1、高二数学周测卷一、单选题（本大题共12小题，共60分）1. 如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是()A. 433 B. 36 C. 12 D. 332. 已知点A，B，C，D在同一球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD外接球的球心O恰好在侧棱DA上，DC=23，则这个球的表面积为()A. 254B. 4C. 8D. 163. 已知三棱锥S-ABC的直观图及其部分三视图如图所示，若三棱锥S-ABC的体积为1633，则三棱锥S-ABC的外接球半径为()A. 273B. 7C. 2213D. 214. 我们打印用的A4纸的
2、长与宽的比约为2，之所以是这个比值，是因为把纸张对折，得到的新纸的长与宽之比仍约为2，纸张的形状不变已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长(如图所示)，它的轴截面ABCD为一张A4纸，若点E为上底面圆上弧AB的中点，则异面直线DE与AB所成的角约为()A. 6B. 4C. 3D. 235. 已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是()A. 若m/，n/，则m/nB. 若m/，n/，则a/C. 若a丄，丄，则a/D. 若m丄，n丄，则m/n6. 如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法不正确的是()A. M，N，P，Q四
3、点共面B. QME=CBDC. BCDMEQD. 四边形MNPQ为矩形7. 三棱锥D-ABC中，AC=BD，且ACBD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于()A. 30 B. 45 C. 60 D. 908. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中错误的是()A. 若m/n，n，/，则mB. 若m，n，n，则mC. 若m，m/n，n/，则D. 若mn，m，n，则9. 平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面ABCD=m，平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为( )A. 32B. 22C. 33D. 1310. 已知平面平面，则下列命题中真
4、命题的个数是( )内的任意直线必垂直于内的无数条直线；在内垂直于与的交线的直线必垂直于内的任意一条直线；内的任意一条直线必垂直于；过内的任意一点作与交线的垂线，则这条直线必垂直于A. 4B. 3C. 2D. 111. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为棱AB，A1D1，C1D1的中点，经过E，F，G三点的平面被正方体所截，则截面图形的面积为( )A. 32B. 334C. 1D. 212. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2AA1=2，E，F分别在AB，BC上，则下列说法错误的是()A. 直线AD与A1C1所成的角为4B. 当E为中点时，
5、平面A1D1E平面B1C1EC. 当E，F为中点时，EFBD1D. 当E，F为中点时，BD1平面B1EF二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD/AB，CD=BO=1，AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积14. 如图，E是棱长为1正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1上的一点，且BD1/平面B1CE，则线段CE的长度为15. 在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，AP=3，AB=23，Q是边BC上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为3，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为16. 如图，某人
6、在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小(仰角为直线AP与平面ABC所成角).若AB=15m，AC=25m，BCM=30则tan的最大值为_三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 如图所示(单位：cm)，四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积18. 如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且AMSM=DNNB，求证：MN/平面SBC19. 在空间四边形ABCD中，H，G分别是A
