，y 与 x 之间的函数关系式分别是 y=0.5x 和 y=1，即可得出函数的图象。故选 C。【点评】此题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是判断问题中两个变量间是否是函数关系，从而利用等量关系列出 y 与 x 之间的函数关系式，并将函数关系式转化为函数图像，它具有很强的综合性。从上面的例子可以看出，运用函数思想解决问题的关键在于我们要研究的对象是否是一个运动变化过程，在这一运动变化过程中是否有两个变量，是不是一个变量随着另一个变量的变化而变化，如果上述回答是肯定的，那么我们就可以
164、运用函数思想来解决问题。二、数形结合思想 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。在函数的学习中，借助图象研究函数的性质是一种常用的方法,它对解决函数问题起至关重要的 66作用。（2003哈尔滨）若正比例函数y=（1-2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1x2时，y1y2，则m的取值范围是（）Am0 Bm0 Cm 0.5 Dm 0.5【分析】根据所给的正比例函数的解析式，在草稿上画出经过第二、四象限的直线，借助直线的递减性可知应该选D。【点评
165、】以上主要就是通过作出函数图像，借助于数形结合方法快速求解答案，这种方法对于类似的函数值大小的比较，有快速求解的功效，值得同学们积累。（2012济南）一次函数 y=kx+b 的图象如图所示，则方程 kx+b=0 的解为（）A、x=2 B、y=2 C、x=-1 D、y=-1【分析】直接根据函数图象与 x 轴的交点进行解答。因为一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴的交点为（1，0），当 kx+b=0 时，x=1。故选 C。【点评】此题考查一次函数与一元一次方程的联系，渗透数形结合的解题思想方法华罗庚先生曾说过:“数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。”这句话经典地概括
166、了数与形的关系和数形不分家的真谛。从上面的例子我们也感受到，将方程与直观的函数图形结合起来,实现了抽象思维与形象思维的联系和转化，其效果比进行纯数学理论的推演要好得多。可见，数形结合的作用不可低估。所以，在以后的教学中，我们要培养学生多思考并善于用数形结合的思想来解决问题。这样，才能很好地开发学生的数学思维，为学生架起沟通代数与几何的桥梁。三、分类讨论思想 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的答案。分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是
167、一种重要的解题策略。对于分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性和探索性，能够训练学生的思维条理性和概括性，所以在近几年来中考题中占有重要位置。（2010乐山）已知一次函数 y=kx+b，当 0 x2 时，对应的函数值 y 的取值范围是-2y4，则 kb 的值为（）A12 B-6 C-6 或-12 D6 或 12【分析】根据一次函数的增减性，可知本题分两种情况：67（1）当 k0 时，y 随 x 的增大而增大，把 x=0，y=-2；x=2，y=4 代入一次函数的解析式 y=kx+b，运用待定系数法即可求出函数的解析式 y=3x-2，所以，kb=-6。（2）当 k0 时，y 随 x 的增大
168、而减小，把 x=0，y=4；x=2，y=-2 代入一次函数的解析式 y=kx+b，运用待定系数法即可求出函数的解析式 y=-3x+4，所以，kb=-12。【点评】根据一次函数图象的性质分两种情况是解决本题的关键。近几年中考卷中都能发现分类讨论的数学题，因此我们在教学中要提醒学生在什么情况下进行讨论,如何讨论，并且在讨论时，题目中所涉及的情况应讨论全面，做到不重、不漏，以免考试失分。四、化归思想 化归思想，是指将陌生的，复杂的问题根据知识间的内在联系转化为另一个已知的，熟悉的，较易解决或已经解决的问题，恰当地把题目中的某些关系从一种形式转化为另一种形式，问题就能比较顺利地得到解决，这就是化归思想
169、。领悟了化归思想，能够帮助学生打开思路，把一个较复杂或陌生的问题转化成较简单或熟悉的问题。（2012厦门）已知两个变量 x 和 y，它们之间的 3 组对应值如下表所示则 y 与 x之间的函数关系式可能是（）Ay=x By=2x+1 Cy=x2+x+1 Dy=x3 【分析】观察这几组数据，找到其中的规律，然后在答案中找出符合要求的关系式。故选B。【点评】此题主要考查了求函数关系式，本题是开放性题目，需要从表格中找出题目中的两未知数对应的变化规律是解题关键。（2012河南）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于 点A（m，3），则不等式2xax+4的解集为（）Ax1.5 Bx3 Cx1.5
170、Dx3 x-1 0 1y-1 1 3 68【分析】先将不等式2xax+4转化为函数y=2x和y=ax+4，由函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2xax+4的解集。故选A。【点评】此题考查的是利用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系，灵活地将不等式问题转化为函数问题是解决问题的关键。类似地，一次函数中图、表、式三种表示方法之间可以相互转化，利用方程与函数的联系，求两条直线交点的问题与求二元一次方程组的解可以相互转化，求点的坐标与求线段的长也可以相互转化等等。所以，在一次函数的教学中，应注重培养学生把文字
171、语言转化为数学符号，把较复杂的问题转化成简单的问题，把陌生的问题转化成熟悉的问题的能力。五、建模思想 数学建模思想是指将实际应用型问题转化成相应的数学问题，通过解决数学问题达到解决实际应用问题的数学思想。建模思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。它是一种常见的解决实际问题的思想。（2012深圳）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式。某家电商场计划用 11.8 万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共 40
172、台。三种家电的进价及售价如右表所示：（1）在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机数量的三倍，请问商场有哪几种进货方案？（2）在“2012 年消费促进月”促销活动期间，商家针对这三种节能型产品推出“现金购满 1000 元送 50 元家电消费券一张、多买多送”的活动，在（1）的条件下，若三种电器在活动期间全部售出，商家预计最多送出消费券多少张？【分析】（1）设购进电视机 x 台，则洗衣机是 x 台，空调是（40-2x）台，根据空调的数量不超过电视机的数量的 3 倍，且 x 以及 40-2x 都是非负整数，即可确定 x 的范围，从而确定进货方案；（2）
173、三种电器在活动期间全部售出的金额 w，可以表示成 x 的函数，W=5500 x+2160 x+2700（40-2x）=2260 x+108000 （8x10）根据函数的性质，即可确定 w 的最大值，即当 x=10 时，售价总金额 w 有最大值，其最大值为 130600 进价（元/台）售价（元/台）电视机 5000 5500 洗衣机 2000 2160 空 调 2400 2700 69从而确定所要送出的消费券的最大数目 130 张。【点评】题目中利用已知和表格中给出的数据构建总金额与电视机台数的一次函数的数学模型，结合一次函数增减性分析该函数何时获得最大值，这也是构建一次函数模型进行决策的重要数
174、学思想。数学模型是数学知识与应用的桥梁，学习建模思想对培养学生分析和解决实际问题的能力是非常重要的，为此，在数学教学中重视从实际问题中培养学生敏锐的观察力，丰富的想象力，创造性的思维能力及抽象、分析、归纳、综合的能力，使学生全方位地感受数学建模思想，了解数学建模的思维过程，使学生逐渐理解和掌握数学建模的方法，以培养学生的学习兴趣、创新意识、实践能力。除以上列举的几种思想外，一次函数中涉及的思想方法还包括整体思想、对称思想、特殊与一般思想方法、类比思想等等，它们都是数学内容的升华与结晶，也是学生将知识转化为能力的桥梁。总之，在一次函数的教学中，要做到在老师的引导下，让学生投入到解题的整个过程中去
