1、2023-2024学年第一学期安徽省合肥市重点中学期中联考试题高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1. 若直线的倾斜角满足，且，则其斜率满足（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】根据倾斜角和斜率关系可求斜率的范围.【详解】斜率，因为，且，故或，即或，故选：C.【点睛】本题考查倾斜角与斜率的关系，一般地，如果直线的倾斜角为，则当时，直线的斜率不存在，当时，斜率.2. 直线过点且与直线垂直，则的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出直线的斜率，然后利用点斜式可写出直线的方程，化为一般式
2、可得出答案.【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，因此，直线的方程为，即.故选：A.【点睛】本题考查垂线方程的求解，一般要求出直线的斜率，也可以利用垂直直线系方程来求解，考查计算能力，属于基础题.3. 已知，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答.【详解】向量是不共面的三个向量，对于A，则向量共面，A不能构成空间基底；对于B，则向量共面，B不能构成空间基底；对于D，则向量共面，D不能构成空间基底；对于C，假定向量共面，则存在不全为0的实数，使得，整理得，而向量不共面，则有，显然不
3、成立，所以向量不共面，能构成空间的一个基底，C能构成空间基底.故选：C4. 在平行六面体中，向量是（ ）A. 有相同起点的向量B. 等长的向量C. 共面向量D. 不共面向量【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的概念和共面定理判断.详解】如图所示：向量显然不是有相同起点的向量，A不正确；由该平行六面体不是正方体可知，这三个向量不是等长的向量，B不正确.又因为，所以共面，C正确，D不正确.故选：C5. 如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为 A 14米B. 15米C. 米D. 米【答案】D【解析】【详解】以圆拱拱顶为坐标原点，以
4、过拱顶顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得：A（6，2），设圆的半径为r，则C（0，r），即圆的方程为x2+（y+r）2r2，将A的坐标代入圆的方程可得r10，所以圆的方程是：x2+（y+10）2100则当水面下降1米后可设A的坐标为（x0，3）（x00）代入圆的方程可得x0，所以当水面下降1米后，水面宽为2米故选：D 6. 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且则m，n的值分别为()A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】直接利用向量的线性运算化简得,比较系数得.【详解】由于，所以.故选：A【点
5、睛】本题主要考查向量的线性运算和空间向量的基本定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7. 四棱锥中，则这个四棱锥的高为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出平面的法向量，计算法向量与的夹角得出与平面的夹角，从而可求出到平面的距离【详解】解：设平面的法向量为，则，令可得，即，2，设与平面所成角为，则，于是到平面的距离为，即四棱锥的高为故选：【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题8. 已知M：，直线：，为上的动点，过点作M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可判断直线与圆相离，根
6、据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，当直线时， ，此时最小即 ，由解得， 所以以为直径的圆的方程为，即 ，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0
7、分9. 下列说法正确的是（ ）A. 直线必过定点B. 直线在y轴上的截距为C. 直线的倾斜角为D. 若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为【答案】AC【解析】【分析】直接利用直线的方程，直线的倾斜角和斜率之间的关系逐项判断即可得结论【详解】对于A：直线，整理得，所以该直线经过点，故A正确；对于B：直线，令，解得，故直线在y轴上的截距为2，故B错误；对于C：直线，所以直线的斜率，所以，由于故，故C正确；对于D：直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则，所以直线的斜率为，故D不正确故选：AC
8、.10. 已知，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. 为钝角D. 在方向上投影向量为【答案】BD【解析】【分析】利用向量垂直，平行的坐标关系判断A，B，根据向量夹角公式判断C，根据投影向量和投影数量的关系计算求解判断D.【详解】因为，所以，不垂直，A错，因为，所以，B对，因为，所以，所以不是钝角，C错，因为在方向上的投影向量，D对，故选：BD.11. 圆C：，直线，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列结论正确的是（ ）A. 直线l与圆C相交B. 的最小值是1C. 若P到直线l的距离为2，则点P有2个D. 从Q点向圆C引切线，则切线段的最小值是3【答案】BCD【解析】【分析】对于A:求出圆心
9、到直线的距离，即可判断直线与圆相离； 对于B:利用几何法求出的最小值，即可判断；对于C:设直线m与l平行，且m到l的距离为2.求出m的方程，判断出直线m与圆C相交，有两个交点，即可判断；对于D:根据图形知,过Q作QR与圆C相切于 R，连结CR.要使切线长最小，只需最小.利用几何法求出切线段的最小值，即可判断.【详解】对于A:由圆C：，得圆C的标准方程为，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离. 故A错误；对于B:圆心到直线的距离,所以的最小值为. 故B正确;对于C:设直线m与l平行，且m到l的距离为2.则可设.由，解得：或. 当时，直线，圆心到直线的距离,所以直线m与圆C相交，有两个交点，且这两个
10、点到直线l的距离为1.当时，直线，圆心到直线的距离,所以直线m与圆C相离，不合题意.综上所述，圆上到直线l的距离为1的点有且只有2个.故C正确.对于D:根据图形知,过Q作QR与圆C相切于R，连结CR.则切线长.要使切线长最小，只需最小. 点Q到圆心C的最小值为圆心到直线的距离d=5,由勾股定理得切线长的最小值为,故D正确.故选：BCD12. 如图，在棱长为1的正方体中（ ）A. AC与的夹角为B. 三棱锥外接球的体积为C. 与平面所成角的正切值D. 点D到平面的距离为【答案】BCD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法逐项判断即得【详解】如图建立空间直角坐标系，则，对于A，则，即，所以
