1、2015-2016学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1在复平面内，复数z=对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2在（x+2）4的展开式中，x2的系数为（）A24B12C6D43已知函数f（x）=ln2x，则f（x）=（）ABCD4将一枚均匀硬币随机投掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为（）ABCD5函数f（x）=x2+lnx的极值点是（）Ax=1Bx=Cx=1Dx=65名大学生被分配到4个地区支教，每个地区至少分配1人，其中甲乙两名同学因专业相同，不能分配在同一
2、地区，则不同的分配方法的种数为（）A120B144C216D2407设a，b，c是正整数，且a70，80），b80，90），c90，100，当数据a，b，c的方差最小时，a+b+c的值为（）A252或253B253或254C254或255D267或2688已知函数f（x）=ex+ax2，其中aR，若对于任意的x1，x21，+），且x1x2，都有x2f（x1）x1f（x2）a（x1x2）成立，则a的取值范围是（）A1，+）B2，+）C（，1D（，2二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分.、共30分.9函数f（x）=cosx，则f（）=10定积分dx的值为11设（2x+1）3=a3x3+a2x2
3、+a1x+a0，则a0+a1+a2+a3=12由数字1，2组成的三位数的个数是（用数字作答）13在平面几何里，有勾股定理“设ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则”14研究函数f（x）=的性质，完成下面两个问题：将f（2）、f（3）、f（5）按从小到大排列为；函数g（x）=（x0）的最大值为三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15在数列an中，a1=1，an=nan1，
4、n=2，3，4，（）计算a2，a3，a4，a5的值；（）根据计算结果，猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明16已知函数f（x）=x3+3x29x；（1）求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间4，c上的最小值为5，求c的取值范围17甲参加A，B，C三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如表，假设三个科目的考试甲是否成绩合格相互独立 科目A 科目B 科目C 甲（）求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率；（）设甲参加考试成绩合格的科目数量为X求X的分布列和数学期望18口袋中装有2个白球和n（n2，nN*）个红球，每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回口袋中），若摸出的2个
5、球颜色相同则为中奖，否则为不中奖（）用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率；（）若n=3，求3次摸球中恰有1次中奖的概率；（）记3次摸球中恰有1次中奖的概率为f（p），当f（p）取得最大值时，求n的值19已知函数f（x）=x2exb，其中bR（）证明：对于任意x1，x2（，0，都有f（x1）f（x2）；（）讨论函数f（x）的零点个数（结论不需要证明）20设L为曲线C：y=ex在点（0，1）处的切线（）证明：除切点（0，1）之外，曲线C在直线L的上方；（）设h（x）=exax+ln（x+1），其中aR，若h（x）1对x0，+）恒成立，求a的取值范围2015-2016学年北京市西城区高二（下）期末数
6、学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1在复平面内，复数z=对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出在复平面内，复数z对应的点的坐标，则答案可求【解答】解：z=，则在复平面内，复数z对应的点的坐标为：（，），位于第一象限故选：A2在（x+2）4的展开式中，x2的系数为（）A24B12C6D4【考点】二项式系数的性质【分析】直接根据二项式的展开式的通项公式即可求出【解答】解：（x+2）4的展开式的通项公式