175、。同时，在解题探究的整个过程中，通过学生亲自动手、亲自探究，发现和提炼出所学内容隐含的数学思想方法，自然而然地掌握了思路、方法。从教学效果看，在“一次函数”的教学中渗透和运用这些数学思想方法，能增强学生学习的趣味性，激发学生的学习兴趣和学习的主动性，启迪学生思维，发展学生的数学智能，有利于学生形成牢固、完善的认知结构。这样无疑有助于学生数学素养的全面提升，无疑有助于学生的终身学习和发展。数学思想方法在教学中是无处不在，在平时的教学中都应给予足够的重视并逐步渗透,使学生掌握并作为现成的数学工具加以运用，这对提高学生的解题能力和数学素质具有十分重要的意义。参考文献：1黄明信.浅谈如何把握数学思想方
176、法教学J.数学学习研究，2010，（8）.2沈文选.中学数学思想方法M.湖南师范大学出版社，1999.浅谈在初中数学教学中如何培养学生自主学习的能力 意溪镇初级中学 陈婉纯 摘要：在实施课堂教学素质化的今天，加强对学生自主学习能力的培养，调动学生学习的积极性，促使学生“主动学习”、“学会学习”就显得尤为重要。数学教学中教师可从以下途径去引导、培养学生的自主学习能力。一、创设主动参与的情境，培养学生自主学习的能力。二、启发自觉设疑，培养自主学习习惯。三、教师适时引导，促进学生自主学习能力的发展。四、学生及时总结,改进方法，促成自主学习能力的提高。关键词：自主学习 初中数学教学 培养 自主学习是指
177、学生个体在学习过程中一种主动而积极自觉的学习行为，它表现为学生在教育活动过程中强烈的求知欲、主动参与的精神与积极思考的行为。它能够激发学生强烈的学习需要与兴趣，能够使学生获得积极的、深层次的体验，70能给学生足够自主的空间、足够活动的机会，在自主学习状态下，学习的目的不是为了考试和分数，不是为了应付家长和老师，而是为了获取知识和技能。当然学生自主学习并不等于自学，其最根本的特征体现在整个教学过程中，通过教师采用多种手段激发学生自觉、主动地学习，改变原有被动、接受式的学习方式，从而使学生从真正意义上走出“要我学”的困境，自觉养成“我要学”的习惯。新课标指出：“学生是学习活动的主人，是数学活动的参
178、与者，更是教师教学理念实施的重要对象，要注重学生主体能动特性的激发，教会学生探索解答问题的方法，让学生在学习实践中养成自主学习的良好习惯。”由此可见，在科技创新日益发展的今天，培养具有自主学习能力的学生，已成为学校自主创新型人才培养的重要内容。那么，在初中数学教学中，我们应如何培养学生自主学习的能力呢？下面结合本人的教学实践，谈谈自己的一些粗浅看法。一、创设主动参与的情境，培养学生自主学习的能力。“数学即生活”。数学来源于生活又服务于生活。因此，在数学教学中，教师要从学生的生活经验和已有的知识体验开始，恰当地选用贴近生活的问题，创设情境，启发学生把生活中的现象与问题和数学紧密联系起来，从数学的
179、角度运用数学知识对其进行思考、解释和阐述，让学生认识到平时学习数学知识对解决生活中的实际问题有很大的帮助，从而引起学生探究的兴趣。比如，学习了相似三角形和函数等知识后，测量树的高度。问题这样设计：怎样测量一棵树的高度？试针对各种不同的实际情况，设计不同的测量方法。这样一来，学生积极性很高，想到了许多老师不曾想到的问题：如树不高用竹竿直接测量；树高可利用勾股定理；天气好可利用影子长与树高的关系计算；部分影子被房屋挡住怎么办？没太阳光树的顶部或底部又不能直接到达怎么办学生运用了勾股定理、全等三角形、相似三角形的比例关系及三角函数的计算等等方法。学生通过亲自参加探究性实践，在“考察”、“做”、“思考
180、”中体验、经历、感受，形成积极的、生动的、自主合作的、实践性的学习方式。学生们在实践的过程中付出了自己的努力，充分发挥自己的想象力和水平，克服了众多的实际困难，按照自己的思考设计方案，这样就培养了学生学习数学的兴趣，学习数学的能力得到大大的提高，为他们的终身学习奠定了坚实的基础。二、启发自觉设疑，培养自主学习习惯。现代教育理论认为，教学的本质是交往，教师应树立“教学活动”的观念，充分围绕培养学生的问题意识进行教学活动的设计，切实让学生成为课堂的主人，让课堂焕发出生命的活力。我在数学教学中常常根据教材内容设计一些新颖的实际问题，让学生积极主动地思考，并在此基础上提出相关待解决的问题，激发学生探索
181、的欲望。例如：世博会开幕前夕,在引导学生学习“镶嵌”的内容时,我这样引入新课:首先请同学们欣赏一组图片,师生共同分析什么是镶嵌?之后,教师提出问题:世博会某场馆的设计人员计划采用正多边形地砖铺设地面,请你帮他设计一种方案。学生们跃跃欲试,于是马上就产生新的问题,有同学问:“用一种正多边形镶嵌?还是两种或几种正多边形镶嵌?”这正是本节课要研究的重点内容,在学生经历 71探究,得出结论后,我又问:“同学们还有什么疑问?你还想研究什么样的问题?”有的同学问:“能不能用一般多边形进行镶嵌呢?”于是教师组织同学们小组合作探究。这样,通过将时间和空间充分留给学生的教学方式,使学生在不断发现问题、探究问题等
182、活动中获得新知。三、教师适时引导，促进学生自主学习的能力发展。现代教育理论认为,教育必须着眼于学生潜能的发挥,促进学生有特色、可持续地发展。正如德国著名教育学家第斯多惠所说:“一个坏的教师奉送真理,一个好的教师则教人发现真理。”这强调了培养学生学会自主学习的重要性。因为学会学习是学生学习上自立自主的一个必要前提,只有学会学习,才可能创新，才可能持续发展。因此，教师应改进课堂教学，不但要帮助学生“学会”，更要指导他们“会学”。1.培养学生的自读能力。要让学生学会自学，需要培养学生的自主阅读能力。因为既然是自学，那么学生就要自己会研读教材，以获得初步的学习感知。借助预习提纲上一连串的问题导引，可以
183、有效引导学生自主研读文本。学生自读教材时，对于一些关键的语句，我们要求学生用色笔做上记号，对于学生的疑问可记录在自学提纲旁边，准备第二天在课上交流。学生有了自学提纲，就可以有序研究，逐步深入，从而取得良好的自读效果。2.引导学生学会思考。思维是培养自主学习能力、开发智力的基础。教师应注重学生思维能力的培养，引导学生学会思考，激发自主学习的能动性。教学生思考，可从四个方面着手：一是善于带着预习中的问题思考。二是善于从同学的发言中启发自己思考。三是善于采用变式思考。如：对于某一个问题，改变条件，结论将如何？从变化中求活，从变化中寻求方法。四是善于精心设问，在教材的要求和学生求知心理之间设置“认知矛
184、盾冲突”，从而将学生的思维引向深处。五是在教学中，鼓励学生大胆想象，多方位、多角度、多层次地质疑，进行发散思维的训练，允许学生提出与教学内容有关的一切内容。例如：在正比例函数教学中，学生由 y kx（x 为自变量，y 为应变量）的形式，联想到物理中所学的知识：包括密度公式 m/v，欧姆定律 RU/I 等，其、R 在一般条件下，对于同一物体而言是不变的，而正比例函数中的 k 和二者相似，从而很好地理解了正比例函数。3.鼓励学生课后做教具。苏霍姆林斯基认为：“人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。”许多数学问题，只有学生亲自动手操作，才能深刻理解，牢固
185、记忆并灵活应用。只有让学生在动手中练做，在动脑中练思，学生才能主动参与到教学过程中来。如学习几何三角形全等定理“SAS”，就可让学生自己用硬纸片做两个三角形，其中一个三角形的对应角不是两条对应边的夹角，结果两个三角形不全等。上课时让学生带进课堂来分析三角形不全等的原因。如在学习等腰三角形的基本性质时布置学生自己用硬纸皮制作一个等腰三角形，把等腰三角形对折，体会等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角 72上的角平分线互相重合。这样，学生在学做教具的同时也在自主学习数学。四、学生及时总结经验、自我评价、调整改进学习方法，促成自主学习能力的提高。学生自主学习还表现在学生对自己的学习过程进行监控,及
