1、1.已知A、B为球面上的两点,O为球心,且AB=3,则球的体积为( ) A.B.C.36 D. 答案:B 解析:AOB为等腰三角形,腰长为球的半径,AB=3,通过解三角形解出OA和OB,即从而求出球的体积为,故选B. 2.设计一个杯子,其三视图如图所示,现在向杯中匀速注水,杯中水面的高度h随时间t变化的图象是 ( ) 答案:B 解析:由三视图可知杯子是圆柱形的,由于圆柱形的杯子上下均匀,所以当向杯中匀速注水时,其高度随时间的变化是相同的,反映在图象上,只有选项B符合题意.故选B. 3.如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为 . 答案
2、: 解析:将几何体补充出来,如图所示.最长棱为PB=. 4.四边形ABCD中,A(0,0),B(1,0),C(2,1),D(0,3),四边形ABCD绕y轴旋转一周,则所得旋转体的体积为 . 答案:5 解析:, h , . 5.已知正方体的棱长为a,E、F分别为棱与的中点,求四棱锥的体积. 解:因为,所以四棱锥的底面是菱形,连接EF,则EFB由于三棱锥与三棱锥等底同高,所以. 题组一 多面体的表面积 1.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( ) A.B.2 C.D.6 答案: D 解析:由已知,得该几何体为底面是正三角形且边长为2,高为1的正三棱柱,故其侧面积为故选D
3、. 2.已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是( ) A.B. C.D.6 答案:C 解析:由三视图可知此几何体为一底面为等腰直角三角形的直三棱柱. 3.已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M,若圆M的面积为3,则球O的表面积等于 . 答案:16 解析:由题意得圆M的半径设球的半径为R,又球心到圆M的距离为由勾股定理得R=2,则球的表面积为4,故填16. 题组二 多面体的体积 4.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是 cm. 答案:4 解析:设球的半径为r, 则.
4、 5.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 .答案: 3 解析:该三视图对应的几何体是直四棱柱, 所以1=3. 6.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是 . 答案:18 解析:由三视图可知此几何体是由两块长、宽均为3 cm,高为1 cm的长方体构成,故其体积为)=18(). 题组三 旋转体的表面积、体积 7.圆台上、下底面面积分别是、4,侧面积是6,则圆台的体积是( ) A. B. C. D. 答案:D 解析:,r=1,R=2, =(r+R)l,l=2,. V= . 8.设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( ) A
5、.3B.6C.12D.24 答案:B 解析:由已知,球O的直径2R等于长方体的对角线, 球的表面积S=4. 9.体积为8的一个正方体,其表面积与球O的表面积相等,则球O的体积等于 . 答案: 解析:设正方体棱长为a,球的半径为R,则 a=2. . . 题组四 空间几何体的体积表面积的综合 10.如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为6、4、3,那么它的外接球体积是 . 答案: 解析:依题意,设这个三棱锥的侧棱分别为a、b、c,则有ab=12,bc=8,ac=6,解得a=3,b=4,c=2.这个三棱锥的外接球就是以三棱锥的三条侧棱为长、宽、高的长方体的外接球,所以外接球的直径为所求体积为
6、. 11.如图所示,在斜三棱柱中侧棱与底面所成的角为BC=4.求斜三棱柱的体积V. 解:在Rt中, tan. 作平面ABC,垂足为H,则 在Rt中sin sin. . 12.如图,在三棱锥P-ABC中,PAB是等边三角形. (1)证明:; (2)若PC=4,且平面平面PBC,求三棱锥PABC的体积. 解:(1)证明:PAB是等边三角形, PA=PB. ,PC=PC, RtPBCRtPAC,AC=BC. 取AB的中点D,连接PD、CD, 则 又PD与CD交于D点,平面PDC, 平面PDC,. (2)作垂足为E,连接AE. RtPBCRtPAC, . 由已知,平面平面PBC, 故. AB=PB,BE=BE, RtAEBRtPEB.PE=AE=BE, 又PE=CE,BE=CE. AEB,PEB,CEB都是等腰直角三角形. 由已知PC=4,得AE=BE=2, AEB的面积 2=2, 平面AEB,三棱锥P-ABC的体积 .