7、为Tr+1=C4r24rxr，令r=2，故展开式中x2的系数为C4222=24，故选：A3已知函数f（x）=ln2x，则f（x）=（）ABCD【考点】导数的运算【分析】根据复合函数的导数公式进行求解即可【解答】解：f（x）=ln2x，f（x）=，故选：D4将一枚均匀硬币随机投掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为（）ABCD【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】将一枚均匀硬币随机投掷4次，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出恰好出现2次正面向上的概率【解答】解：将一枚均匀硬币随机投掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为：p=故选：B5函数f（x）=x2+lnx
8、的极值点是（）Ax=1Bx=Cx=1Dx=【考点】利用导数研究函数的极值【分析】求出原函数的导函数，确定出函数的单调区间，由此求得函数的极值点【解答】解：由f（x）=x2+lnx，得f（x）=（x0），当0x1时，f（x）0；当x1时，f（x）0函数f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+）上为减函数函数f（x）=x2+lnx的极值点为x=1故选：C65名大学生被分配到4个地区支教，每个地区至少分配1人，其中甲乙两名同学因专业相同，不能分配在同一地区，则不同的分配方法的种数为（）A120B144C216D240【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】先求出没有限制要求的5名大学生被分配到4个
9、地区支教，每个地区至少分配1人的种数，再排除甲乙两名同学分配在同一地区的种数，问题得以解决【解答】解：5个人分成满足题意的4组只有1，1，1，2，即只有一个单位有2人，其余都是1人，故有C52A44=240种，其中甲乙两名同学分配在同一地区的方法为C41A33=24种，故甲乙两名同学因专业相同，不能分配在同一地区，则不同的分配方法的种数为24024=216种，故选：C7设a，b，c是正整数，且a70，80），b80，90），c90，100，当数据a，b，c的方差最小时，a+b+c的值为（）A252或253B253或254C254或255D267或268【考点】极差、方差与标准差【分析】设=，则
10、数据a，b，c的方差s2= （ab）2+（bc）2+（ac）2，设a=b+m，c=b+n，则s2 m2+n2+（m+n）2，应该使得b=85，而当m+n=0，1，1时，s2有可能取得最小值【解答】解：设=，则数据a，b，c的方差s2= （ab）2+（bc）2+（ac）2，设a=b+m，c=b+n，则s2 m2+n2+（m+n）2，取b=85，当m+n=0，1，1时，s2有可能取得最小值，m=16，n=15时，s2取得最小值=取b=84，当m+n=0，1，1时，s2有可能取得最小值，m=15，n=16时，s2取得最小值=a+b+c=79+85+90=254，或a+b+c=79+84+90=253
11、故选：B8已知函数f（x）=ex+ax2，其中aR，若对于任意的x1，x21，+），且x1x2，都有x2f（x1）x1f（x2）a（x1x2）成立，则a的取值范围是（）A1，+）B2，+）C（，1D（，2【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】将不等式变形为：恒成立，构造函数h（x）=，转会为当x1x2时，h（x1）h（x2）恒成立，为了求a的范围，所以需要构造函数，可通过求导数，根据单调性来求它的范围【解答】解：对于任意的x1，x21，+），且x1x2，都有x2f（x1）x1f（x2）a（x1x2）成立，不等式等价为成立，令h（x）=，则不等式等价为当x1x2时，h（x1）h（x2）恒成立，
12、即函数h（x）在（0，+）上为增函数；h（x）=，则h（x）=0在（0，+）上恒成立；xexex+2a0；即a2xexex恒成立，令g（x）=xexex，g（x）=xex0；g（x）在（0，+）上为增函数；g（x）g（0）=1；2a1；a1a的取值范围是（，1故选：C二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分.、共30分.9函数f（x）=cosx，则f（）=【考点】导数的运算【分析】求函数的导数，根据函数的导数公式代入直接进行计算即可【解答】解：f（x）=cosx，f（x）=sinx，f（）=sin=，故答案为：10定积分dx的值为【考点】定积分【分析】根据定积分的性质，然后运用微积分基本定理计
13、算定积分即可【解答】解： dx=2x2dx=2x3=故答案为：11设（2x+1）3=a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a1+a2+a3=27【考点】二项式系数的性质【分析】令x=1可得a0+a1+a2+a3 的值【解答】解：令x=1，a0+a1+a2+a3=33=27，故答案为：2712由数字1，2组成的三位数的个数是8（用数字作答）【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】直接根据分步计数原理可得【解答】解：每一位置都有2种排法，故有23=8种，故答案为：813在平面几何里，有勾股定理“设ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研