186、时进行自我反馈,并对学习行为作出调整。在教学中要注意让学生对自己的学习过程和成果进行反思,作出自我评价。在教学中我尝试让学生写数学心得,要求学生记录自己每天的学习体会,对学习进行自我监控和自我评价,及时调整下一阶段的学习方法和策略。教师则随时了解每个学生对学习策略的实施情况,及时进行个别指导,适时组织小组或全班的讨论和交流,让同学们互相启发、取长补短,使学生真正成为学习活动的主人。总之，教学过程是学生认识客观世界的过程，是学生主体活动的过程，在这一过程中，教师要善于营造良好的学习氛围，激发学生的求知欲望，使学生“乐学”；创造条件让学生充分参与学习活动，发挥学生自主能动性，使学生“能学”；要注意
187、学生的学法指导，培养学生的自主获取知识的能力，使学生“会学”；同时还要促使学生成功，使学生“还想学”。只有这样，学生的自身素质才能得以提高，才能让学生获取主动的发展。对数学“课堂提问”的再思考 海山第三初级中学 林玫珊 摘要：过去的数学课堂教学一般是以教师的讲授为主，被称之为“满堂灌”，课程改革后强调教师的启发，于是有的老师就把它变成了“满堂问”，即在课堂教学采用一问一答、单一无味的形式。万老师做过统计，他曾经听过一节数学课，那位讲课老师在一节课中设置了 172 个问题。如此壮观的数据引发我对数学课堂教学新的一轮课程改革中数学“课堂提问”的再思考。关键词：课程改革 提问 再思考 在参加潮州市义
188、务教育课程标准和人教版教材培训中，万老师提到，在课程改革中数学“课堂提问”存在的一些误区主要表现如下：一、“车轮战”式的提问。教学过程中如果学生的回答达不到教师备课中的要求，有的教师立即让另外的学生回答，一直让学生的回答落入教师原先设计好的“答案”为止。这种“车轮战”的提问与教师的讲授没有本质的区别，学生的主动性没有真正发挥出来。二、“满堂问”让学生思维得不到发展。老师一节课总是“马不停蹄”地提问，把每一个要教的内容，分得很细，每一步都给学生搭好了“台阶”，问题的设置缺乏了合理性、科学性，提问随意性大，提问时机把握不准，忽视对重点、难点的点拨和讲解。万老师曾做过统计，他听过一节课，那位讲课老师
189、在一节课中设置了 172 个问题。如此的“满堂问”让学生顺着“台阶”一步一步地走，整个课堂也许在表面上很热闹，学生看似参与度挺高，但实际上学生的参与是浅层次的，学生并没有真正地参与思维，当然更谈不上思维得到发展和提高，远离了我们培养人的目标。针对以上情况，在新的一轮课程改革中应该怎样设置“课堂提问”？笔者认为：课堂提问是教师在认真研读了教学目标和教学内容、分析学情的基础上，精心预设课堂提问，通过创设巧妙的问题情境，在教学中生成适当的问题，引导学生积极思考，促进其思维能力的发展，最终促进教学目标的实现。在实际的教学 73过程中，我注重以下几个方面。一、精心设计问题 老师在备课时根据所备章节内容的
190、三维目标，教学重点、难点内容精心设计问题，用精僻的语言，提出既紧扣教材，又突出重难点，并带有一定思考性的问题。学生能理解词句丰富而深刻的含义及其作用；同时，所提问题还要紧随所学关键内容，紧扣主题，以点带面，对课程的主要内容进行充分概括。如在讲正数和负数的时候，我设计这样的问题来引入新课的。你有 10 元钱，买猪肉用了 7 元，买菜用了 2 元，还能买 3 元钱的水果吗？你打算如何买水果？剩下的钱你打算如何记？农村孩子大多都自己买菜做饭，用他们最熟悉的生活例子通过提问的方式来引入新课，问题的设计有明确的目的，服从总的教学任务，学生了解正数和负数是怎样产生，体会数学符号与对应的思想，并能用正负数表
191、示具有相反意义的量，教师在备课时进行充分的准备，做到适时适度，灵活多样。精心设计的这些问题让学生对负数的学习非常容易接受，觉得学习负数有必要，对负数的学习有了兴趣，也为后面的学习做好铺垫。二、引发学生思维 心理学研究表明：一个人如果总是处于一种兴奋的、愉快的状态，他的思维就会有超常的发挥，他接受外面信号的速度就会非常快捷。作为一名教师，课堂上若能营造一种和谐愉快的气氛，让学生时刻处于一种轻松自如的情绪中，那么无论是记忆，还是思维，都会得到最好的发挥。课堂上问题的设置要引发学生的思维。如在讲整式的加减第一课时时，我设计了这样几个问题 首先强调数学的计算，过程不用加入单位，但若我加入单位，有以下式
192、子。问题 1、计算：（1）、2 个人+3 个人=10 棵树+9 棵树=6 张椅-5 张椅=（学生快速口答出这几个题，有趣的问题加上成功的喜悦使整个课堂非常愉快，学生这时轻松自如。）（2）、2 个人+9 棵树=10 棵树+6 张椅=5 张椅-3 个人=（看到这几个式子，学生都笑了，异口同声地说这几个式子不能算。我问：“为什么不能算？”学生说：“都不同类。”）问题 2、若用 x 表示一个人，用 y 表示一棵树，用 z 表示一张椅，你能得到什么式子？（学生能得到相应的式子，第一组题目能够算出结果，但第二组题目学生觉得无法算。）问题 3、如果用其它单项式来表示，你又能得到什么式子？你有什么发现？在实际
193、的教学中，学生对于第一个问题的解决毫不费力，在第一个问题的基础上学生能迅速解决第二个问题。并且会做出思考，为什么第一组题目能够算出答案，而第二组题目就不行了呢？当学生在课堂上对教师所提的第三个问题疑惑不解时，教师应适时点拨、解惑；当学生对问题考虑成熟，苦于无法表达时，教师要帮助学生整理思路，运用恰当的语言表达出来。归纳得出同类项，合并同类 74项及合并同类项的法则，引发学生思维，激励学生感奋起来，活跃课堂气氛，主动探求知识，而不是由教师双手给学生奉送真理。三、拓展学生思维 课堂上问题的设计以“教师提出问题学生积极独立活动教师把学生引入下一个新问题”为模式，这种模式下教师的讲授与学生的积极思维结
194、合起来，能让学生主动探求知识，拓展思维，问题情境就是解决问题的背景。创设问题情境能使学生产生疑问，渴望从事活动、探究问题的答案。有效的教学在于形成一种使学生不确定的问题情境，在疑惑中引起学生的求知欲和学习兴趣，产生学习的愿望和意向。给学生提供必要的问题情景和创造一定的作答条件。或做知识铺垫；或启迪学生根据已知的去开拓未知的；或进行示范讲解，教师“举一”，令学生“反三”，实现学习的迁移。如讲有理数的加减法时，我设计如下问题情境：在一片森林里,两只小猴在游玩中发现了一棵结了很多桃子的大桃树,便跳到同一树衩上爬了上去,其中甲猴先爬了 3 米,又爬了 2 米正好摘到了桃子；乙猴一口气爬了 4 米后,不
195、小心滑下了 3 米,请问两只猴子各爬了多少米?（本教学实例给学生提供必要的智力背景即问题情景，给学生创造一定的作答条件。）问题 1、若规定向上爬为正，向下滑为负，则用数学算式怎样表示呢？问题 2、合作交流，探索归纳（1）（-5）+（-2）=（2）4+3=（3）9+（-5）=（4）6+（-6）=（5）（-5）+3=（6)7+0=（7)(-4)+0=教师提出问题，学生在独立完成第一个问题的后，主动探索第二个问题，问题情境的设置拓展了学生的思维，得出下一个问题，即有理数的加法法则。这样给学生一个“支点”，让他们用“杠杆”把“地球翻转过来”。教师在课堂上给学生提供智力背景，是创设问题情境的重要内容，也
196、给教师和学生发挥创造性提供了广阔天地。四、提高学生思维 教师的教学是要引导学生对“深奥”之处的理解，对知识的挖掘，所以提问要突出重点，就是要将问题集中在那些牵一发而动全身的关键点上，问在最需要、最值得问的地方，以突出重点，巧克难点，提高课堂效率。同时，教师要适当选取一些多思维指向、多思维途径、多思维结果的问题，引导学生纵横联想所学知识，寻找多种解题途径，从而深入地理解知识，准确地掌握和灵活地运用知识。如在讲1.2.1 有理数时，我设计了以下一个活动：将班里学生分成若干组，每一组的每个成员各写出三个数，全组将所得的数集中起来后分类。问题 1、你分类的结果是什么？问题 2、你分类的标准是什么？本问
197、题的提出能突出正确理解有理数的概念这一教学重点，突破分类的标准和按照一定的标准进行分类这一教学重点。根据不同的分类标准将有理数进行分 75类，分类过程中注意不重不漏。如在学习了有理数时，归纳小结可以设计成这样的问题：本节课你学到了什么知识？为什么要学习这些知识？你觉得还有必要学习什么？在教学过程中教师通过对学生适当的引导、点拨，激发学生思维，使学生踊跃回答问题。对于学生的回答，教师既要保护学生回答问题的积极性，又不要使学生的发言漫无边际、正误不分。因此，课堂上老师要审时度势，及时、积极地评价学生的回答，明确观点，从而优化学生原有的认知结构；回答正确的，其原有的认知结构就会得到肯定和强化；回答错
