1、2021届高三年级第一学期第三次月考理 科 数 学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合A=xx2-4x+30，集合B=xx-2x+10，则ARB=( )A. 1,2B. -1,3C. -1,3D. (-,-1)1,+)2. 设命题p：若
2、x,yR，则“xy0”是“x2y2”的必要不充分条件；命题q：“x0，2x1”的否定是“x0，2x1”，则下列命题为真命题的是( )A. pqB. (p)(q)C. pqD. p(q)3. 在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，若2sinC=sinA+sinB,cosC=35，且，则c=( )A. 463B. 4C. 263D. 54. 设R，若单位向量e1，e2满足：e1e2且向量3e1+e2与e1-e2的夹角为3，则=( )A. -33B. 33C. 1D. 35. 已知幂函数f(x)=(m-1)2xm2-4m+2(mR)，在(0,+)上单调递增设a=log54，b=log15
3、3，c=0.5-0.2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是()A. f(b)f(a)(c)B. f(c)f(b)f(a)C. f(c)f(a)f(b)D. f(a)f(b)b0)的左焦点F的直线过C的上端点B，且与椭圆相交于点A，若BF=3FA,则C的离心率为( )A. 13B. 33C. 32D. 229. 函数f(x)的定义域为D，若满足f(x)在D上是单调函数，存在m,nD，使f(x)在m,n上的值域为12m,12n，那么就称f(x)为“好函数”，现有函数f(x)=loga(ax+k)(a0,a1)是好函数，则实数k的取值范围是A. (0,14)B. C. D. (0,1410.
4、 已知函数y=f(x)的定义域为R，f(x)+f(-x)=0且当x1x20时，有f(x1)-f(x2)x1-x2f(y)恒成立，则x的取值范围为A. (0,+)B. (-,0)C. (1,+)D. (-,1)11. 已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1ab0，焦距为2c，直线l:y=24x与椭圆C相交于A，B两点，若AB=2c，则椭圆C的离心率为()A. 32B. 34C. 12D. 1412. 已知函数fx是定义在R上的偶函数，设函数fx的导函数为fx，若对任意x0都有2fx+xfx0成立，则( )A. 4f-29f3C. 2f33f-2D. 3f-31，则使得f(x)+1ex1成立的x
5、的取值范围为_16. 给出下列四个命题：函数y=tanx的图象关于点(k+2,0)(kZ)对称;函数f(x)=sin|x|是最小正周期为的周期函数;设是第二象限角，则tan2cos2，且sin2cos2;函数y=cos2x+sinx的最小值为-1其中正确的命题是(填序号)三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.17. （10分）已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，2cosC(acosB+bcosA)=c(1)求角C；(2)若c=7，ABC的面积为332，求ABC的周长18. （12分）设递增等比数列an的前n项和为Sn，且a2=3，S3=13，数列bn满足b1=
6、a1，点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上，nN*()求数列an，bn的通项公式；()设cn=bnan，数列cn的前n项和Tn，若Tn2a-1恒成立(nN*)，求实数a的取值范围19. （12分）已知向量a=(3sinx,cosx)，b=(cosx,cosx)，函数f(x)=2ab-1(1)求f(x)的单调递减区间；(2)在锐角三角形ABC中，b=c=2，f(A)=1，求ABC的面积20. （12分）已知函数f(x)=(m+1)x+lnx(mR)()当m=1时，求曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程；()求函数f(x)的单调区间；()若函数g(x)=12x2+1x-f(x)在区
7、间(1,2)内有且只有一个极值点，求m的取值范围21. （12分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0的离心率为22，点2,2在C上()求椭圆C的方程；()直线l不经过原点O，且不平行于坐标轴，l与c有两个交点A，B，线段AB中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值22. （12分）如图，已知点P(2,4)，圆O：x2+y2=4(1)求过点P且与圆O相切的直线方程；(2)设圆O与x轴的正半轴的交点是Q，斜率为k的直线l过点P，且与圆O交于不同的两点A，B设直线QA，QB的斜率分别是k1，k2，求证：k1+k2为定值；设AB的中点为M，点N(1,0)，当|MN|=102|OM|
8、，且k为整数时，求以MN为直径的圆的方程答案1.C 2.B 3.A 4.B 5.A 6.B 7.C 8.D 9.A 10.B 11.A 12.A 13. 14.5 15.(0,+) 16. 17.解：(1)2cosC(acosB+bcosA)=c，由正弦定理可得：2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC，则2cosCsin(A+B)=sinC，sin(A+B)=sinC0cosC=12，又C(0,)C=?3(2)S=332=12absinCab=6由余弦定理cosC=a2+b2-c22ab=12(a+b)2-2ab-7=ab，(a+b)2=25又a+b0 ，a+b=5ABC周