14、究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则SABC2+SACD2+SADB2=SBCD2”【考点】类比推理【分析】从平面图形到空间图形的类比【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：SABC2+SACD2+SADB2=SBCD2故答案为：SABC2+SACD2+SADB2=SBCD214研究函数f（x）=的性质，完成下面两个问题：将f（2）、f（3）、f（5）按从小到大排列为f（5）f（2）f（3）；函数g（x）=（x0）的最大值为e【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】利用导数判断在（0，e
15、）递增，（e，+）递减得出f（3）f（5），运用作差判断f（2）f（5），f（2）f（3）即可得出大小构造函数ln（g（x）=lnx（x0），令h（x）=lnx（x0），运用导数求解极大值，得出h（x）的极大值为h（e）=lne=，结合对数求解即可【解答】解：函数f（x）=，f（x）=，f（x）=0，x=e，f（x）=，0，x（0，e）f（x）=0，x（e，+）在（0，e）递增，（e，+）递减f（3）f（5），f（2）f（5）=0f（2）f（5）f（2）f（3）=0f（3）f（2）故答案：f（5）f（2）f（3）；函数g（x）=（x0），ln（g（x）=lnx（x0）令h（x）=lnx（x0）
16、，h（x）=（1lnx）=0，x=eh（x）=（1lnx）0，xeh（x）=（1lnx）0，0xeh（x）=lnx（x0），在（0，e）递增，在（e，+）递减，h（x）的极大值为h（e）=lne=，函数g（x）=（x0）的最大值为e，故答案为：e三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15在数列an中，a1=1，an=nan1，n=2，3，4，（）计算a2，a3，a4，a5的值；（）根据计算结果，猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明【考点】数学归纳法；归纳推理【分析】（）利用已知条件通过n=2，3，4，5直接计算a2，a3，a4，a5的值，（）根据（
17、）的计算结果，猜想的通an项公式，用数学归纳法的证明步骤直接证明即可【解答】解：（）a1=1，an=nan1，可得n=2时，a2=2；n=3时，a3=6；a4=24，a5=120（）猜想 an=n!证明：当n=1时，由已知，a1=1!=1，猜想成立假设当n=k（kN*）时猜想成立，即ak=k!则n=k+1时，ak+1=（k+1）ak=（k+1）k!=（k+1）!所以 当n=k+1时，猜想也成立根据 和 ，可知猜想对于任何nN*都成立16已知函数f（x）=x3+3x29x；（1）求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间4，c上的最小值为5，求c的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最
18、值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论c的范围，求出函数的最小值，从而求出c的具体范围【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是R，f（x）=3x2+6x9，令f（x）0，解得：x1或x3，令f（x）0，解得：3x1，f（x）在（，3）递增，在（3，1）递减，在（1，+）递增；（2）由f（4）=20结合（1）得：c1时，函数f（x）在4，c上的最小值是f（1）=5，4c1时，函数f（x）在区间4，c上的最小值大于5，故c的范围是1，+）17甲参加A，B，C三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如表，假设三个科目
19、的考试甲是否成绩合格相互独立 科目A 科目B 科目C 甲（）求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率；（）设甲参加考试成绩合格的科目数量为X求X的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列【分析】（）记“甲至少有一个科目考试成绩合格”为事件M，利用对立事件概率计算公式能求出甲至少有一个科目考试成绩合格的概率（）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能出X的分布列和EX【解答】解：（）记“甲至少有一个科目考试成绩合格”为事件M，则P（）=（1）（1）（1）=，甲至少有一个科目考试成绩合格的概率：P（M）=