198、误的或不全面的也给予及时调整、纠正，改变原有欠缺的认知结构。要给每个学生创造成功的机会，品尝成功的喜悦，营造宽松和谐的氛围，让每个学生有话想说，有话能说，有话尽说。提问有很多的讲究，在课堂教学中的不同阶段，课堂提问体现的作用是不同的，因此教师要从课堂教学的时间上把握合适的时机。一般来说，在讲授新知识前的提问是为新知识的学习铺路搭桥；学习新知识时的启发式提问是引导学生积极思考、抓住知识的重点；课堂小结时的提问是指导学生系统、有条理地梳理知识；课堂结束前的提问是为了了解和检查学生对所学知识的接受和掌握情况，便于教师及时补漏。提问的时机应多选择在语言材料引入，知识信息集中，巩固强化所学知识，学生稍有
199、疲惫，课堂小结及布置作业时等。课堂提问的质量在课堂教学中有着举足轻重的作用，它对启发学生快速进入思维过程，积极主动思考，发展创新能力至关重要。所以教师要结合课堂教学实际，从学生实际出发精心设置问题，激发学生提问，从而促进课堂教学效率的提高。以上观点还很肤浅，不足之处，敬请同行批评指正。参考文献：1、张国杰等，数学教育研究与写作导论，天津教育出版社，1997 2、王建波，数学课程标准，北京师范大学出版社，2011 3、马复、凌晓牧，课程标准解析与教学指导，北京师范大学出版社，2011 浅谈农村初中数学课堂的优化教学 意溪中学 李加松 摘要 随着新课程改革以及“教育强区”口号的提出，对教育工作者提
200、出了更高的要求。新课程的核心理念是“以人为本”，强调的是“以学生为中心”，教学方法也由“关注学生学习结果”转向“关注学生活动”。然而，农村中学在进行新课程改革的教学中，存在着许多问题，面对新课改，如何进行数学新课程的教学成为农村教师关注的焦点。农村中学教育给老师的感觉就是“难办、难教、难熬”，尤其是提到数学课堂，许多数学教师会遗憾似的摇摇头感慨：“学态差、基础差、效果差”。在推进素质教育的今天，如果数学教师能认真领悟新课标，及时转变观念，积极参与课改，找出切合学生实际的教法，那么数学课堂效率一定会像春天的花卉争奇斗妍。关键词：学习动机 学习兴趣 分层教学 思维习惯 数学魅力 近年来，随着九年义
201、务教育实施，国家加大了农村教育投资力度，农村教育的整体面貌也发生很大变化。但是，目前阶段农村中小学仍然存在许多问题，教学资源远远不足，现代化设备的短缺也制约了教学实施。金山大桥的通车使得生源不断流失以及学生自身素质低等一系列情况造成了农村教育效果不明显。本人 76从事农村初中数学教学工作，谈谈如何来优化初中数学课堂教学，提高教学质量。一、激发学生学习的动机 学习动机是学生学习动力的源泉。只有极大地激发学生学习的动机，才能充分调动学生学习的主动性和积极性，才能提高学习质量。因此，教学时让学生深刻地认识到数学是有用的，具有非常广泛的应用，学好和运用数学不仅可以解决生活、生产中的各种问题，而且是进行
202、高一级知识学习的基础，是将来建设祖国和服务人类的必备条件；数学可以提高人的智慧，不仅包含丰富的知识，而且具有丰富的逻辑思维、思想方法，这些“思维方式”和“方法”是智慧的重要组成部分。学习中，有意识地利用数学思想方法分析问题、解决问题，让学生享受到思想方法的威力和应用的乐趣，有利于提高学生的学习兴趣；数学还是其它自然科学的基础，有的学生有远大的理想，想成为物理学家、化学家，甚至立志要获得诺贝尔奖，这些都是值得鼓励的。更要强调，任何自然科学离开数学是不可能的，没有精确的量化和严密的推理是不能达到科学高峰的。要想在科学上有所建树就必须学好数学这门课。二、学习兴趣的培养 爱因斯坦有言：“兴趣是最好的老
203、师”。培养学生的学习兴趣，首先，要有良好的师生关系。如果一位学生因受到某位教师的斥责而产生畏惧感，那么，他对该教师所教的学科是不会感兴趣的；反之，若一位学生因事受到有关教师的表扬和赞赏，那么他会喜欢这位教师进而喜欢该教师所教的学科，所以，教师在教学中，在与学生交谈中，应加强与学生的感情交流，增进与学生的关系，保护学生学习的积极性。注意在教与学中产生和谐的共鸣，也能增进相互间的情感交流，使学生在融洽的师生关系和活跃的课堂气氛中由喜欢“数学教师”而喜欢“学习数学”，从而对数学产生学习兴趣。正如师生情感不仅是师生交往的基础，而且也是使学生对数学产生兴趣的关键。教师是师生情感的主导者，热爱学生是进行数
204、学教学的前提。当教师的情感倾注在数学教学中，激发了学生的数学学习情感时，学生就能够更加积极主动地投入数学学习。这是培养学生数学学习兴趣的秘诀之一。其次，好奇是青少年的天赋，“问题是数学的灵魂”。有意义、有趣味的问题有其独特的魅力，可诱发学生的好奇心，吸引他们的注意力，激发他们的兴趣，并促使他们为之绞一番脑汁，费一番苦心，探求解决它。所以，课堂上应根据该节课的内容，精心巧妙地设计一些有意义的问题，以调动学生思维的积极性，引发学习兴趣。如：在讲乘方时提出这样一个问题，给一张足够大的纸，让你去叠，需要叠多少次可以叠成珠穆朗玛峰那么高？然后鼓励大家大胆猜，发表各自的看法。这时引入正课，这节课大家都听得
205、津津有味，效果当然大大提高。三、分层式教学，让学生发挥各自特长 同一个班级学生的基础知识、智力水平和学习方法等都存在一定的差异。分层教学的中心思想是教师的教要适应学生的学，而学生是有差异的。分层教学重视学生间的差异，强调教师在教学中针对不同层次学生的实际，在教学目标、内容、途径、方法和评价上区别对待，使各层次学生都能在各自原有基础上得到较好发展。首先是对学生进行分层，只有对每个学生的学习现状了然于胸，从各方面了解每一个学生，包括成绩、行为、家庭情况、作业是否主动完成等基础上进行分层，即 A 层：数学基础扎实，思维能力强；B 层：数学基础中上，思维能力较好；C 层：数学基础中下，思维能力一般。7
206、7其次在课堂上的分层教学，这就要求教师首先得对各个层次的学生进行有针对性的备课。学生分层再好，没有课堂上很好利用和切时发挥，那也只是形同虚设。因此分层备课就显得尤为关键。在熟悉教材、教参和大纲的情况下，按照不同层次学生的实际情况，因材施教，设计好分层次教学的全过程。对不同层次的学生还应有具体的要求，如对 A 层的学生要设计些灵活性和难度较大的问题，要求学生能深刻理解基础知识，灵活运用知识，发展学生的个性特长；对 B 层的学生设计的问题应有点难度，要求他们能熟练掌握基本知识，灵活运用基本方法，发展理解能力和思维能力；而对 C 层的学生应多给予指导，设计的问题要简单些，梯度缓一点，能掌握主要的知识
207、，学习基本的方法，培养基本的能力。例如,在讲平方差公式时可设计 A、B、C 三组习题:A 组:(1)4(a-b)2-16(a+b)2;(2)(a-b+c)(a+b-c)B 组:(1)(-x+y)(-x-y);(2)(-5m+2a)(-5m-2a)C 组:(1)(x+2)(x-2);(2)(5-2n)(5+2n)在教学中要使所有学生都能得到不同程度的最大限度的发展，分层教学为不同层次的学生提出了相应的学习目标，学生也充分认识到了“学有所用，学有所获”。四、创设民主型课堂气氛，培养学生良好的思维习惯。轻松的课堂气氛、和谐的师生关系，为培养学生学习营造良好的环境。教育过程是师生互动、教学相长的过程。
208、教师要把学生作为真正的教育主体，以学生为出发点和归宿，在课堂教学中，实行民主的教育和管理方式，营造充满民主的学习氛围，鼓励学生求异创新、敢于提问，允许有不同的答案。在教学中，应尊重学生的个性特征，允许不同的学生从不同的角度认识问题，采用不同的方法表达自己的想法，用不同的知识和方法解决问题。尽力帮助学生构建起一个包括数学思想方法在内的完整的数学知识结构体系，这都有益于提高学生学习的主动性及分析问题和解决问题能力。例如：已知：AB/CD，求证：+=ACAEC。A B E C D （学生 A）证明：过点 E 作 EF/AB(如图 1 所示)Q ABCD/=+=+=EFCDABEFAEFCDCACAE
209、C/QQ，1212 78 A B 1 F 2 E C D 图 1（学生 B）证明：过点 E 作 EG/AB（如图 2 所示）QQQQABCDEGCDABEGAEGCDCACACAECAECACAEC/()()，即+=+=+=+=+=+=3180418034360360343436036034 A B 3 4 C D G E 图 2（学生 C）证明：过点 C 作 CF/EA 与 BA 的延长线交于 F（如图 3 所示）QQCFEAFEABCDFAEC/，因此=+=+=+=+=+=571806718067518056180756 A B C DF E 765 图 3（学生 D）证明：过点 A 作