7、D，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且AEAB=CFCB=14.求证：点E，F，G，H四点共面；直线EH，BD，FG相交于一点20. 如图(1)是一直角墙角，AOB=90，墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直ABCD是一块长AB为6米，宽BC为2米的板材，现欲用板材与墙角围成一个直棱柱空间堆放谷物(1)若按如图(1)放置，如何放置板材才能使这个直棱柱空间最大？(2)由于墙面使用受限，OA面只能使用2米，OB面只能使用4米.此矩形板材可以折叠围成一个直四棱柱空间，如图(2)，如何折叠板材才能使这个空间最大？21. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E,F,G,H分别是AB,AC,A1B
8、1,A1C1的中点，求证：(1)B,C,H,G四点共面；(2)平面EFA1/平面BCHG22. 如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CD上的点，G，H分别是CD和AD上的点，(1)若EH与FG相交于点K.求证：EH,BD,FG三条直线相交于同一点，图1(2)若EH/FG，求证：EH,BD,FG三条直线互相平行，图2答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为半圆，母线长为2的半圆锥体；且底面半圆的半径为1，该半圆锥个高为232=3，它的体积为V=1213123=36.故选B2.【答案】D【解析】解：AB=BC=2，AC=2，AB2+BC2=AC2，AB
9、BC，ABC外接圆的直径为AC，球心O在ABC所在平面的投影为AC的中点球心O恰好在侧棱DA上，DC=23，球心到平面ABC的距离为3，球的半径为3+1=2，球的表面积为422=16故选D3.【答案】C【解析】解：由三视图可知，三棱锥的底面是边长为4的正三角形，侧棱SC底面ABC，由VS-ABC=13(12423)h=433h=1633，解得h=4；设三棱锥S-ABC的外接球的球心为O，过球心O作OO1垂直平面ABC于点O1，则O1为ABC的中心，连接OC，O1C，可得OC=OO12+CO12=22+(433)2=2213即三棱锥S-ABC的外接球半径为2213故选：C4.【答案】C【解析】解
10、：AB/CD，EDC为异面直线DE与AB所成的角，设CD的中点为O，过E作EF底面O，连接OE，OF，E是AB的中点，F是CD的中点，CDOF，又EF平面O，EFCD，CD平面OEF，ODOE设AD=1，则CD=2，故OF=22，EF=1，于是OE=12+(22)2=62，tanEDO=OEOD=6222=3，EDO=3故选：C5.【答案】D【解析】解：对于A，若m/，n/，则m/n或相交或为异面直线，因此不正确对于B，若m/，n/，则/或相交，因此不正确对于C，若，则/或相交，因此不正确；对于D，若m，n，利用线面垂直的性质定理可知：m/n正确故选：D6.【答案】D【解析】解：由条件易知MQ
11、/BD，ME/BC，QE/CD，NP/BD，对于A，因为MQ/BD，NP/BD，所以MQ/NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A正确；对于B，由MQ/BD，ME/BC，得QME=CBD，故B正确；对于C，因为QME=CBD，MEQ=BCD，所以BCDMEQ，故C正确；故选D7.【答案】B【解析】解：取AD的中点G，连接GE，GF，如图：则GE/AC，故GEF(或其补角)就是EF和AC所成的角，又GF/BD，且ACBD，AC=BD，GEF是直角三角形，且GE=GF在直角三角形GEF中，GEF=45故选B8.【答案】D【解析】解：A.若m/n，n，可得m，又/，则m，正确；B.若m，n，可得m/n
12、，又n，则m，正确；C.若m，m/n，可得n，又n/，则，正确；D.若mn，m，n，则/或相交，因此不正确故选：D9.【答案】A【解析】解：如图，过点A补作一个与正方体ABCD-A1B1C1D1相同棱长的正方体，易知平面为平面AF1E，则m，n所成角为EAF1，因为EAF1为正三角形，所以sinEAF1=sin60=32，故选A10.【答案】C【解析】解：设=l，a，b，bl，则ab，故内与b平行的无数条直线均垂直于内的任意直线，为真命题；内垂直于与交线的直线垂直于平面，则它垂直于内的任意直线，为真命题；内不与交线垂直的直线不垂直于，为假命题；垂直于交线的直线必须在平面内才与平面垂直，否则不垂
13、直，为假命题答案C11.【答案】B【解析】解：分别取BC,AA1,CC1的中点为H,M,N，连接EH,HN,GN,FM,ME，容易得出FG/EH,GN/ME,HN/FM，则点E,F,G,H,M,N共面，且FG=EH=GN=ME=HN=FM=(12)2+(12)2=22，即经过E，F，G三点的截面图形为正六边形EHNGFM，连接MN,EG,FH，且相交于点O，因为MN=AC=12+12=2，所以OE=OH=ON=OG=OF=OM=22，则截面图形的面积为(122222sin60)6=334故选：B12.【答案】D【解析】解：如图，A1C1/AC，直线AD与A1C1所成的角为DAC，底面ABCD为
14、正方形，DAC=4，故A正确；当E为AB中点时，A1E=B1E=2，A1B1=2，则A1E2+B1E2=A1B12，得到A1EB1E，又A1D1平面A1ABB1，B1E平面AA1B1B，则A1D1B1E，又A1EB1E，A1D1A1E=A1，A1D1，A1E平面A1D1E，可得B1E平面A1D1E，又B1E平面B1C1E，平面A1D1E平面B1C1E，故B正确；当E，F为中点时，EF/AC，DD1底面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC，由底面ABCD为正方形，可得ACBD，又BDDD1=D，BD，DD1平面BDD1，AC平面BDD1，又BD1平面BDD1，ACBD1，又AC/EF，故EFB