9、长为5+718.解：()递增等比数列an的前n项和为Sn，且a2=3，S3=13，a2=3S3=a1+a2+a3=13，解得q=3或q=13，数列an为递增等比数列，所以q=3，a1=1an是首项为1，公比为3的等比数列an=3n-1点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上，bn+1-bn=2数列bn是首项为1，公差为2的等差数列bn=1+(n-1)2=2n-1()cn=bnan=2n-13n-1，Tn=130+331+532+2n-13n-113Tn=13+332+533+2n-33n-1+2n-13n，两式相减得：23Tn=13+23+232+23n-1-2n-13n=1+2131-(
10、13)n-11-13-2n-13n=2-(13)n-1-2n-13n所以Tn=3-123n-2-2n-123n-1=3-n+13n-1Tn+1-Tn=3-n+23n-3+n+13n-1=2n+13n0，TnT1=1若Tn2a-1恒成立，则12a-1，解得a1实数a的取值范围a|a119.解：(1)f(x)=23sinxcosx+cos2x-1=3sin2x+2cos2x-1，令2+2k2x+632+2k,kZ，解得k+6xk+23,kZ，所以函数的单调递减区间是；(2)f(A)=2sin(2A+6)=1，0A2,62A+60，所以f(x)的单调增区间为(0,+)(2)当m+10，即m-1时，令
11、f(x)=0，得x=-1m+1当0x0，当x-1m+1时，f(x)0；所以f(x)的单调增区间为(0,-1m+1)，减区间为(-1m+1,+)综上，当m-1时，f(x)的单调增区间为(0,+)；当m-1时，f(x)的单调增区间为(0,-1m+1)，减区间为(-1m+1,+)()因为g(x)=12x2+1x-(m+1)x-lnx，所以g(x)=x-1x2-(m+1)-1x=x3-(m+1)x2-x-1x2令h(x)=x3-(m+1)x2-x-1，h(x)=3x2-2(m+1)x-1若函数g(x)在区间(1,2)内有且只有一个极值点，则函数h(x)在区间(1,2)内存在零点又h(0)=-10，所以
12、h(x)在(0,+)内有唯一零点x0且x(0,x0)时，h(x)0，则h(x)在(0,x0)内为减函数，在(x0,+)内为增函数又因为h(0)=-10，且h(x)在(1,2)内存在零点，所以h(1)0，解得-2m14显然h(x)在(1,2)内有唯一零点，记为x1当x(1,x1)时，h(x)0，所以h(x)在x1点两侧异号，即g(x)在x1点两侧异号，x1为函数g(x)在区间(1,2)内唯一极值点当m-2时，h(1)=-m-20，又h(1)0，h(x)0在(1,2)内成立，所以h(x)在(1,2)内单调递增，故g(x)无极值点当m14时，h(2)0，h(0)0，易得x(1,2)时，h(x)0，故
13、g(x)无极值点所以当且仅当-2mb0)的离心率22，点(2,2)在C上，可得a2-b2a=22，4a2+2b2=1，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方程为x28+y24=1()证明：设直线l：y=kx+b，(k0,b0)，设A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM)，把直线y=kx+b代入x28+y24=1可得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0，故xM=x1+x22=-2kb2k2+1，yM=kxM+b=b2k2+1，于是在OM的斜率为：kOM=yMxM=-12k，即kOMk=-12，直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值-1222.解：(1)由于圆O：x2+y2=4的圆
14、心为(0,0)，半径等于2，显然有一条切线为x=2当切线的斜率存在时，点P(2,4)不在圆O上，切线PT的直线方程可设为y=k(x-2)+4，根据圆心到切线的距离d等于半径r，可得|-2k+4|1+k2=2解得k=34，所以圆的切线方程为y=34(x-2)+4，即3x-4y+10=0，综上可得，圆的切线方程为3x-4y+10=0或x=2(2)联立y=k(x-2)+4x2+y2=4，得(1+k2)x2-4k(k-2)x+(2k-4)2-4=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以x1+x2=4k(k-2)1+k2，x1x2=(2k-4)2-41+k2，k1+k2=y1x1-2+y2x2-2
15、=k(x1-2)+4x1-2+k(x2-2)+4x2-2=2k+4(x1+x2-4)x1x2-2(x2+x1)+4=-1，即k1+k2的值为定值，且是-1设中点M(x0,y0)，由(2)知x0=x1+x22=2k(k-2)1+k2(*)，代入直线l的方程得y0=-2(k-2)1+k2(*)，又由|MN|=102|OM|得(x0-1)2+y02=52(x02+y02)，化简得3x02+3y02+4x0-2=0，将(*)、(*)式代入得9k2-32k+23=0解得k=1或239(因为k为整数，故舍)当k=1时，x0=-1，y0=1，即M(-1,1)，可得MN的中点为(0,12)，MN=(1+1)2+(0-1)2=5故以MN为直径的圆的方程：x2+(y-12)2=54
