1、课时作业25正弦定理、余弦定理一、选择题1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b3，A60，则边c等于(C)A1 B2C4 D6解析：a2c2b22cbcosA，13c292c3cos60，即c23c40，解得c4或c1(舍去)2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2，b2，C30，则B等于(D)A30 B60C30或60 D60或120解析：c2，b2，C30，由正弦定理可得sinB，由bc，可得30B0，则ABC一定是锐角三角形解析：由，利用正弦定理可得，即tanAtanBtanC，ABC，ABC是等边三角形，A正确；由正弦定理可得sinAcosAsin
2、BcosBsin2Asin2B,2A2B或2A2B，ABC是等腰或直角三角形，B不正确；由正弦定理可得sinBcosCsinCcosBsinB，即sin(BC)sinB，sinAsinB，则AB，ABC是等腰三角形，C正确；由余弦定理可得cosC0，角C为锐角，角A，B不一定是锐角，D不正确，故选AC二、填空题8(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinAacosB0，则B.解析：解法1：依题意与正弦定理得sinBsinAsinAcosB0，即sinBcosB，则tanB1.又0B，所以B.解法2：由正弦定理得bsinAasinB，又bsinAacosB0，所
3、以asinBacosB0，即sinBcosB，则tanB1.又0B，所以B.9在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tanBac，则角B的值为或.解析：由余弦定理，得cosB，结合已知等式得cosBtanB，sinB，又0B，B或.10(多填题)(2019浙江卷)在ABC中，ABC90，AB4，BC3，点D在线段AC上若BDC45，则BD，cosABD.解析：在RtABC中，易得AC5，sinC.在BCD中，由正弦定理得BDsinBCD，sinDBCsin(BCDBDC)sin(BCDBDC)sinBCDcosBDCcosBCDsinBDC.又ABDDBC，所以co
4、sABDsinDBC.11若E，F是等腰直角三角形ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF.解析：如图，设AB6，则AEEFFB2.因为ABC为等腰直角三角形，所以ACBC3.在ACE中，A，AE2，AC3，由余弦定理可得CE.同理，在BCF中可得CF.在CEF中，由余弦定理得cosECF，sinECF，所以tanECF.三、解答题12(2019天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bc2a,3csinB4asinC(1)求cosB的值；(2)求sin的值解：(1)在ABC中，由正弦定理，得bsinCcsinB，又由3csinB4asinC，得3bsinC4asin
5、C，即3b4a.又因为bc2a，得到ba，ca.由余弦定理可得cosB.(2)由(1)可得sinB，从而sin2B2sinBcosB，cos2Bcos2Bsin2B，故sinsin2Bcoscos2Bsin.13在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c2.(1)若A，b3，求sinC的值；(2)若sinAcos2sinBcos23sinC，且ABC的面积SsinC，求a和b的值解：(1)由余弦定理a2b2c22bccosA，得a2942327，所以a，由正弦定理，得sinC.(2)由已知得sinAsinB3sinC，sinAsinAcosBsinBsinBcosA6sinC，sinA
6、sinBsin(AB)6sinC，sinAsinB5sinC，所以ab5c10.又SabsinCsinC，所以ab25.由解得ab5.14已知函数f(x)4sinxcos.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f1，a2，求ABC面积的最大值解：(1)函数f(x)4sinxcos4sinx42sin1.令2k2x2k，kZ，求得kxk，kZ，可得函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)在ABC中，因为f2sin11，所以sin0，又0A，所以A.所以ABC的面积为bcsinA.因为a2，所以由余弦定理可得a24b2c2bc2bcbc，所以bc4(2)，当且仅当bc时等号成立所以ABC的面积为bcsinA2，故ABC面积的最大值为2.15在如图所示的ABC中，CAB，角B，C的对边分别为a，b，c，若cosCAB，B2CAB，b3.(1)求a；(2)已知点M在边BC上，且AM平分BAC，求ABM的面积解：(1)由0CAB，cosCAB，得sinCAB，所以sinBsin2CAB2sinCABcosCAB2.由正弦定理，可得a2.(2)cosBcos2CAB2cos2CAB1221.在ABC中，由余弦定理b2a2c22accosB，得2c2c100，解得c或c2(舍去)所以SABCbcsinCAB.因为，所以SABMSABC.
