1、2020年高考数学模拟试卷(理科)一、选择题(共12小题).1.若,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出共轭复数,根据复数运算法则即可得解.【详解】,.故选:A【点睛】此题考查复数的概念辨析和基本运算,关键在于熟练掌握复数的运算法则,根据法则求解.2.已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据对数不等式解法求出解集得到A,根据交集运算即可得解.【详解】,所以故选:C【点睛】此题考查集合的交集运算,关键在于准确求解对数型不等式和一元二次不等式.3.设非零向量,满足,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由可得,利用数量积
2、的运算性质结合条件可得答案.【详解】,.,.故选:A【点睛】本题考查利用向量垂直其数量积为零求向量的模长,属于中档题.4.如图,在正方体中,E为的中点,几何体的侧视图与俯视图如图所示,则该几何体的正视图为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据侧视图和俯视图特征判定几何体,找出正投影,即可得解.【详解】结合俯视图和侧视图,根据几何体特征,该几何体为图中,正投影为,与不在同一平面,所以正视图为A选项的图形.故选:A【点睛】此题考查三视图的识别,关键在于根据俯视图侧视图结合几何体辨析正视图,易错点在于对几何体的棱BE考虑不准确.5.设双曲线,的离心率分别为,则( )A. B.
3、C. D. 【答案】D【解析】分析】已知双曲线标准方程,根据离心率的公式,直接分别算出,即可得出结论.【详解】对于双曲线,可得,则,对于双曲线,得,则,对于双曲线,得,则,可得出,所以.故选:D.【点睛】本题考查双曲线的标准方程和离心率,属于基础题.6.若,则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由条件有,利用均值不等式有可得到答案.【详解】因为,所以,则,当且仅当时,等号成立,故的最小值为4.故选:C【点睛】本题考查对数的运算性质和利用均值不等式求最值,属于中档题.7.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有一个“引葭赴岸”问题:“今有池方一丈,葭生其中央
4、.出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”其意思为“今有水池1丈见方(即尺),芦苇生长在水的中央,长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引,恰巧与水岸齐接(如图所示).试问水深、芦苇的长度各是多少?假设,现有下述四个结论:水深为12尺;芦苇长为15尺;.其中所有正确结论的编号是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用勾股定理求出的值,可得,再利用二倍角的正切公式求得,利用两角和的正切公式求得的值.【详解】设,则,.即水深为12尺,芦苇长为12尺;,由,解得(负根舍去).,.故正确结论的编号为.故选:B.【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式、两角和的正切公式,属于基
5、础题.8.在外国人学唱中文歌曲的大赛中,有白皮肤选手6人,黑皮肤选手6人,黄皮肤选手8人,一等奖规定至少2个至多3个名额,且要求一等奖获奖选手不能全是同种肤色,则一等奖人选的所有可能的种数为( )A. 420B. 766C. 1080D. 1176【答案】D【解析】【分析】分别计算一等奖两个名额和三个名额的情况即可得解.【详解】一等奖两个名额,一共种,一等奖三个名额,一共种,所以一等奖人选的所有可能的种数为1176.故选:D【点睛】此题考查计数原理的综合应用,需要熟练掌握利用组合知识解决实际问题,准确分类,结合对立事件求解.9.已知函数,则( )A. 的最小正周期为B. 曲线关于对称C. 的最
6、大值为2D. 曲线关于对称【答案】D【解析】【分析】由已知可得,根据三角函数的性质逐一判断.【详解】,则.最大值为,当时,故曲线关于对称,当时,故曲线不关于对称.故选:D.【点睛】本题考查三角函数的性质,其中对称轴和对称中心可代入判断,是基础题.10.函数的零点的个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】将原题转化为求方程的根的个数,根据函数奇偶性,考虑当时方程的根的个数,根据对称性即可得解.【详解】函数的零点个数,即方程的根的个数,考虑,定义在的偶函数,当时,作出函数图象:两个函数一共两个交点,即当时有两根,根据对称性可得:当时有两根,所以一共4个根,即函数的零点
7、的个数为4.故选:C【点睛】此题考查函数零点问题,转化为方程的根的问题,根据奇偶性数形结合求解.11.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱A1B1上一点,且AB2,若二面角B1BC1E为45,则四面体BB1C1E的外接球的表面积为( )A. B. 12C. 9D. 10【答案】D【解析】【分析】连接交于,可得,利用线面垂直的判定定理可得:平面,于是,可得而为二面角的平面角,再求出四面体的外接球半径,进而利用球的表面积计算公式得出结论【详解】连接交于,则,易知,则平面,所以,从而为二面角的平面角,则.因为,所以,所以四面体的外接球半径故四面体BB1C1E的外接球的表面积为故选:D【点睛】本