15、D1，故C正确；若BD1平面B1EF，B1E平面B1EF，则BD1B1E，又B1EA1D1，由BD1A1D1=D1，BD1，A1D1平面A1D1B，可得B1E平面A1D1B，又A1B平面A1D1B，可得A1BB1E，显然错误，故D错误故选D13.【答案】328【解析】解：在梯形ABCD中，AB=2，高OD=1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，在直观图中，OD=12OD=12，梯形的高DE=24，于是梯形ABCD的面积为12(1+2)24=328故答案为328. 14.【答案】52【解析】连接BC1，交B1C于点O，连接OE，E是正方体ABCD-A1B
16、1C1D1的棱C1D1上的一点，且BCC1B1是正方形，O是BC1中点，BD1/平面B1CE，BD1平面BC1D1，平面BC1D1平面B1CE=OE，BD1/OE，E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1的中点，CE=12+122=52故答案为5215.【答案】【解析】如图所示： 三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，直线PQ与平面ABC所成的角为，则sin=PAPQ=3PQ，且sin的最大值是32，(PQ)min=23，AQ的最小值是3，即A到BC的距离为3，AQBC，AB=23，在RtABQ中可得ABC=6，由BAC=23可得AB=AC，BC=6设三棱锥P-ABC的外接球的球心为O，
17、取ABC的外接圆圆心为O，作OO/PA，设ABC的外接圆的半径为r，解得r=23；OA=23，取H为PA的中点，OH=OA=23，PH=32，设三棱锥P-ABC外接球的半径为R，则由勾股定理得OP=R=PH2+OH2=572，三棱锥P-ABC的外接球的表面积是S=4R2=4(572)2=57故答案为16.【答案】539解：AB=15m，AC=25m，ABC=90，BC=20m，过P作PPBC，交BC于P，连接AP，则tan=PPAP，设CP=x，由BCM=30，得PP=CPtan30=33x，由cosACB=45，在ACP中，由余弦定理得AP=x2-40x+625，tan=33xx2-40x+
18、625=3311-40x+625x2=33125x-452+925，25x=45，即x=1254时，tan取得最大值为539，故答案为539.17.【答案】解：由题意，知所成几何体的表面积等于圆台下底面积+圆台的侧面积+一半球面面积又12S球=12422=8(cm2)，S圆台侧=(2+5)(5-2)2+42=35(cm2)，S圆台下底=52=25(cm2)，即该几何全的表面积为8+35+25=68(cm2).又V圆台=3(22+25+52)4=52(cm3)，V半球=124323=163(cm3).所以该几何体的体积为V圆台-V半球=52-163=1403(cm3).18.【答案】证明：在AB
19、上取一点P，使APBP=AMSM，则MP/SBSB面SBC，MP不在平面SBC内，MP/平面SBC，又AMSM=BNND，APBP=DNNB，NP/AD，再由ABCD为平行四边形，NP/BC，BC面SBC，NP不在平面SBC内，NP/平面SBC.平面MNP/平面SBC，而MN平面MNP，MN/平面SDC19.【答案】证明：如图所示，空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，HG/AC；又AEAB=CFCB=14EF/AC，EF/HG，E、F、G、H四点共面；设EH与FG交于点P，EH平面ABDP在平面ABD内，同理P在平面BCD内，且平面ABD平面BCD=BD，点P在直线BD上，直线
20、EH，BD，FG相交于一点20.【答案】解：(1)设OA=x,OB=y,x,y(0,6)，且x2+y2=36，因为直三棱柱的高为定值，故底面面积最大时体积最大，AOB=90SAOB=12xyx2+y24=9，当且仅当x=y=32取到等号即板材放置时，使得板材与墙面OA成45角使这个直棱柱空间最大(2)因为直四棱柱的高为定值，故底面面积最大时体积最大，如图取底面截面：又SAOB的面积为定值，只需寻找SAPB面积的最大值又在APB中AB=25，只需寻找AB边上高的最大值即可作PHAB，设PA=x,AH=y,则BH=25-y,PB=6-x,PH2=x2-y2=(6-x)2-(25-y)23x-5y=
21、4，PH=x2-y2=-4y2+85y+169，当y=5时，PH最大，此时x=3，即板材放置时，沿中间折叠，使得PA=PB，才能使这个空间最大.21.【答案】证明：(1)G、H分别为A1B1，A1C1中点，GH/B1C1，三棱柱ABC-A1B1C1中，BC/B1C1，GH/BC，B、C、H、G四点共面；(2)E，F分别为AB，AC的中点，EF/BCEF平面BCHG，BC平面BCHG，EF/平面BCHGA1G/EB且A1G=EB，四边形A1EBG是平行四边形，A1E/GBA1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E/平面BCHGA1EEF=E，A1E，EF平面EFA1，平面EFA1/平面BCHG22.【答案】证明：(1)直线EH直线FG=K，KEH，EH平面ABDK平面ABD；同理：K平面BCD；平面ABD平面BCD=BD；K直线BD；即：EH、FG、BD三条直线相交于一点(2)因为EH/FG，而，则，又，则EH/BD又EH/FG，故EH，BD，FG三条直线互相平行