210、AG/EC 与 DC 的延长线交于 G，仿证法 3 证明。79在课堂上通过一题多分析不同的解题方法，可使学生的学生效率达到事半功倍的作用。这样不但能拓宽学生思维领域，也使他们学到的不仅是一道习题习惯的解法，而且还学到了解答这一类问题的思维方式。五、加强学生动手制作能力，感受数学魅力。陶行知曾经说过：人有两件宝,双手和大脑,双手能做工,大脑能思考.这句话所蕴藏的教育道理十分深刻,在我们平时的教学中,我们应注重培养学生的动手能力.概念性知识在教学中有一定难度,因为大多数概念都比较抽象,也比较枯燥.如果我们在教学中能调动学生的主动性、积极性,同时通过操作学具或者是自己所动手制作的辅助工具学数学,有利
211、于使学生在课堂中对所学习的概念更清晰,并且理解得更加深刻.而自主探究、自己动手,就是让每名学生根据自己在动手过程中的体验,用自己的思维方式自由地、开放地去探究、让学生感受数学与生活的密切联系。例如在七年级上册几何图形初步第一节正方体展开图的教学中，让学生带自制的教具正方体，让学生自己把正方体进行展开，并把不同的展开图展示出来。通过学生自己对正方体的展开，提高了教学效率，也让学生成为课堂主角，使得整个课堂“动起来”，最后在老师的指导下，对以上十一个图进行归类并把它编成口诀：一三二，一四一，一在同层可任意，两个三，日状连，三个二，成阶梯，相邻必有日，整体没有田。本来学生是比较忌讳空间几何，经过这一
212、节之后碰到这一类题目再也不怕了。总之，提升农村教学水平是一项长期反复的的工作，这就对教师提出更高的要求教师要精心设计每一节课；在课堂上重在引导学生，活跃课堂，增强学生学习数学知识信心，激发学生学习的兴趣。教学过程中注重联系实际，争取做到学以致用培养学生积极情感，全面提高素质教育，从而促进学生的全面发展。基于分层教学的课堂“四定”潮州市饶平县鸿程中学教师 陈少松 摘 要:分层教学是数学课堂教学中常用的一种教学方式，但实施效果却并不理想。分层教学时，如果要充分调动各层次学生学习的积极性，使各层次学生都学有所得，就必须因人而异地制定出基于学生实际的教学目标，并以目标为核心，定一组可以检测目标达成度的
213、训练 80题，定一组与目标相一致且适量的学习内容，定一组有意义且有意思的问题，以此发挥分层教学的功能，从而提高数学课堂教学的有效性。关键词:分层教学 实际目标 达标测题 适配内容 情趣问题 数学分层教学是指把同一班级或年级的学生，根据数学基础和能力的差异分成不同的层次，设定不同的教学目标、教学内容和评价标准的教学方式。新课标实施以来，分层教学盛极一时，它对提高不同层次学生（尤其是农村中学）的数学素养，发挥着重要的作用。然而，不争的事实是，分层教学在不少学校不少教师那里，很多时候呈现出来的只是一种理念、一种奢望而已。原因有多种多样，归纳起来主要有：教学目标模糊，无个性特征；教学内容庞杂且与目标不
214、一致；提问缺少思考的价值；缺乏课后作业的精心设计，等等。这些问题不解决，分层教学就只能是一句空话。如何发挥分层教学的功能，从而提高数学课堂教学的有效性呢？下面谈谈本人的一些做法。一、定实际目标 定实际目标：就是定一组基于学生实际的目标。从教学实际看，没有目标的教学是瞎折腾，没有清晰目标的教学是摸着石头过河，而目标过多的教学则是眉毛胡子一把抓。数学教学应该是务实的教学。如果每一节课都能解决学生数学学习的一个主要问题，那就可以称得上具有意义的教学。由此，实施分层教学时，每堂课就应确立一组明确的切实可行的目标。81教材各章节栏目的设置可以作为教学的一种参考。“观察”“思考”“探究”“讨论”“归纳”是
215、掌握知识之舟，要让所有学生把握，从而去发现数学的奥秘；“复习巩固”“综合运用”“拓广探索”提供了不同层次的问题，要根据不同学生的实际情况，提出不同的要求；“数学活动”“阅读与思考”“观察与猜想”“实验与探究”“信息技术应用”展现了更广阔的数学世界，要让那些数学尖子努力去探索和尝试。总之，教师要根据不同能力的学生情况增强知识的层次性。每个学生有各自的选择，都能获得成功的体验，数学能力就会有不同程度的提高。分层教学时，目标的确定应当考虑这样几个因素：（1）教材对某一章节规定的学习任务，（2）某一章节本身具有的学习内容，（3）学生学习该章节可能面对的困难，（4）课标和中考对这一（类）章节的质量要求。
216、如八年级下“平行四边形”这一知识点，根据上述因素，可以对不同层次的学生实际提出不同的目标：（1）了解平行四边形的概念，会用符号表示平行四边形，理解“平行四边形的对角相等”等性质，了解平行四边形的不稳定性及其实际应用。（2）除以上目标外，会运用平行四边形有关性质进行论证和计算。（3）除以上目标外，能自主分析、推理以及概括平行四边形的有关结论，并能联系实际，有一定的实践能力和创新能力。再如“一元二次方程根与系数的关系”，教学目标可定为：（1）记住方程的根与系数的关系并能用它来解决简单的问题。（2）能推导方程的根与系数的关系，并能熟练运用它去解决一些有一定难度的灵活性、综合性的问题；（3）理解方程的
217、根与系数关系的推导过程，并能用它去解决一些稍为复杂点的问题；（4）了解方程的根与系数关系的推导过程，记住方程根与系数的关系，并能进行一些简单的应用。这里各层次的差异是阶梯式的，有利于低层次学生向高一层次目标迈进。这 82样的学习，因目标合乎实际而效果更佳。教学时，目标的“个性化”强调数学的人文性，注重学生主体性的培养，能引领学生主动合作与交流，从而使他们对数学有了亲切感。这样做，既适合全体学生，又满足于知识基础不同、智力因素各异的学生；既让一般学生体验到成功的喜悦，同时也力图开发优秀生的潜能。二、定达标测题 定达标测题：就是定一组可以检测目标达成度的训练题。精心设计的训练题，内容应能够检测课堂
218、学生掌握知识的情况和运用知识的能力，应具有学以致用的实质意义，让不同的学生都有一样的享受，从而检测课堂教学是否达到学习目标。如：九年级下“相似三角形”这一知识点，我布置了几道训练题：（1）如右图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔 5 米有一棵树，在北岸边每隔 50 米有一根电线杆小丽站在离南岸边 15 米的点 P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为_米。（2）在 ABC和 DEF中，090,3,24ADABDEACDF=。判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？能否分别过 AD，在这两个三角形中各作一条辅助线，使 ABC
219、分割成的两个三角形与 DEF分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论。P 北岸 南岸 AB CDEF 83（3）如右图，把菱形 ABCD 沿着 BD的方向平移到菱形 A B C D 的位置，求证：重叠部分的四边形 B EDF是菱形。若重叠部分的四边形 B EDF面积是菱形 ABCD 面积的一半,且2BD=，求此菱形移动的距离。如何在有限的课堂教学时间内完成这一组问题，并能较好地达到教学目标，这是需要认真对待的问题。假如不分主次，都充分学习讨论，那么教学时间显然是不够的，且学生课堂学习时遗留的难题也无法解决，结果只能是事倍功半，很难有好的教学效果。一般而言，课堂学习时，对题（1）只须花很少量
220、的时间，以提问自测的形式了解学生是否达标就可以了，而题（2）尤其是题（3）则花费较多的时间进行讨论。学生讨论后，教师应对正确观点加以肯定，鼓励和表扬积极参与讨论的学生。对于讨论时学生已认识或达成共识的问题采用点评的办法，而对于讨论中存在的问题或难度大的问题，则要进行综合分析，重点讲解，并通过达标测评或有关练习来检验学生的目标达成度。要使学生顺利完成设定的一组训练题，就必须有针对性。由此，训练内容的选择和确定,就要根据目标而设定。明白了这一点，课堂教学才会朝着解决问题的方向不枝不蔓地进行，同时，也能对目标是否恰切予以检测，有利于修正目标。三、定适配内容 定适配内容：就是定一组与目标相一致且适量的
221、学习内容。确定好一个学习目标后，学习内容因受其制约而显得重点突出、难点明晰。这时，要据此设计好一定量的练习。FED/C/B/A/DCBA 84如九年级下“相似三角形”一节学习内容为：（一）（1）已知两个相似三角形的面积之比是 4:9,那么这两个三角形对应边的比是 。（2）两个相似三角形的对应中线长之比是 2:7，那么它们的对应角平分线长之比是 ，周长之比是 ，面积之比是 。（3）已知 ABC DEF，且9:25:=DEFABC SS，两三角形周长之和为 48 厘米，则DEF 的周长为 厘米。（4）已知ABCDEF，090AD=，如果012B=,那么E=。（5）已知ABCCBA11，,113,1
