1、2015-2016学年江西省吉安市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1若a、b、cR，且ab0，则下列不等式一定成立的是（）AacbcBCDac2bc22“二孩政策”的出台，给很多单位安排带来新的挑战，某单位为了更好安排下半年的工作，该单位领导想对本单位女职工做一个调研，已知该单位有女职工300人，其中年龄在40岁以上的有50人，年龄在30，40之间的有150人，30岁以下的有100人，现按照分层抽样取30人，则各年龄段抽取的人数分别为（）A5，15，10B5，10，15C10，10，10D5，5，203已知ABC的三边比为3：5：7，则这个三角形的最大角的
2、正切值是（）ABCD4在某海洋军事演习编队中，指挥舰00号与驱逐舰01号、02号的距离一直保持100海里的距离，当驱逐舰01号在指挥舰00号的北偏东15，02号在00号南偏东45时，则驱逐舰01号与02号相距（）A100海里B100海里C100海里D200海里5下列四个命题一定正确的是（）A算法的三种基本结构是顺序结构、条件结构，循环结构B用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，总体容量越大，估计越精确C一组数据的方差为3，将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的3倍，所得的新数据组的方差还是3D有50件产品编号从1到50，现在从中抽取5件检验，用系统抽样确定所抽取的编号为5，15，20，35，
3、406已知a=30.5，b=（）1.1，c=log2，则a、b、c大小关系正确的是（）AcabBabcCcbaDbca7设Sn为等差数列an的前n项和，若a50，a1+a100，则当Sn最大时正整数n为（）A4B5C6D108执行如图所示的程序框图，若输入S的值为1，则输出S的值为（）A1BC2D39已知函数f（x）=x2ax+4满足a1，7，那么对于a，使得f（x）0在x1，4上恒成立的概率为（）ABCD10下列命题一定正确的是（）A在等差数列an中，若ap+aq=ar+a，则p+q=r+B已知数列an的前n项和为Sn，若an是等比数列，则Sk，S2kSk，S3kS2k也是等比数列C在数列a
4、n中，若ap+aq=2ar，则ap，ar，aq成等差数列D在数列an中，若apaq=a，则ap，ar，aq成等比数列11已知函数f（x）=12lgx，若f（x21）1，则实数x的取值范围为（）A（，）B（1，）C（2，1）（1，2）D（，1）（1，）12已知f（x）是偶函数，且f（x+）=f（x），当x0时，f（x）=（）x1，记an=f（），nN+，则a2046的值为（）A1B1C1D1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13某厂有一个新工人生产5件产品中有3件合格品，其余为次品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件合格品的概率为14若正数a、b满足a+2b=1，则+的最小值是15观
5、察下列图，并阅读图形下面的文字，依此推断n条直线的交点个数最多是16已知数列an当n2时满足=+，且a3a5a7=， +=9，Sn是数列的前n项和，则S4=三、解答题（共6小题，满分70分）17一个盒子中装有5张编号依次为1，2，3，4，5的卡片，这5张卡片除号码外完全相同，现进行有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一张卡片（1）求出所有可能结果数，并列出所有可能结果；（2）求条件“取出卡片的号码之和不小于7或小于5”的概率18已知公差为0的等差数列an满足a1=1，且a1，a32，a9成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）记数列的前n项和为Sn，并求使得Sn+成立的最小正整数n19在锐
6、角ABC中， =（1）求角A；（2）若a=2，且sinB+cos（C+2B）取得最大值时，求ABC的面积20从吉安市某校高一的1000名学生随机抽取50名分析期中考试数学成绩，被抽取学生成绩全部介于95分和135分之间，将抽取的成绩分成八组：第一组95，100，第二组100，105，第八组130，135，如图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分，已知前三组的人数成等差数列，第六组的人数为4人，第一组的人数是第七组、第八组人数之和（1）在图上补全频率分布直方图，并估计该校1000名学生中成绩在120分以上（含120分）的人数；（2）若从成绩属于第六组，第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他
7、们的成绩分别为x，y，事件G=|xy|5|，求P（G）21某集团公司为了获得更大的收益，决定以后每年投入一笔资金用于广告促销经过市场调查，每年投入广告费t百万元，可增加销售额约（2t+）百万元（t0）（1）若公司当年新增收益不少于1.5百万元，求每年投放广告费至少多少百万元？（2）现公司准备投入6百万元分别用于当年广告费和新产品开发，经预测，每投入新产品开发费x百万元，可增加销售额约（+3x+）百万元，问如何分配这笔资金，使该公司获得新增收益最大？（新增收益=新增销售额投入）22已知数列an的前n项和Sn=2n+1，（nN*）（1）求数列an的通项an；（2）设bn=nan+1，求数列bn的前