11、AC与的夹角为，故A错误；对于B，三棱锥外接球与正方体的外接球相同，又正方体的外接球的直径等于体对角线的长，所以三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的体积为，故B正确；对于C，设平面的法向量为，所以，令，得到，则，因为，设与平面所成角为，则，则，故C正确；因为，设点D到平面的距离为d，则，故D正确故选：三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 若实数x、y满足x2y24x2y40，则 的最大值是_.【答案】3【解析】【详解】将方程x2y24x2y40化为，表示以为圆心，半径为3的圆，表示圆上的点与原点之间的距离，容易判断原点（0,0）在圆内，且原点与圆心之间的距离为，所以的最大值
12、为点睛：本题主要考查圆内的点与圆上的点之间的距离最大值问题，属于中档题本题注意数形结合，将代数问题转化为几何问题求解14. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为_【答案】【解析】【详解】试题分析：因为， 所以，即， 故15. 已知矩形，沿对角线将折起，若二面角的大小为，则，两点之间的距离为_.【答案】【解析】【分析】过分别作由题意可求得由二面角的大小为，得到再利用可求得结果.【详解】过分别作 则二面角的大小为,则,即两点间的距离为.故答案为：.16. 瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的三角形的几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心
13、在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是_【答案】或【解析】【分析】设，依题意可确定的外心为，可得出一个关系式，求出重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出另一个关系式，解方程组，即可得出结论.【详解】设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为与直线的交点为，由，重心为，代入欧拉线方程，得由 可得或 .故答案：或.【点睛】本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形的外心与重心，考查逻辑思维能力和计算能力，属于较难题.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知空间向量，（1）若，求；（2）若，求的值【答案】（1）；（
14、2）【解析】【分析】（1）利用空间向量共线定理，列式求解x的值，由向量模的坐标运算求解即可；（2）利用向量垂直的坐标表示，求出x的值，从而得到，由空间向量的夹角公式求解即可【详解】解：（1）空间向量，因为，所以存在实数k，使得，所以，解得，则（2）因为，则，解得，所以，故18. 已知 ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为（1）求顶点C的坐标；（2）求直线BC的方程【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）设，利用点C在AB边上的中线CM上和直线AC与高线BH垂直求解； （2）设，利用点B在BH上和AB的中点M在直线CM上求解；【小问1详解】解：设，
15、AB边上的中线CM所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为，解得【小问2详解】设，则，解得直线BC的方程为，即为19. 已知以点为圆心的圆与直线相切（1）求圆C的方程；（2）过点的作圆C的切线，求切线方程【答案】（1）； （2）和【解析】【分析】（1）由点到直线距离公式得圆半径后可得圆方程；（2）分类讨论，检验斜率不存在的直线是否为切线，斜率存在时设出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径得结论【小问1详解】由题意，圆半径不，所以圆方程为；【小问2详解】易知过点斜率不存在的直线是圆的切线，再设斜率存在的切线方程为，即，解得，直线方程为，即所以切线方程是和20. 如图，在四棱锥中，底面为正方
16、形，底面，E为棱PD的中点（1）证明：；（2）求直线AE与平面PBD所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质与判定，证明平面即可；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面夹角即可.【小问1详解】因为底面，平面，故.又为正方形，故.又，平面，故平面.又平面，故.【小问2详解】以为坐标原点，分别为，轴建立如图空间直角坐标系.设，则，.，.设平面的法向量，则，即，设则.设直线AE与平面PBD所成角为，则.21. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为棱上一点，过，三点作平面交于点.（1）求点到平面的距离；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答
17、案】（1） （2）【解析】【分析】（1）如图所示建立空间直角坐标系，确定各点坐标，根据得到，确定平面的法向量，再利用点到平面的距离公式计算得到答案.（2）确定平面与平面的法向量，再根据向量的夹角公式计算即可.【小问1详解】如图所示：取为中点，为菱形，则，故，以，为轴建立空间直角坐标系，则，设，则，即，故，解得，故，设平面的法向量为，则，取，得到，点到平面的距离为.【小问2详解】设平面的法向量为，则，取，得到；设平面的法向量为，则，取，得到；平面与平面夹角为锐角，余弦值为.22. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的圆心在直线xy30上，圆C经过点A(0，4)，且与直线3x4y160相切（1）求圆C
18、的方程；（2）设直线l交圆C于P，Q两点，若直线AP，AQ的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求出该定点坐标【答案】（1）(x3)2y225；（2）证明见解析，定点为.【解析】【分析】（1）由圆心在直线上，可设圆心坐标C(a，3a)，由圆心到切线的距离等于半径列方程解得后可得圆方程；（2）分类讨论，直线斜率不存在时，设，x00，由已知求出x0，但此直线与圆无交点，不合题意；直线l的斜率存在设直线l的方程ykxt(t4)，把已知用坐标表示出来，记为式，由直线与圆相交，直线方程与圆方程联立，消元后应用韦达定理得，代入式，得出的关系式，代入直线方程整理可得直线过定点的坐标【详解】（1）因为圆心C在直线xy30上，所以设C(a，3a)，因为圆C经过点A(0，4)，所以圆C的半径rAC，因为圆C和直线3x4y160相切，所以圆C的半径r，所以 化简，得a26a90，解得a3所以C(3，0)，半径r5所以圆C的方程为(x3)2y225 （2）若直线l的斜率不存在，则可设，x00，所以(x03)2y0225，消去y0得x06，再代入(x03)2y0225，y0不存在，所以直线l的斜率存在 设直线l的方程ykxt(t4)，所以， 整理得， 直线方程与圆C方程联立，消去y得，所以，代入 得，由于t4，整理得，即， 所以直线l的方程为，即，令解得所以直线l过一个定点，该定点坐标为