222、2ABA B=则 AD 和11A D 分别是11BCB C、边上的高，则11:AD A D=。（二）（1）如图 a，在 ABC中，已知 EF BC，且2,3EFBC=，AEF的周长为 10。求梯形 EBCF 的周长。（2）如图 b，正方形 DEFC 是 ABC的内接正方形，AMBC于 M，交 DG 于 H，若 AH 长4cm，正方形的边长为6cm。求 BC 的长。（三）如下图，有一块三角形铁片,10ABC BCcm=，高5ADcm=，要把这块铁片加工成一块矩形铁片，使矩形的一边 BC 上，另外两个顶点在 ABAC、上。（1）若这块矩形是正方形，求加工成正方形铁片的面积；（2）若这个矩形的两条边
223、之比是 12，求加工成矩形铁片的面积。B D C A A E F B C ACFEBDGHM 85第 二 组 题 图 a 第 二 组 题 图 b 第三组题图 这组练习，（一）题要求全体学生都要完成，在此基础上，根据学习能力的不同，自主选择完成第（二）（三）题。这样一来，对于那些学习有困难的学生来说，在掌握基础知识的同时，就减轻了他们的负担。一般水平学生在完成练习的同时既感到轻松愉快，又扎实掌握了知识技能；而水平高的学生则向更高层次挑战。学习内容的选择应注意如下几点：要紧紧围绕教学重点及难点；针对难点，对学生要求不能太高，要在他们自己解决问题的基础上有的放矢地改正错误，这样才能达到解决问题的目的
224、。学习过程中，可根据学生情况和教学内容，结合教学目标，采取逐题或任意选题进行解答的方式。一位同学发言后，其余同学可加以补充。教师也参与讨论，并不断提出与之有关的新问题。值得注意的是，我们应当根据学生学习的实际情况来确定学习内容的长度。如果方法得当，学习的内容应当可以增量，这取决于教师的准备和实际的教学能力。四、定情趣问题 定情趣问题：就是定一组有意义且有意思的问题。课堂学习内容除了章节教学内容外，还应包括学习这类内容的方式、方法、途径等。当下常见的方法是将学习内容问题化。这是一种有效的选择，但设计怎样的问题是有讲究的。我认为，有效问题的特征是：从局部看，每个问题不仅能帮助学生正确理解 86某一
225、章节的内容和形式，提高多角度理解知识的能力，而且让不同层次的学生都能感觉到“我怎么没想到”；从整体上看，课堂学习内容的所有问题应是一个整体，即从什么、怎么到为什么，从而获得解题的能力。如九年级上册第二十二章“实际问题与一元二次方程”中的探究 3：如图，要设计一本书的封面，封面长 27cm，宽 21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形。如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到 0.1cm）？针对不同层次的学生，我设计以下问题：（一）1、读题，看看题目中有几个等量关系。2、如何理解“长宽比例相同”这句话？（二）根
226、据同学找出的等量关系列出合适的方程，并进一步求出方程的根。（三）在完成以上的问题之后，用本节课所学习的内容解决一道生活中的应用题：如图，在一块长30m，宽20m 的矩形草坪上，要修建两横两竖 4 条小路，要求横、竖小路的宽度比为 3：2，如果要使小路所占面积是草坪面积的四分之一，应如何设计小路的宽度（精确到0.1m）？先找出有 2 个等量关系：（1）横、竖小路的宽度比为 3：2（2）小路所占面积是草坪面积的四分之一 87或：余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三 再提出问题：（1）你是如何利用这些等量关系？为什么？（2）如何列方程？观察到部分优秀生已经完成后，进一步提出问题：对比下列两个图形，
227、看看它们有什么联系和区别？这组问题，学生在例题和练习中能学习到一元二次方程的相关知识，更重要的是能运用相关的知识解决生活中的数学问题，所以“有意义”；例题和练习都是生活中常见的东西，所以“有意思”；这样的问题自然大大激发他们学习数学的欲望。理想状态的问题，应能创设出一种学生产生疑问并迫切希望得到答案的求知心理，能激发学生的思索、探究的欲望，且能形成一个由浅入深将问题进行到底的序列。分层教学要求尽量采取变式复习而非机械性重复，这才不会形成思维定势。所以，一组有意义且有意思的问题可以利用变式复习、“可逆性联想”来促进思维的灵活性。总之，课堂教学的“四定”是以目标为中心去选择学习的内容，它克服了分层
228、教学中杂乱无章的毛病。在分层教学中坚持“四定”，既有利于发挥了教师的 88引导作用，又能够调动学生注意力，培养他们的数学记忆、思维等品质，提高他们的学习能力，同时对教学方法及教学模式的更新提供了可能。2012 年 12 月 浅谈农村初中数学“学困生”的转化 龙溪中学 陈丽如 在实施九年义务教育后，所有的小学毕业生都无条件地升入初中学习，由于学生个体差异、初中教材内容的加深、教学要求的提高、学习方法的改变、外界因素的干扰等多方面的原因，学生两极分化的现象特别严重。在数学方面尤为突出。优生在不断减少，后进生在逐渐增多，而且队伍越来越庞大。这种现象在农村中学中更为明显。如果教师不及时引导，定会导致一
229、系列不良后果。那么什么是数学“学困生”呢？他们主要表现在哪些方面呢？本人在农村中学教学多年，针对自己的经验，先谈谈这些学生的特点。所谓“学困生”，当然就是在学习上有困难的，主要表现为基础差，上课不专心听讲，精力不集中、反映迟钝，接受能力差、平时作业靠抄袭来完成任务。一到考试通常就是二三十分甚至几分，学习基本没什么积极性等等。面对这样的学生，我们教师肩上的担子很重，因此对“学困生”的转化是问题的关键。那么如何对这些学生进行转化呢？笔者谈谈自己的一些看法。一、造成学生数学学习困难的原因，本人认为有客观的原因也有主观原因。主观原因：1 缺乏学习数学的兴趣和学习意志薄弱。对于初中学生来说，学习的积极性
230、主要取决于学习兴趣和克服学习困难的毅力。与小学阶段的学习相比，初中数学难度加深，教学方式的变化也比较大，教师辅导减少，学生学习的独立性增强。在中小学衔接过程中有的学生适应性强，有的学生适应性差，在学习中，一遇到困难和挫折就退缩，甚至丧失信心，导致学习成绩下降。2 思想懒惰，不求甚解，学不思记。相比小学数学而言，初中数学教材结构的逻辑性、系统性更强。研究表明，数学学习成绩倒退的学生都是掌握知识、技能不系统，没有形成较好的数学认知结构，不能为连续学习提供必要的认知基础他们由于思想懒惰，不求甚解，学不思记，对前面所学的内容达不到规定的要求，不能及时掌握知识，如果小学基础不好的话，到了初中又没有钻研学
231、习精神，慢慢地成绩也就自然而然地拉下来。3 缺乏责任感。这种学生往往在课堂上没法专心听讲，也就造成解题时无法正确运用一些定理或公式，作业马虎应付，考试时来个临时发挥，考后也不总结经验教训，久而久之，成绩下降也无所谓，慢慢地也就成了“学困生”。4 学生基础差，缺乏学习积极性。有的学生在小学时基础就差，到了初中后就是抱着“反正学了也是白学”这样的心态，对数学早已失去积极性，因此上课根本要不就是无心听讲，要不就是睡觉，自然而然地也就成了“学困生”。客观原因：1 家长因素。俗话说，父母是孩子的第一个老师。但在农村，很多家长由于本身文化水平不高，教育孩子根本就谈不上什么方法，很多都是最多 89就是照顾孩
232、子的起居饮食，在教育这方面根本就是一片空白。有的每天忙于生计，有的整天打工，有的长年在外，对孩子学习上的事更是无从教起。而且很多家长往往注重学习的结果，不注重过程，一味地望子成龙，有的给孩子提出过高要求，而一旦这种要求无法实现，又会打打骂骂，这也导致孩子对学习失去兴趣。2 社会因素。在农村存在着“读书无用论”的不良风气。有些人认为即使是上大学，也未必就能找到工作，还不如早点到社会上赚钱。这也就严重影响学生的学习积极性，好多学生从小就对学习失去兴趣，上学就是为了“混日子”，这样也就产生了相当一部分的“学困生”。3 教师因素。数学教师的素质对学生数学素质起着决定作用的因素。数学教师的素质包括专业水
233、平、教学水平、教学态度以及教师心理状态等。而有的教师本身专业水平不高，时有出错，导致学生对数学的不满。有的教师上课比较呆板，枯燥无味，提不起学生的兴趣。还有的教师对学生有时出现态度生硬等等问题，这些都导致孩子对数学慢慢地失去信心，从而渐渐地成为“学困生”。二 做好“学困生”的转化工作。1 关爱“学困生”。对于初中生来说，学习的兴趣往往是跟喜欢这个老师与否离不开的，所以老师平时除了要让这些“学困生”感觉到他们与其他同学是平等的，更要感觉到老师对他们的关心呵护。学习上落后的孩子，往往心灵是比较敏感脆弱的，有时候老师的一个微笑、一个鼓励的眼神、一句表扬的话都会让这些学生得到鼓励，激发他们学习的信心。