8、题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理、二面角的平面角、球的表面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题12.若曲线存在两条垂直于y轴的切线,则m的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】曲线存在两条垂直于轴的切线函数存在两个极值点在上有两个解,即在上有两异根,令,利用导数法可求得的值域,从而可得的取值范围.【详解】解:曲线存在两条垂直于轴的切线,函数的导函数存在两个不同的零点,又,即在上有两个不同的解,设,当时,;当时,所以,又当时,当时,故.故选:A.【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程,考查等价转化思想、函数与方程思想的综合运用,考查推
9、理与运算能力,属于难题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.若x,y满足约束条件,则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】作出可行域,几何意义为可行域内的点与点连线的斜率,根据图形观察计算可得答案.【详解】作出可行域,如图所示,则,故z的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查分式型目标函数的最值问题,关键是画出可行域,是基础题.14.某工厂共有50位工人组装某种零件.下面的散点图反映了工人们组装每个零件所用的工时(单位:分钟)与人数的分布情况.由散点图可得,这50位工人组装每个零件所用工时的中位数为_.若将500个要组装的零件分给每个工人,让他
10、们同时开始组装,则至少要过_分钟后,所有工人都完成组装任务.(本题第一空2分,第二空3分)【答案】 (1). 3.3; (2). 33.14【解析】【分析】根据工时从小到大依次分析得出工时3.4人数16,工时3.5人数8,工时3.3人数12,即可得到中位数;计算出工时平均数即可得解.【详解】根据散点图:工时3.0人数3,工时3.1人数5,工时3.2人数6,工时3.3人数12,工时3.4人数16,工时3.5人数8,所以工时的中位数为3.3;将500个要组装的零件分给每个工人,让他们同时开始组装,至少需要时间:故答案为:3.3;33.14【点睛】此题考查求平均数和中位数,关键在于准确读懂题意,根据
11、公式计算求解.15.设分别为内角的对边已知,且,则 _【答案】2【解析】【分析】首先利用正弦定理的角化边得到,再根据余弦定理即可得到,解方程即可.【详解】因为所以又因为,所以即,解得故答案为:【点睛】本题主要考查了正弦定理,余弦定理在求解三角形中的应用,属于中档题16.设,若直线上存在一点满足,且的内心到轴的距离为,则_.【答案】【解析】【分析】由题意可得点为直线与椭圆的交点,直线方程与椭圆方程联立可得,由的内心到轴的距离为,即的内切圆的半径,由等面积法可求出参数的值.【详解】点满足,则点在椭圆上.由题意可得点为直线与椭圆的交点.联立与,消去得,则.因为的内心到轴的距离为,所以的内切圆的半径.
12、所以的面积为,即,解得,又,则.【点睛】本题考查考查直线与椭圆的位置关系,根据椭圆的焦点三角形的相关性质求参数,属于中档题.三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.设等差数列anbn的公差为2,等比数列an+bn的公比为2,且a12,b11(1)求数列an的通项公式;(2)求数列2an+2n的前n项和Sn【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1),可得,联立即可解得.(2),利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出.【详解】(1),.
13、联立解得:.(2)数列的前项和.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式,同时考查了分组求和,考查了学生推理能力与计算能力,属于简单题18.某厂加工的零件按箱出厂,每箱有10个零件,在出厂之前需要对每箱的零件作检验,人工检验方法如下:先从每箱的零件中随机抽取4个零件,若抽取的零件都是正品或都是次品,则停止检验;若抽取的零件至少有1个至多有3个次品,则对剩下的6个零件逐一检验.已知每个零件检验合格的概率为0.8,每个零件是否检验合格相互独立,且每个零件的人工检验费为2元.(1)设1箱零件人工检验总费用为元,求的分布列;(2)除了人工检验方法外还有机器检验方法,机器检验需要对每箱
14、每个零件作检验,每个零件的检验费为1.6元.现有1000箱零件需要检验,以检验总费用的数学期望为依据,在人工检验与机器检验中,应该选择哪一个?说明你的理由.【答案】(1)详见解析(2)应该选择人工检验,详见解析【解析】【分析】(1)根据题意,工人抽查的4个零件中,分别计算出4个都是正品或者都是次品,4个不全是次品的人工费用,得出的可能值,利用二项分布分别求出概率,即可列出的分布列;(2)由(1)求出的数学期望,根据条件分别算出1000箱零件的人工检验和机器检验总费用的数学期望,比较即可得出结论.【详解】解:(1)由题可知,工人抽查的4个零件中,当4个都是正品或者都是次品,则人工检验总费用为:元
