1、宿州市十三所重点中学20202021学年度第二学期期中质量检测高二数学（理科）试卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟）第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、若复数的实部与虚部互为相反数，则（ ）A.B.C.D.2、用反证法证明命题：“已知、是自然数，若，则、中至少有一个不小于2”，提出的假设应该是（ ）A.、中两个都不小于2B.、中至少有一个小于2C.、都小于2D.、中至多有一个小于23、一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ）
2、A.2B.1C.D.4、分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B曼德尔布罗特（Benoit.Mandelbrot）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.下图按照的分形规律生长成一个树形图，则第13行的实心圆点的个数是（ ）A.55个B.89个C.144个D.233个5、已知函数，则下列说法正确的是（ ）A.函数的最小值为B.函数的最大值为C.函数的最小值为D.函数的最大值为36、已知函数，则的图象大致为（ ）A.B.C.D.7、下列类比推理正确的序号为（ ）“边长为的正三角形内任一点到三边距离之和是定值”类比空间，“棱长为的正四面体内任一点到四个
3、面的距离之和是定值”；在平面上，若两个正三角形的边长比为，则他们的面积比为.类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为，则他们的体积比为；已知椭圆具有性质：若，是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，则当，的斜率都存在，类似的，点若在双曲线上，则.长宽分别为，的矩形的外接圆的面积为，类比空间中，长宽高分别为，的长方体的外接球的面积为.A.B.C.D.8、用数学归纳法证明不等式时，从“到”左边需增加的代数式为（ ）A.B.C.D.9、设正三棱柱的体积为，当其表面积最小时，底面边长为（ ）A.B.C.D.10、若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.11、设为整数，对
4、于任意的正整数，则的最小值是（ ）A.2B.3C.4D.512、设是定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）A.B.C.D.第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案写在题中的横线上.13、已知复数满足（为虚数单位），则的模为_.14、已知是曲线上的任意一点，则到直线距离的最小值为_.15、求值：_.16、已知函数，若有且仅有一个整数，使，则实数的取值范围是_.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本小题满分10分）已知是自然对数的底数，函数（，且）.（1）当时，求
5、函数的单调区间；（2）当时，函数的极大值为，求的值.18、（本小题满分12分）（1）已知，证明：.（2）已知实数，满足，用反证法证明：方程与方程至少有一个方程有实根.19、（本小题满分12分）设函数，对任意实数，都有（1）求的值；（2）若，求，的值；（3）在（2）的条件下，猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明.20、（本小题满分12分）已知函数.（1）若在定义域内单调递增，求实数的范围；（2）设函数，若至多有一个极值点，求的取值集合.21、（本小题满分12分）如图，已知二次函数，直线，直线（其中，为常数）；若直线与函数的图象以及直线，与函数的图象所围成的封闭图形如阴影所示.（1）求阴影面积关于
6、的函数的解析式；（2）若过点，可作曲线，的三条切线，求实数的取值范围.22、（本小题满分12分）已知函数.（1）若函数，讨论的单调性；（2）若函数的导数的两个零点从小到大依次为，证明：.宿州市十三所重点中学20202021学年度第二学期期中质量检测高二年级数学（理科）试卷参考答案一、选择题题号123456789101112答案ACACBADDDBBD二、填空题13、 14、 15、 16、三、解答题17、（1）函数的定义域为.求导得当时，令，解得或，函数的单调递增区间为，；减区间为.（2）由（1）可知，当时，函数在区间，上单调递减，在上单调递增，于是当时，函数取到极大值，极大值为，故的值为.1
7、8.证明：（1）要证原不等式，只需证，两边均大于零因此只需证，只需证，只需证，即证而显然成立，原不等式成立（2）（反证法）：假设结论不成立，即方程与方程都没有实根，则判别式满足，则，即，即，即，这与条件矛盾，即假设不成立，则原命题成立19.解：（）令得：（）由 （）由（）猜想证明如下：（1）当时，猜想成立（2） 假设时猜想成立，即（3） 则所以当时，猜想也成立综合（1）（2）可知，对一切，都有成立.20、解：（1）由题意得，得令，则由得当，；，故当时，所以.（2），当时，；，所以0时的唯一的极小值点。当时，令得，当，恒成立，无极值。故的取值集合为.21、（1）由得，直线与的图象的交点横坐标分别为，由定积分的几何意义知：，（2）曲线方程为，点，不在曲线上.设切点为，则点的坐标满足，因，故切线的斜率为，整理得.过点可作曲线的三条切线，关于方程有三个实根.设，则，由得当时，在，上单调递增，当时，在上单调递减.函数的极值点为，关于方程有三个实根的充要条件是，解得，故所求的实数的取值范围是.22、解：（1）当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，或，在，上单调递增，在上单调递减；当时，或，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上恒成立，所以在上单调递增；（2）且的两个零点从小到大依次为，是方程的两个根，又，且所以欲证，即证只需证令，在上单调递增，上单调递减，即成立