234、反之，一个讽刺的词语都会深深地打击着这些孩子学习的信心。曾经有一个学生，升上初一时，一开始在全班成绩是班里倒数十几名，特别是数学更差。第一单元就只考了个二十几分，家长也认为这孩子是没指望了。他在课堂上不违反纪律的话就是趴在桌子上睡觉。后来我在上课时，有些简单点的题目就让他来回答，一旦正确马上给予大力肯定，对于他作业上存在的问题经常给他讲解，这样慢慢地他上课听的时间也多了，懂的知识也越来越多，第二单元考试时就考了六十多分，我及时在班里大力表扬他，也在家长面前肯定他的努力。后来这学生渐渐对数学产生兴趣，进步很大，数学一直保持在班里十几名的位置。所以本人认为，要提起“学困生”学习的兴趣，首先要让老师
235、得到这些学生的认可，建立一种和谐的师生关系是促进学生学习的重要因素。对他们热情辅导，真诚帮助，从精神上多鼓励，学法上多指导，树立他们的自信心，提高其学习能力。只要教师愿意和学生交朋友，学生就会倾心诚服于你，会努力学习你所教的学科。这样就不愁学生不努力学习数学，当然就更不愁学生学不好数学。2 让“成功”走进课堂，增强“学困生”的自信心。十几岁的孩子都是争强好胜的，如果能够利用学生的这点心理，让“学困生”能尝到成功的滋味，就很容易激发学生学习的兴趣。那么如何操作呢？比如在课堂上，对于基础知识，我通常会让这些“学困生”来作答，当他们给出正确答案时，我都会给予充分地肯定，大力地表扬，这样“学困生”也能
236、尝到“成功”的甜头。曾经有一个学生不只学习成绩差，课堂上也经常无心听讲，有一次讲到“平行线的性质”的应用时，有一道题目问到根据什么数学原理时，这个学生马上在下面说出正确答案，我马上对他的这种行为大力表扬，肯定他，接下来的数学课我发现，这个学生经常听得很认真，好几次做练习时我特意留意他的练习，发现他很多简单的题目已基本会了的，进步明显。由此可见，要使“学困生”对数学产生浓烈兴趣，除了要有情感教育外，还要让他们有“成功”的体验。3 让枯燥的数学课变得生动。数学多为抽象、枯燥的，学生学习起来感觉无 90味，这也是会影响学生的学习兴趣。如果教师上课时只是照本宣科，势必让学生学而无味，特别是“学困生”，
237、一到上课就是睡觉或是注意力分散。如何改变这种现象呢？这就要求教师能积极钻研教材，让数学变得有趣而又生动，或者让学生参与到游戏中来。比如在上到“有序数对”这一节内容时，我让想想如何跟家长描述自己的座位，然后举例说明，如果有同学座位是一行二排的话，我们把它记为（1，2）其中 1 就代表着一行，2 呢就代表是第二排，但两个数一起写就是12 了，容易让人产生误会，所以中间有用个逗号隔开，又因为这是成对出现的，就跟我们的爸爸妈妈一样，就是一对的，一起回家后就赶紧把门关上，所以就要加个括号，就跟我们的门一样。这样描述时，学生们是哄堂大笑，但在笑完之后也就很容易记住了有序数对的特征。然后一个班分成四个组进行
238、比赛，点到名的同学到黑板用有序数对表示自己的座位，看谁又准又快。这时我就故意找那些“学困生”。在这种氛围下，很多“学困生”也不甘示弱，正确表达出自己的座位。这样一节课下来，学生在这种轻松的氛围中掌握了抽象的数学知识。4 培养正确的的学习方法。性格决定人生。美国教育家布鲁姆认为 90%以上的学生的智力是相差很小的，都能学好。数学“学困生”往往是没有好的学习习惯造成的。所以培养正确的的学习方法，养成良好的学习习惯有着重要的意义。很多“学困生”对数学公式概念定理只采取死记硬背的方式，而懒得动脑筋去理解，对于解题时遇到的困难又往往把问题扔在一边。在教学中，我要求学生要预习，自主学习，把不明白的地方做记
239、号，上课是带着问题去听课，往往能达到事半功倍的效果。课堂上的新问题新知识则采取引导启发，让学生积极参与到教学中，培养了学生自主学习的良好习惯。对于习题中出现的问题，我极少给予答案，而是引导学生分析问题，然后一起解决问题，培养学生良好的思考问题分析问题解决问题的正确的学习方法。5 培养“学困生”独立完成作业的习惯。很多基础差的学生，对于作业通常就是采取“一抄了事”。本来作业就是为了巩固当天的知识，但很多“学困生”为了应付，不爱自己动脑筋，抄袭作业。对于这种情况，我通常布置作业时尽量布置些比较基础的题目，先鼓励“学困生”自己独立完成。批改作业时尽量采用面批，有问题时及时给学生纠正，尽量不是打个“X
240、”。对于作业有进步的学生，采用“好”“很好”“有进步”“继续努力”等评语，这也正印证了英国丘吉尔所说的话：“你想要人家有什么优点，那你就去赞美他吧！鼓励他吧！”6 争取家长合作，为“学困生”创设良好的家庭氛围。教育的最高境界是让孩子在心情舒畅，快乐的氛围中受到教育，家长也应该尊重孩子的自尊心和人格。特别是“学困生”的家长，平常教育中更是不太尊重孩子的自尊心。针对这种情况，对孩子平时的点滴进步，及时跟家长沟通汇报，增强家长对孩子的信心，时间久了，孩子与家长关系缓和了，家庭氛围变好了，孩子学习数学的信心也更大了。在教育实践中如何引导和转化“学困生”的方法是多种多样的，体会也各不相同，还有待于我们共
241、同研究和探讨。以上是我个人在从教十几年来的一点粗浅看法。浅谈数学教学中“错解”的价值庵埠中学陈如 在初中数学教学中，教师通常传授课本的知识和讲解正确的解题方法，忽视 91“错解”现象的价值。学生在考试、作业、练习中经常出错，甚至出现“错误重复现象”，大部分老师把这一现象归于学生“笨”，甚至训斥学生，这样不仅会挫伤学生学习的积极性，甚至产生师生对立情绪，影响正常的教学展开。那么，教师该如何看待学生的“错解”现象呢？我认为教师应对学生出现错解应有一个正确的认识，懂得错解是学生在学习中必然存在的现象。教师不能只注重教会学生正确的解法，而不注重揭示错解形成的原因，教师要善于挖掘和发挥“错解”的教育价值
242、，下面结合笔者的教学经历就此浅谈几点看法。1.借错显正，加强学生对知识的掌握 学生掌握新概念时，由于理解不正确或者不全面，缩小或扩大了新概念的内涵或外延，从而导致错解。老师在讲授新概念时，首先得出错解，然后才引入正解，进行比较，这样更能让学生对所学知识更深刻的理解。例如在学习一元二次方程的概念时，有这样的一道题：若关于 X 的方程（m+2）xmx+1=0 是一元二次方程，求 m 的值。有的学生会得出 m=2 这个错误的答案，教师便可以借助这一错解现象让学生明白：由于同学们忽视了“二次项系数不能为 0”这个前提条件，所以没有考虑 m+20，从而得到 m-2，因此 m 的值只能是 2。教师若能在教
243、学时利用这个典型的错例来讲解一元二次方程的概念，则更能加深学生对知识的理解和记忆。2.错正对比，防止学生解题出现混淆 初中学生随着对所学知识内容的积累，解题时常会张冠李戴，发生混淆。所以教师若能在教学时通过同一道题进行正误解法进行比较；或者把学生容易混淆的两个题型进行类比。从而更清楚地让学生理解和掌握，避免混淆，达到提高学生解题能力的目的。例如学生学了分式方程后常把分式化简问题和解分式方程混淆。例 2 计算 错解：原式=1x-1-2x（x+1）（x-1）=（x+1）（x+1）（x-1）-2x（x+1）（x-1）=（x+1）-2x =1-x 正解：原式=1x-1-2x（x+1）（x-1）=（x+
244、1）（x+1）（x-1）-2x（x+1）（x-1）=(x+1)-2x(x+1)(x-1)92=1-x(x+1)(x-1)=-1x+1 同时利用一道解分式方程的题目进行对比：例 3：解 1x-1-2x（x+1）（x-1）=0 两边同乘以（x+1）（x-1）得 （x+1）-2x=0 解得 x=1 经检验 x=1 是增根 所以原方程无解.像这样，同一道题能引用正、误两种解法，更能让学生在比较中学会解题，减少错误。而不同题型进行比较，则更能让学生明白其联系与区别，在解题中避免混淆。3.学会判断，提高学生的自我监控能力 若学生能利用所学知识对解题结果进行检查判断，找出错误，并加以修改；或是在解题之后能够
245、进行反思，及时调整问题解决的方法，避免出错，那效果就会更好。然而现在的学生大多解完题后，便认为大功告成。该如何提高学生的自我监控能力呢？（1）在错误中学会提问 学生要提高自我监控能力，首先学生应学会自我提问，即是对自己的解题结果进行提问，若出现矛盾，学生便能否定自己的解题过程，然后寻找出错的原因，从而进行修改。例如：有一拱桥洞呈抛物线型，这个桥洞的最大高度为 16m。宽度为 40m，求该抛物线的解析式？错解：设此抛物线的解析式为 Y=aX2 依题意得 B(20,16)。把点 B 代入得 16=a*202 ，解得 a=0.02 所以 Y=0.02X2 学生得出答案之后，教师可以提示学生抛物线的开
