1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系学 习 目 标核 心 素 养1.理解一元二次方程的定义，并会求一元二次方程的解集(重点)2掌握一元二次方程的根的判别式，并会用其判断根的个数(重点)3掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会用其求一些关于方程两根的代数式的值(重点、难点)1.通过对一元二次方程的解集及根与系数的关系的学习，培养数学抽象、逻辑推理的数学素养2通过求一元二次方程的解集，提升数学运算素养从前有一天，某人拿一竹竿对着大门比画：竹竿横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，斜着与门框的对角线长度相等问题你知道竹竿有多长吗？1一元二次方程的定义 形如ax
2、2bxc0的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a0.2一元二次方程的解法 (1)直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法(2)配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，若右边是一个非负常数，则可以运用直接开平方法求解， 这种解一元二次方程的方法叫做配方法(3)公式法：将一元二次方程中的系数a，b，c的值代入式子x中，就求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法3一元二次方程根的判别式 式子b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)根的判别式，通常用表示，即b24ac.当0 时，一元二次方程ax2bxc0(a0
3、)有两个不相等的实数根；当0时，一元二次方程ax2bxc0(a0)有两个相等的实数根；当0时，一元二次方程ax2bxc0(a0)没有实数根4一元二次方程的根与系数的关系 如果ax2bxc0(a0)的两根是x1，x2，那么x1x2，x1x2，即两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比思考：利用一元二次方程根与系数的关系解题时，需要注意什么条件？提示先把方程化为ax2bxc0的形式，然后验证，是否满足a0，b24ac0这两个条件，同时满足这两个条件才能用根与系数关系解题1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)用公式法解一元二次方程3x22x3时，
4、a3，b2，c3，再代入公式即可()(2)方程x220的解是x.()(3)若x1，x2是一元二次方程x22x30的两个根，则x1x22.()答案(1)(2)(3)2用配方法解方程x28x50，将其化为(xa)2b的形式，正确的是()A.(x4)211B(x4)221C.(x8)211 D(x4)211Dx28x50，x28x5，x28x16516，(x4)211，故选D.3用公式法解方程6x85x2时，a，b，c的值分别是()A.5，6，8 B5，6，8C.5，6，8 D6，5，8C原方程可化为5x26x80，a5, b6，c8，故选C.4(教材P51练习B改编)已知一元二次方程2x22x10
5、的两个根为x1，x2，且x1x2，下列结论正确的是()A.x1x21 Bx1x21C.|x1|x2| Dxx1D根据题意，得x1x21，x1x2，所以A，B选项错误x1x20，x1x20，x1，x2异号，且负数的绝对值大，所以C选项错误x1为一元二次方程2x22x10的根，2x2x110，xx1，D选项正确故选D.一元二次方程的解法角度一直接开平方法【例1】用直接开平方法求下列一元二次方程的解集(1)4y2250；(2)3x2x15x.思路点拨可将方程转化为x2p(p0)的形式，再两边开平方进行降次，化为一元一次方程解(1)移项，得4y225.两边都除以4，得y2.解得y1，y2，所以原一元二
6、次方程的解集是.(2)移项，合并同类项，得3x215.两边都除以3，得x25，解得x1，x2.所以原一元二次方程的解集是，应用直接开平方法求一元二次方程解集的主要步骤(1)化为x2p(p0)的形式；(2)直接开平方；(3)解两个一元一次方程，写出方程的两个根；(4)总结写成解集的形式1用直接开平方法求下列一元二次方程的解集(1)(x1)212；(2)(6x1)2250.解(1)直接开平方，得x12，x121，x221.原一元二次方程的解集是21，21(2)移项，得(6x1)225.开平方，得6x15，x11，x2.原一元二次方程的解集是.角度二配方法【例2】用配方法求下列方程的解集(1)x24
7、x10；(2)4x28x10.解 (1)x24x10，x24x1，x24x414，(x2)25，x2，x12，x22.原一元二次方程的解集是2，2(2)移项，得4x28x1.二次项系数化为1，得x22x，配方，得x22x1212，即(x1)2.x1.x11，x21，原一元二次方程的解集是.利用配方法解一元二次方程ax2bxc0(a0)，先把二次项系数变为1，即方程两边都除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数一半的平方，把方程的一边配方化为一个完全平方式，另一边化为非负数，然后用直接开平方法求解(若另一边为负数，则此方程无实数根).2用配方法求下列方程的解集(1)x232x