15、,当4个不全是次品时,人工检验总费用都为:元,所以的可能取值为8,20,则的分布列为8200.41120.5888(2)由(1)知,所以1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为元,因为1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为元,且,所以应该选择人工检验.【点睛】本题考查离散型随机变量的实际应用,求离散型随机变量概率、分布列和数学期望,属于基础题.19.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PCD,E为AD的中点,AC与BE相交于点O.(1)证明:平面ABCD.(2)求直线BC与平面PBD所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)通过证明平面,得到,再证即可证得平面AB
16、CD.(2)建立空间直角坐标系,求出平面的法向量、直线的方向向量,利用空间向量法求出线面角的正弦值.【详解】(1)证明:平面PCD,平面,为的中点,则且.四边形BCDE为平行四边形,.又,且E为AD的中点,四边形ABCE为正方形,又平面,平面,则.平面平面,又,为等腰直角三角形,O为斜边AC上的中点,且平面ABCD.(2)解:以O为坐标原点,建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示不妨设,则,则.设平面PBD的法向量为,则即即令,得.设BC与平面所成角为,则.【点睛】本题考查线面垂直,线面角的计算,属于中档题.20.已知函数.(1)讨论在上的单调性;(2)若,求不等式的解集.【答案】(1)当时,
17、则在上单调递增; 当时,的单调递减区间为,单调递增区间为;当时的单调递减区间为,单调递增区间为,;当时的单调递减区间为,单调递增区间为;(2).【解析】【分析】(1),分和讨论得出函数的单调性.(2) 原不等式等价于,又,当时,所以在上单调递增,从而可得出答案.【详解】(1).当时,则在上单调递增.当时,令,得.(i)当时,令,得;令,得.所以的单调递减区间为,单调递增区间为.(ii)当时,令,得;令,得或.所以的单调递减区间为,单调递增区间为,.(iii)当时,令,得;令,得.所以的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)因为,所以,当时,所以在上单调递增.因为,所以原不等式等价于.因为,所以
18、,解得,故所求不等式的解集为.【点睛】本题考查讨论函数的单调性和根据函数的单调性解不等式,属于中档题.21.已知抛物线C:x22py(p0)的焦点为F,直线l与抛物线C交于P,Q两点(1)若l过点F,抛物线C在点P处的切线与在点Q处的切线交于点G证明:点G在定直线上(2)若p2,点M在曲线y上,MP,MQ的中点均在抛物线C上,求MPQ面积的取值范围【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)设,根据条件分别求出直线PG的方程,QG的方程,联立可得,化简得到点G在定直线上(2)设,表示出面积结合在曲线y上,即可求出面积的取值范围【详解】(1)证明:易知,设,由题意可知直线l的斜率存在,故
19、设其方程为由,得,所以由,得,则,直线PG的方程为,即.同理可得直线QG的方程为.联立,可得因为,所以,故点G在定直线上(2)设,的中点分别为,因为,得中点均在抛物线上,所以,为方程的解,即方程的两个不同的实根,则,即,所以的中点的横坐标为,纵坐标为.则,所以的面积由,得,所以,因为,所以,所以面积的取值范围为【点睛】本题考查直线与抛物线的综合,点过定直线的证明,三角形面积取值范围,合理利用根与系数关系是关键,属于难题(二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选修4-4:坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数
20、),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C的极坐标方程;(2)若点P的极坐标为,过P的直线与曲线C交于A,B两点,求的最大值【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)先将中的消去得普通方程,再利用可得极坐标方程;(2)先求出AB的参数方程,代入曲线C的普通方程,利用韦达定理及三角函数的性质可得的最大值.【详解】解:(1)由,得, 即,所以,即,故曲线C的极坐标方程为. (2)因为P的极坐标为,所以P的直角坐标为,故可设AB的参数方程为(为参数).将代入,得, 设点对应的参数分别为,则, 所以, 故的最大值为.【点睛】本题考查普通方程,参数方程,极坐标方程之间的互化,考
21、查直线参数方程中参数几何意义的应用,是中档题.选修4-5:不等式选讲23.已知函数.(1)若,求不等式的解集;(2)设函数的图象与x轴围成的封闭区域为,证明:当时,的面积大于.【答案】(1);(2)证明见解析【解析】【分析】(1)对不等式进行零点分段讨论求解;(2)求出函数与x轴交点坐标,表示出三角形面积,根据求得面积即可得证.【详解】(1)若,不等式即:,当时,得,当时,得,当时,得,综上所述:即:不等式的解集为;(2),该函数图象与x轴围成的封闭区域为三角形,其三个顶点为,该三角形面积:所以原命题得证.【点睛】此题考查求解绝对值不等式,利用零点分段讨论,根据三角形的面积证明不等式,关键在于准确求解顶点坐标,利用不等关系证明.