8、n项和Tn；（3）设cn=，求证：c1+c2+cn（nN*）2015-2016学年江西省吉安市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1若a、b、cR，且ab0，则下列不等式一定成立的是（）AacbcBCDac2bc2【考点】不等式的基本性质【分析】根据不等式的基本性质，分别判断四个答案中的不等式是否恒成立，可得结论【解答】解：ab0，acbc，故A错误；，故B正确；当c0时，故C错误；当c=0时，ac2=bc2，故D错误；故选：B2“二孩政策”的出台，给很多单位安排带来新的挑战，某单位为了更好安排下半年的工作，该单位领导想对本单位女职工做一个调
9、研，已知该单位有女职工300人，其中年龄在40岁以上的有50人，年龄在30，40之间的有150人，30岁以下的有100人，现按照分层抽样取30人，则各年龄段抽取的人数分别为（）A5，15，10B5，10，15C10，10，10D5，5，20【考点】分层抽样方法【分析】本题是一个分层抽样，根据该单位有女职工300人，要取一个容量为30的样本，得到本单位每个女职工被抽到的概率，即可得到答案【解答】解：抽取人数与女职工总数的比是30：300=1：10年龄在40岁以上的有50人，年龄在30，40之间的有150人，30岁以下的有100人，在分层抽样时，各年龄段抽取的人数分别为5人、15人和10人故选：A
10、3已知ABC的三边比为3：5：7，则这个三角形的最大角的正切值是（）ABCD【考点】余弦定理【分析】设三边长依次为3t，5t，7t，其中t0，设最大角是C，由余弦定理求得cosC的值，可得C的正切【解答】解：ABC的三边比为3：5：7，设三边长依次为3t，5t，7t，其中t0，设最大角是C，由余弦定理知，49t2=9t2+25t223t5tcosC，cosC=，所以C=120则由余弦定理可得tanC=tan120=tan60=，故选：D4在某海洋军事演习编队中，指挥舰00号与驱逐舰01号、02号的距离一直保持100海里的距离，当驱逐舰01号在指挥舰00号的北偏东15，02号在00号南偏东45时
11、，则驱逐舰01号与02号相距（）A100海里B100海里C100海里D200海里【考点】解三角形的实际应用【分析】首先由题意画出示意图，然后解三角形可得【解答】解：由题意，示意图如图：已知驱逐舰01号在A处的指挥舰00号的北偏东15的C处，02号在00号南偏东45的B处，由已知得到BAC=120，AB=AC=100m，所以BC2=AC2+AB22ACABcos120=30000，所以BC=100；所以驱逐舰01号与02号相距100海里；故选C5下列四个命题一定正确的是（）A算法的三种基本结构是顺序结构、条件结构，循环结构B用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，总体容量越大，估计越精确C一组数
12、据的方差为3，将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的3倍，所得的新数据组的方差还是3D有50件产品编号从1到50，现在从中抽取5件检验，用系统抽样确定所抽取的编号为5，15，20，35，40【考点】命题的真假判断与应用【分析】A根据算法的结构进行判断，B样本容量越大，估计越精确，C样本方差满足平方关系，D系统抽样要求样本间隔相同【解答】解：A根据算法的内容可知算法的三种基本结构是顺序结构、条件结果、循环结构正确，B样本的频率分布估计总体分布的过程中，样本容量越大，估计越准确，故B错误，C一组数据的方差为3，将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的3倍，所得的新数据组的方差9，故C错误，D有50件
13、产品编号从1到50，现在从中抽取5件检验，用系统抽样则样本间隔为505=10，则编号为5，15，20，35，40的样本间隔不是10，故D错误，故选：A6已知a=30.5，b=（）1.1，c=log2，则a、b、c大小关系正确的是（）AcabBabcCcbaDbca【考点】对数值大小的比较【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：a=30.51，b=（）1.1=，c=log2=，bca，故选：D7设Sn为等差数列an的前n项和，若a50，a1+a100，则当Sn最大时正整数n为（）A4B5C6D10【考点】等差数列的前n项和【分析】由等差数列通项公式得到d0，4，由此能求出当Sn
14、最大时正整数n的值【解答】解：Sn为等差数列an的前n项和，a50，a1+a100，d0，4Sn=na1+=+（a1）n=，n=（，5），当Sn最大时正整数n为5故选：B8执行如图所示的程序框图，若输入S的值为1，则输出S的值为（）A1BC2D3【考点】程序框图【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行输出的结果【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，i=1S=满足条件i2016，执行循环体，i=2，S=2满足条件i2016，执行循环体，i=3，S=1满足条件i2016，执行循环体，i=4，S=观察规律可知S的取值周期为3，由于2016=6723，可得满足条件i2016，执行循
