1、课时素养评价二十一简单几何体的体积(20分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.直线y=x，x=1及x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是()A.B.C.D.1【解析】选B.V=x2dx=x3=.2.由抛物线y=x2，x=0，x=2与x轴所围图形，绕x轴旋转所得的旋转体的体积为()A.B.C.D.【解析】选D.V=(x2)2dx=x5=.3.定积分(16-x2)dx等于()A.半径为4的球的体积B.半径为4的四分之一球的体积C.半径为4的半球的体积D.半径为4的球面积【解析】选C.因为(16-x2)dx=64-=，而半径为4的球的体积=43=，半径为4的半球的体积=.4.将由
2、曲线y=-2，x=，x=2，y=0围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为()A.(21-6ln 2)B.C.D.(21-12ln 2)【解析】选B.所围成的平面图形如图中阴影部分所示.所以所求体积为V=dx+dx=dx=dx=.二、填空题(每小题5分，共10分)5.将曲线y=sin x(x(0，)及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为_.【解析】所求体积V=sin2xdx=dx=0=.答案：6.曲线y2=10x(y0)，y2=16x(y0)与直线x=5围成的平面图形绕x轴旋转一周，所得旋转体的体积为_.【解题指南】解决本题之前作图形，确定图形的组合关系后，再确定被积函数.
3、【解析】曲线方程可化为y=，y=4，所求旋转体体积为V=(4)2dx-()2dx=16-10=75.答案：75三、解答题(每小题10分，共20分)7.连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积.【解析】圆锥体体积V=dx=.8.设两抛物线y=-x2+2x，y=x2所围成的图形为M，求：(1)M的面积；(2)将M绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.【解析】如图，M为图中阴影部分.(1)由-x2+2x=x2得x=0或1，所以图中M的面积为(-x2+2x)-x2dx=(-2x2+2x)dx=.(2)M绕x轴
4、旋转一周所得旋转体的体积为(-x2+2x)2-(x2)2dx=(-4x3+4x2)dx=.(15分钟30分)1.(5分)由y=，y=x围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积可表示为()A.(x-x2)dxB.(x2-x)dxC.(y2-y4)dyD.(y-y2)dy【解析】选C.由得由y=得x=y2，故V=(y2-y4)dy.2.(5分)四条曲线x2=2y，x=2，x=-2，y=0围成的封闭图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足的平面区域绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，则()A.V1V2B.V1V2.3.(5分)曲线y=与直线x=0，x=t(t0)及y=0围成一曲边梯形，该曲边
5、梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)=_.【解析】V(t)=dx=(e2x+e-2x+2)dx=(e2t+4t-e-2t).答案：(e2t+4t-e-2t)4.(5分)由曲线y=，直线x=0，x=1以及x轴所围成的图形绕着x轴旋转一周形成的几何体的体积是_.【解析】体积V=exdx=(e-1).答案：(e-1)5.(10分)古尔金第二定理：面积S绕不与它相交的轴旋转而成的旋转体，其体积等于面积S与这面积的重心所划出的圆周之长的相乘积.即面积S绕x轴旋转而成旋转体的体积，等于面积S与重心(，)所划出的圆周之长的相乘积，也即V=2S=y2dx.求抛物线x=y2，y=x2所围成面积S的重心
6、坐标.【解析】联立x=y2，y=x2解得x=0，1.所以面积S=(-x2)dx=，S绕x轴旋转而成旋转体体积为V=(x-x4)dx=，所以2=，所以=，由x，y的对称性知=，所以所求重心为.1.一个半径为1的球可以看成是由曲线y=与x轴所围成区域(半圆)绕x轴旋转一周得到的，则球的体积为_.【解析】V=(1-x2)dx=2(1-x2)dx=2=.答案：2.过点P(1，0)作抛物线y=的切线，求该切线与抛物线y=及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积.【解析】设切点坐标为(x0，y0)，则y0=.又y=，则y=.则切线方程为y-y0=(x-x0).且切线过点P(1，0).所以代入上面方程，解得x0=3，则切点坐标为(3，1).所以切线方程为y=(x-1).切线与抛物线y=及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为V=dx-()2dx=-=.