246、口方向是向下的。a 应该是正数还是负数呢？经老师一提示，学生便能意识到自己的答案是错误的，接着寻找出错的方向，存在的问题应与点的坐标符号有关，把点 B（20，-16）代入，进而求出正确的答案。教师的提示目的是培养学生形成自我提问的习惯，当自我 93提问成为一种稳定的能力时，学生就掌握了初步的自我监控能力。（2）在错误中学会反思.作为一名初中学生，或多或少有一定的学习经验，特别是错误的经验，教师需高度重视学生各种错误的由来，想办法让学生体验错误的过程，反思错误的原因，然后再帮助学生寻找解决问题的正确方法。例如：已知四边形 ABCD 的四边 AB,BC,CD,和 DA 的长分别为 12,3,4,1
247、3，BCD=900，求 S 四边形ABCD.错解：S 四边形ABCD=（13+3）42=32 正解：连接 BD BCD=900 AB2+BD2=122+52=169 AD2=132=169 AB2+BD2=AD2 ABCD 为直角三角形 ABD=900 S 四边形ABCD=SABD+SBCD=12*12*5+12*3*4=36 教师可以直接提醒学生在错解过程中为何 AB=12 没有用到，而且题目中没有说明四边形是梯形，所以不能用梯形的面积公式计算，这是犯了添加条件的错误，同时引导学生明确题目提供的已知条件不可能无需用到，然后教师趁热打铁：既然是不规则图形，求面积还有什么方法呢？大部分学生应该能
248、恍然大悟：分割法，我懂了！教师应能从学生的错误答案中引导学生进行反思，加深他们对正确解法的记忆，从而提高解题能力，同时也提高了学生自我监控能力。4.因错施教，使不同类型的学生找回学习的信心。学生解题产生的错误并不是每位学生乐意的，在错解中学生能暴露自身出现的问题，都可以从他们学习行为中去寻找原因，如学习动机、努力程度、阅读习惯、记忆方法、思维方式、听课方法、联系方法、复习方法等等，教师有必要针对不同类型的错误采取不同的处理策略，注意具体问题具体分析，针对个别差异区别对待，比如：如果是马虎大意，审题不当导致失分，则要教育学生端正考试态度。另外，对学生非智力因素方面的问题要找得准，抓得狠，注意集体
249、引导和个别辅导相结合，使学生形成严谨的学风。总之，学生的数学经验需要不断的积累，学生的错解不能作为失败的标志，而是能反映出每次学习过程出现的问题，如果老师能对错误的原因进行分析，让学生明白出错的原因，便能有效地加深学生对知识的理解，提高解题能力，减少考试出错，对学习更有信心。因此我们应对“错解”给予新的认识，利用“错解”能让我们在教学中有意想不到的收获，学生也能在“错解”中收获正确的方法，甚至数学成绩进步的喜悦。A B C 13D 12 4 3 94 95对初中数学课堂教学的一些看法 参加青年教师教学观摩课比赛的收获 湘桥区城南实验中学 郑芸 在 2010 年，先后参加湘桥区与潮州市的青年老教
250、师教学观摩课的比赛期间，我几乎把所有的课余时间都花在准备、学习、交流、演练与教学反思中，不过，我也得到了很大的收获。不但获得了“市一等奖”，而且对我的教学水平的迅速提高也有了很大的帮助。特别是在今后的教学中，让我受益颇深，更加明白了如何进行课堂教学设计，如何处理重难点，如何让教学目标真正得到落实。现在就自己的一些收获浅谈如下：一、数学课堂不应该是习题如排山倒海般涌向学生，而应该是精讲精练。有些青年教师在设计课堂教学时，为了让教学的内容迅速得到落实，在教学设计时，就找了很多习题，想让学生多训练。这本来是很好的出发点，但是在上课时，对知识点的讲解就非常肤浅，泛泛而过，学生还没理解到真正的内涵，就涌
251、出许多的习题。对于那些天资聪明的孩子，是挺不错的，但还是会有很多学生无法深入的理解，这时如果做太多的习题，对知识的理解就会只停留在表面，可是又本末倒置地把精力放在做题上面。其实，没有比较好的知识基础，做题只会越做越乱。对于有经验的数学教师来说，一节课下来，让学生做的习题可能没有那么多，可是，他们对知识点的落实却往往很到位。因为这些教师上课的重点是放在如何引导学生来掌握这节课的知识点。例如正多边形和圆这节课，通过设问：“将一个圆五等分，把五个等分点顺次连接起来形成了一个五边形。”然后证明它是一个正五边形。接着，教师及时引导学生把特殊性推广到一般性，问：“那六等分圆后，顺次连接六等分点，会是什么图
252、形？n 等分圆后，顺次连接 n 等分点又是什么图形？”教师一直围绕这个图形，引导学生把特殊性推广到一般性，既让学生掌握了特殊情况，又顺理成章的掌握了一般情况。还是刚才的正五边形这个图形，教师再一一把正多边形的有关概念，如中心、半径、边心距、中心角介绍一下，让学生从这个非常熟悉的图形中再理解这些概念，自然能在思维空间里形成一个严谨的知识网络，以后就不会轻易忘却了。因此，对于数学的新授课，不能一味的追求量多，而更应该追求质精。频繁 96的变换内容、图形，会使学生应接不暇、难以适从，对知识的理解和记忆也容易混淆，这时候做再多的习题，也是无济于事的。因为没有扎实的基础知识，做起题来就如无源之水，一定无
253、法自如应用的。作为教师，我在教学设计时，时刻注意到这一点，坚持把重点放在如何引导学生，对待知识不但要知其然，更要知其之所以然。二、教学中别忘了时时小结，题题小结。同样一节课，一个内容，一张练习卷，有经验的教师往往讲得比稳当，有些青年教师会想：“我怎么一下子就讲完了呢？我觉得自己没有遗漏什么啊！”其实，经验好的教师总是会时时小结，题题小结，及时回顾，新旧联系，加强学生对知识的纵横认识，达到融会贯通。例如，我在参加潮州市的教学观摩课比赛时，当时是讲如何用待定系数法求一次函数的解析式。在开始备课时，对于评讲课堂练习这一环节，我只是很简单的分析学生做题的对与错。通过与同科组老师的交流、互相探讨，让我明
254、白了，课堂练习的评讲是一次很好的小结机会，这时通过分析学生做题的对与错，联系刚刚学习过的新知识，适时的小结，会让学生恍然大悟，加深了对新知识的认识和理解。我立即将这一思路应用到观摩课的比赛中去，得到了评委们的一致肯定。自从那次比赛之后，我备课就非常注意这个问题。在 2011 年潮州市初中数学教学公开课上，我开了一节平面直角坐标系的公开课，讲完新授课后，配套了一道写坐标的题目。学生完成之后，通过提问学生，检测教学效果，接着并不是匆匆进入下一个教学内容，而是，在我的引导下，跟学生一起回顾平面直角坐标系的 x 轴、y 轴、原点、点坐标的横坐标和纵坐标等概念，让学生及时复习，更加巩固了新学知识，也为下
255、一个教学内容起了铺垫。作为一个年青教师，以前我真的太过忽略了及时小结，所以对学生来说，知识总会出现遗忘、混淆。通过这些公开课的学习，我明白了小结的重要作用，上课时，常常对知识点及时回顾、小结，把新知识与旧知识有机结合。学生在我的引导下，也学得更加省力，自己在复习时，也能有目的性地总结、联系，学习效果非常显著。三、数学课上切忌话多，尽量做到每句话都有目的、有作用，言简意赅。珠三角地区很多学校都是自主招聘教师，某一所学校在招聘数学教师时，其 97中有一个环节就是让参加竞争上岗的教师来讲评一道习题，谁能用最少的语言把题目讲清楚，谁的分数就最多。数学本身就是一门有思维逻辑严密、环环相扣的学科。而把数学
256、作为一门必修的学科，目的也是为了培养学生的思维逻辑能力、统筹能力，即做事不要马马虎虎，拖泥带水。所以，作为数学教师就应该起个表率。上课时语言应尽量简练，把最准确、最简洁的内容教给学生。同时，教师如果在讲课时做到言简意赅，学生就更加容易捕捉到准确的信息，更加有利于提高学习效果。可是，要做到字字珠玑，并非易事。这就要求教师平时要多下功夫，扎扎实实学习教学基本功和专业知识，并对知识点多进行反思，多学习，提高自己的综合能力。例如在市观摩课如何用待定系数法求一次函数解析式上，我在情景引入时的第一句话是：“同学们，你们会画一次函数 y=x+3 的图象吗？”学生的回答自然是“会”。“那如何画呢？”接下来提问一名学生，他的回答是“用两点法画一次函数的图象”。我用了两句话，既复习了前面的知识，又引出了这节课的问题。接着我再问：“反过来，如果知道某个一次函数的图象上两个点的坐标，能否求出这个一次函数的解析式呢？”很自然就引入了这节课要讲授的内容。因此，教师简洁的语言，可以在很短的时间内，让学生很快的集中精神，投入到接下来的新授课内容。总之，我所体会与感受的都是课堂教学的细节，细节容易决定成败，所以我们不可忽视这些课堂教学的细节。一节课需要教师精心的引入，详细的讲解，安排适量的练习。假如教师还注意精讲精练，时时小结，言简意赅，那么教学效果就会更加明显，教学目标就会更加得到真正的落实。