15、环体，i=2016，S=1满足条件i2016，执行循环体，i=2017，S=不满足条件i2016，退出循环，输出S的值为故选：B9已知函数f（x）=x2ax+4满足a1，7，那么对于a，使得f（x）0在x1，4上恒成立的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】由f（x）0在x1，4上恒成立，可得ax+在x1，4上恒成立，可得a1，4求出区间1，4上构成的区域长度，再求出在区间1，7上任取一个数构成的区域长度，再求两长度的比值【解答】解：由f（x）0在x1，4上恒成立，可得ax+在x1，4上恒成立，a4又a1，7，a1，4，使得f（x）0在x1，4上恒成立的概率为=，故选：C10下列命题一定正
16、确的是（）A在等差数列an中，若ap+aq=ar+a，则p+q=r+B已知数列an的前n项和为Sn，若an是等比数列，则Sk，S2kSk，S3kS2k也是等比数列C在数列an中，若ap+aq=2ar，则ap，ar，aq成等差数列D在数列an中，若apaq=a，则ap，ar，aq成等比数列【考点】等差关系的确定；等比关系的确定【分析】A在等差数列an中，公差d=0，p+q=r+不一定正确；B若an是等比数列，必须Sk，S2kSk，S3kS2k是不等于0时，Sk，S2kSk，S3kS2k也是等比数列，即可判断出正误；C利用等差数列的性质即可判断出结论；D在数列an中，apaq=a，则an=0，ap
17、，ar，aq不一定成等比数列【解答】解：A在等差数列an中，若ap+aq=ar+a，公差d=0，则p+q=r+不一定正确；B在数列an的前n项和为Sn，若an是等比数列，必须Sk，S2kSk，S3kS2k是不等于0时，成Sk，S2kSk，S3kS2k也是等比数列，因此不正确；C在数列an中，若ap+aq=2ar，则ap，ar，aq成等差数列，正确；D在数列an中，若apaq=a，则ap，ar，aq不一定成等比数列，没有条件an0故选：C11已知函数f（x）=12lgx，若f（x21）1，则实数x的取值范围为（）A（，）B（1，）C（2，1）（1，2）D（，1）（1，）【考点】指、对数不等式的解
18、法【分析】由函数的性质得到lg（x21）0，再根据对数函数的性质即可求出【解答】解：函数f（x）=12lgx，f（x21）1，12lg（x21）1，即lg（x21）0=lg1，0x211，解得x1，或1x，故不等式的解集为（，1）（1，），故选：D12已知f（x）是偶函数，且f（x+）=f（x），当x0时，f（x）=（）x1，记an=f（），nN+，则a2046的值为（）A1B1C1D1【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据函数奇偶性和对称性求出函数是周期为1的周期函数，根据数列和函数的关系，结合函数的周期性进行转化求解即可【解答】解：f（x）是偶函数，且f（x+）=f（x），f（x+）=f（x
19、）=f（x），即f（x+1）=f（x），即函数f（x）是周期为1的周期函数，则a2046=f（）=f=f（）=f（），当x0时，f（x）=（）x1，f（）=（）1=1=1，故a2046=f（）=1，故选：C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13某厂有一个新工人生产5件产品中有3件合格品，其余为次品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件合格品的概率为【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】先求出基本事件总数，再求出恰有一件合格品包含的基本事件个数，由此能求出恰有一件合格品的概率【解答】解：某厂有一个新工人生产5件产品中有3件合格品，其余为次品，现从这5件产品中任取2件，基本
20、事件总数n=，恰有一件合格品包含的基本事件个数m=6，恰有一件合格品的概率p=故答案为：14若正数a、b满足a+2b=1，则+的最小值是8【考点】基本不等式【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：正数a、b满足a+2b=1，则+=（a+2b）=4+4+2=8，当且仅当a=2b=时取等号+的最小值是8故答案为：815观察下列图，并阅读图形下面的文字，依此推断n条直线的交点个数最多是n（n1）【考点】归纳推理【分析】根据2条、3条、4条直线相交交点个数最多的数目，归纳总结得到一般性规律确定出n条直线交点个数最多的即可【解答】解：2条直线相交，最多有2（21）=1个交点；3条直线