8、；(2)2x25x0.解(1)移项，得x22x3.配方，得x22x()23()2，即(x)20.x1x2，原一元二次方程的解集是(2)移项，得2x2x5.二次项系数化为1，得x2x.配方，得x2x.x.x1，x2，原一元二次方程的解集是，角度三公式法 【例3】用公式法求下列方程的解集(1)x24x100；(2)x2x0.思路点拨先化成一元二次方程的一般形式，再求，然后根据求根公式求解解(1)a1，b4，c10，b24ac(4)2411080，x2，x12，x22.原一元二次方程的解集是2，2(2)方程两边都乘以8，得4x24x10.a4，b4，c1，b24ac424410，x，x1x2.原一元
9、二次方程的解集是.利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算b24ac的值；当b24ac0时，把a，b，c的值代入求根公式即可求出原方程的解，然后总结写出解集3用公式法求下列方程的解集(1)x232x；(2)3x26x1.解(1)将方程化为一般形式为x22x30.a1，b2，c3，b24ac(2)241340，原方程没有实数根原一元二次方程的解集是.(2)将方程化为一般形式为3x26x10，a3，b6，c1，b24ac62431240，x，x1，x2.原一元二次方程的解集是.一元二次方程的根的判别式【例4】不解方程，判断下列一元二次方程的解集情
10、况(1)3x22x10；(2)2x2x10；(3)4xx2x22.解(1)(2)243(1)160，方程有两个不相等的实数根，方程的解集中有两个元素(2)(1)242170，方程没有实数根，方程的解集为空集(3)方程整理为x22x10, (2)24110, 方程有两个相等的实数根，方程的解集中有一个元素一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式b24ac.当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有实数根4下列一元二次方程中，解集为空集的是()A.x22x0Bx24x10C.2x24x30 D3x25x2C利用根的判别式b24ac分别进行判定即可A.(
11、2)241040，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；B.4241(1)200，有两个不相等的实数根， 故此选项不合题意；C.(4)242380，没有实数根，故此选项符合题意；D.(5)243210，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意故选C.一元二次方程的根与系数的关系 探究问题1怎样用x1x2和x1x2表示xx？提示xx(x1x2)22x1x2.2当x1x2时，x2x1可以用x1x2与x1x2表示吗？提示x2x1.【例5】(教材P50例2改编)设x1，x2是方程2x29x60的两个根，求下列各式的值(1)；(2)xx；(3)(x13)(x23)；(4)x1x2.思路点拨先由一元二次方
12、程根与系数的关系写出x1x2与x1x2的值，再将所求值的式子化为关于x1x2与x1x2的表达式，最后整体代入求值解由根与系数的关系，得x1x2，x1x23.(1)3.(2)xx(x1x2)22x1x223.(3)(x13)(x23)x1x23(x1x2)9339.(4)(x1x2)2(x1x2)24x1x243，x1x2.利用根与系数的关系求有关代数式的值的一般方法(1)利用根与系数的关系求出x1x2，x1x2的值；(2)将所求的代数式变形转化为含x1x2，x1x2的代数式的形式；(3)将x1x2，x1x2的值整体代入，求出待求代数式的值本例中条件不变，求xx的值解xx(x1x2)(xx1x2
13、x)(x1x2)(x1x2)23x1x2.与一元二次方程相关的求未知字母的值或范围问题【例6】已知关于x的一元二次方程2x2kx30的解集中只有一个元素，则k的值为()A.2 BC.3或4 D2或3Aa2，bk，c3，b24ack2423k224，方程的解集中只有一个元素，k2240, 解得k2.根据已知条件求一元二次方程中字母系数的取值或取值范围问题，常见情况为根据方程解的情况判定字母系数的情况5若关于x的一元二次方程x2(2a1)xa20有两个不相等的实数根，求a的取值范围解关于x的一元二次方程x2(2a1)xa20有两个不相等的实数根，(2a1)24a24a10，a.知识：一元二次方程根
14、与系数的关系如果ax2bxc0(a0)的两根是x1，x2，那么x1x2，x1x2.利用这个关系，可以求一些关于方程两根的代数式的值的问题注意：一元二次方程的根与系数的关系需满足的前提条件是：a0；0.方法：一元二次方程的解法：(1)直接开平方法；(2)配方法；(3)公式法1一元二次方程x290的解集是()A.3B3C.3，3 D9，9Cx290，x29，x3，故选C.2一元二次方程x23x的解集是()A.0B3 C3D0，3Dx23x，x23x0，x(x3)0，解得x10，x23，故选D.3一元二次方程4x214x的解集情况是()A.为空集 B只有一个元素C.有两个元素 D无法确定元素的个数 B原方程可化为4x24x10，(4)24410，方程有两个相等的实数根，解集中只有一个元素故选B.4将方程x22x3化为(xm)2n的形式，则m，n分别是_1，4x22x3，配方得x22x14, 即(x1)24，m1，n4.5设集合U0，1，2，3，AxU|x2mx0若UA1，2，则实数m_3由条件知A0，3，3m0，m3.- 12 - 版权所有高考资源网
