1、第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1 直线与圆的位置关系教学设计一、教学目标1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.二、教学重难点1. 教学重点直线与圆的位置关系及其应用.2. 教学难点直线与圆的方程的应用.三、教学过程（一）新课导入思考：直线与圆有哪些位置关系？（学生自由发言，教师总结）（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点.（二）探索新知问题1 在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关
2、系来判断直线与圆的位置关系.（1）直线与圆相交；（2）直线与圆相切；（3）直线与圆相离.问题2 如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？先来看例1.例1 已知直线和圆心为C的圆，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.解法1：联立直线l与圆C的方程，得，消去y，得，解得.所以，直线l与圆C相交，有两个公共点.把分别代入方程，得.所以，直线l与圆C的两个交点是.因此.解法2：圆C的方程可化为，因此圆心C的坐标为，半径为，圆心到直线l的距离.所以，直线l与圆C相交，有两个公共点.如图，由垂径定理，得.通过上述解法我们发现，在平面直角坐标系中，要判断直线与圆的位置关系
3、，可以联立它们的方程，通过判定方程组的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系.若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长.我们还可以根据圆的方程求得圆心坐标与半径r，从而求得圆心到直线的距离d，通过比较d与r的大小，判断直线与圆的位置关系.若相交，则可利用勾股定理求得弦长.例2 过点作圆的切线l，求切线l的方程.解法1：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为，即.由圆心到切线l的距离等于圆的半径1，得，解得或.因此，所求切线l的方程为，或.解法2：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为.因为直线l与圆相切，所以方程组只有一组解.消元，得.因为方程只有
4、一个解，所以，解得或.所以，所求切线l的方程为，或.例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度，拱高，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱的高度（精确到0.01 m）.解：建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上. 由题意，点P，B的坐标分别为. 设圆心坐标是，圆的半径是r，那么圆的方程是.因为P，B两点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程. 于是，得到方程组.解得.所以，圆的方程是.把点的横坐标代入圆的方程，得，即（的纵坐标，平方根取正值）.所以.答：支柱的高度约为3.86 m.例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径
5、为20 km的圆形区域内. 已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处. 如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？解：以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系. 为了运算的简便，我们取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为，轮船所在位置的坐标为.这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为. 轮船航线所在直线l的方程为，即.联立直线l与圆O的方程，得.消去y，得.由，可知方程组无解.所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险.用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的
6、几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.（三）课堂练习1. 若直线与圆相切，则的值为( )A.16B.4C.D.16或答案：D解析：圆的方程可化为，则圆心坐标为，.因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，则有，解得或.故选D.2. 已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率的取值范围是( )A.B.C.D.答案：C解析：易知圆心坐标是，半径是1，直线的斜率存在.设直线的方程为，即，由点到直线的距离公式，得，即，解得.故选C.3. 直线与圆交于两点，则_.答案：解析：由题意知圆的方程为，所以圆心坐
7、标为，半径为2，则圆心到直线的距离，所以.4. 点在圆上，则点到直线的最短距离为_.答案：2解析：圆心的坐标为，点到直线的距离为，所以所求最小值为.5. 已知圆和点.（1）若过点有且只有一条直线与圆相切，求实数的值，并求出切线方程；（2）若，过点的两条弦互相垂直，求的最大值.答案：（1）由题意知点在圆上，所以，解得.当时，点为，所以，切线此时切线方程为，即；当时，点为，所以.此时切线方程为，即.综上，所求切线方程为或.（2）设圆心到直线的距离分别为，则.因为，所以，所以.因为，即，所以，当且仅当时取等号，所以，所以.所以，即的最大值为.（四）小结作业小结：1. 直线与圆的位置关系；2. 直线与圆的方程的应用.作业：四、板书设计2.5.1 直线与圆的位置关系1. 直线与圆的位置关系：相交、相切、相离；2. 用方程判断直线与圆的位置关系；3. 用坐标法判断直线与圆的位置关系.