20、1P（）=1（）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=（1）（1）（1）=，P（X=1）=+（1），P（X=3）=，P（X=2）=1P（X=0）P（X=1）P（X=3）=，X的分布列为： X 0 1 2 3 PEX=18口袋中装有2个白球和n（n2，nN*）个红球，每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回口袋中），若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖（）用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率；（）若n=3，求3次摸球中恰有1次中奖的概率；（）记3次摸球中恰有1次中奖的概率为f（p），当f（p）取得最大值时，求n的值【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】（）设“1次摸
21、球中奖”为事件A，利用互斥事件概率加法公式能求出用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率（）由（）得若n=3，则1次摸球中奖的概率为p=，由此能求出3次摸球中，恰有1次中奖的概率（）设“1次摸球中奖”的概率为p，则3次摸球中，恰有1次中奖的概率为f（p）=3p36p2+3p，（0p1），由此利用导数性质能求出当f（p）取得最大值时，n的值【解答】解：（）设“1次摸球中奖”为事件A，则P（A）=（）由（）得若n=3，则1次摸球中奖的概率为p=，3次摸球中，恰有1次中奖的概率为P3（1）=3=（）设“1次摸球中奖”的概率为p，则3次摸球中，恰有1次中奖的概率为：f（p）=3p36p2+3p，（0p1）
22、，f（p）=9p212p+3=3（p1）（3p1），当p（0，）时，f（p）取得最大值，令=，解得n=2或n=1（舍），当f（p）取得最大值时，n的值为219已知函数f（x）=x2exb，其中bR（）证明：对于任意x1，x2（，0，都有f（x1）f（x2）；（）讨论函数f（x）的零点个数（结论不需要证明）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（）利用导数转化为求解最大值，最小值的差证明（）根据最大值为；f（2）=b，f（x）的最小值为：b，分类当b0时，当b=0时，当b=时，当0b时，当b时，判断即可【解答】解：（）f（x）的定义域R，且f（x）=x（x+2）ex，令f（x）=0则x1=0，
23、或x2=2，f（x）=x（x+2）ex， x （，2）2 （2，0） f（x）+ 0 f（x） 增函数 极大值 减函数f（x）在区间（，0上的最大值为；f（2）=b，x（，0，f（x）=x2exbb，f（x）的最小值为：b，对于任意x1，x2（，0，都有f（x1）f（x2）f（x）最大值f（x）；（）f（x）=x（x+2）ex，函数f（x）=x2exb，当b0时，函数f（x）=x2exb0恒成立，函数f（x）的零点个数为：0当b=0时，函数f（x）=x2ex，函数f（x）的零点个数为：1当b=时，函数f（x）的零点个数为；2， 当0b时，函数f（x）的零点个数为：3，当b时，函数f（x）的零点
24、个数为：1，20设L为曲线C：y=ex在点（0，1）处的切线（）证明：除切点（0，1）之外，曲线C在直线L的上方；（）设h（x）=exax+ln（x+1），其中aR，若h（x）1对x0，+）恒成立，求a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出函数的导数，计算f（0），从而求出切线方程即可；（）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围，单调函数的单调区间，从而求出a的具体范围即可【解答】解：（）设f（x）=ex，则f（x）=ex，f（0）=1，L的方程是y=x+1，令g（x）=f（x）（x+1），则除切点之外，曲线C在直线L的上方等价于g（x）0
25、，（xR，x0），g（x）满足g（0）=0，且g（x）=f（x）1=ex1，当x0时，g（x）0，故g（x）递减，当x0时，g（x）0，故g（x）递增，g（x）g（0）=0，除切点（0，1）之外，曲线C在直线L的上方；（）h（x）的定义域是x|x1，且h（x）=ex+a，a2时，由（）得：exx+1，h（x）=ex+ax+1+a2a0，h（x）在0，+）递增，h（x）h（0）=1恒成立，符合题意；a2时，由x0，+），且h（x）的导数h（x）=0，h（x）在区间0，+）递增，h（0）=2a0，h（lna）=0，于是存在x0（0，+），使得h（x0）=0，h（x）在区间（0，x0）上递减，在区间（x0，+）递增，h（x0）h（0）=1，此时，h（x）1不会恒成立，不合题意，综上，a的范围是（，22016年8月27日