21、相交，最多有3（31）=3个交点；4条直线相交，最多有4（41）=6个交点，依此类推，n条直线相交，最多有n（n1）个交点，故答案为： n（n1）16已知数列an当n2时满足=+，且a3a5a7=， +=9，Sn是数列的前n项和，则S4=7【考点】数列的求和【分析】数列an当n2时满足=+，可得数列是等差数列，设公差为d由+=9，可得=9，解得=3由a3a5a7=，可得=24，因此（32d）3（3+2d）=24，解出d，进而得出【解答】解：数列an当n2时满足=+，数列是等差数列，设公差为d+=9，=9，解得=3a3a5a7=，=24，（32d）3（3+2d）=24，解得d=d=时， =+（n
22、5）d=3+=S4=7d=时， =+（n5）d=3=（舍去，n=11时不存在）综上可得：S4=7故答案为：7三、解答题（共6小题，满分70分）17一个盒子中装有5张编号依次为1，2，3，4，5的卡片，这5张卡片除号码外完全相同，现进行有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一张卡片（1）求出所有可能结果数，并列出所有可能结果；（2）求条件“取出卡片的号码之和不小于7或小于5”的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（1）先求出基本事件总数n=55=25，再利用列举法列出所有可能结果（2）利用列举法求出“取出卡片的号码之和不小于7或小于5”包含的基本事件个数，由此能求出“取出卡片的
23、号码之和不小于7或小于5”的概率【解答】解：（1）盒子中装有5张编号依次为1，2，3，4，5的卡片，这5张卡片除号码外完全相同，现进行有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一张卡片，基本事件总数n=55=25，所有可能结果为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）（2）“取出卡片的号码之和不小于7或小于5”包含的基本事件有：（1，1），（1
24、，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，5），（3，1），（3，4），（3，5），（4，3），（4，4），（4，5），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共有m=16个，“取出卡片的号码之和不小于7或小于5”的概率p=18已知公差为0的等差数列an满足a1=1，且a1，a32，a9成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）记数列的前n项和为Sn，并求使得Sn+成立的最小正整数n【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（1）设数列an的公差为d，根据等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程，求出d的值，代入等差数列的通项公式求出an；（2）由（1）化简，利用裂项相
25、消法求出Sn，化简Sn+求出n的范围，即可求出最小正整数n【解答】解：（1）设数列an的公差为d，由a1，a32，a9成等比数列得，（2d1）2=1（1+8d），则d23d=0，解得d=3或d=0（舍去），所以an=1+（n1）d=3n2；（2）由（1）得， =（），则Sn= （1）+（）+（）=（）=，所以Sn+为+，化简得，n225n80，又n是正整数，解得n26，所以Sn=，使得Sn+成立的最小正整数n为2619在锐角ABC中， =（1）求角A；（2）若a=2，且sinB+cos（C+2B）取得最大值时，求ABC的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）利用余弦定理、诱导公式化简所给
26、的式子，求得sinA 的值，可得A的值（2）由（1）可得B+C=，故有C+2B=B，再利用两角和差的三角公式、正弦函数的值域求得sinB+cos（C+2B）取得最大值，此时，ABC为等边三角形，从而求得它的面积【解答】解：（1）锐角ABC中，=，=，sinA=，A=（2）由（1）可得B+C=，C+2B=B，sinB+cos（C+2B）=sinB+cos（B）=sinB+cosB=sin（B+），故当B+=时，即B=时，sinB+cos（C+2B）取得最大值，此时，A=B=C=，ABC为等边三角形，ABC的面积为bcsinA=22=20从吉安市某校高一的1000名学生随机抽取50名分析期中考试数
27、学成绩，被抽取学生成绩全部介于95分和135分之间，将抽取的成绩分成八组：第一组95，100，第二组100，105，第八组130，135，如图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分，已知前三组的人数成等差数列，第六组的人数为4人，第一组的人数是第七组、第八组人数之和（1）在图上补全频率分布直方图，并估计该校1000名学生中成绩在120分以上（含120分）的人数；（2）若从成绩属于第六组，第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的成绩分别为x，y，事件G=|xy|5|，求P（G）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【分析】（1）由题意得：第四组有10名，第五组有6名，
28、第七组有4名，第八组有2名，从而前三组共有24名，进而第一组有6名，第二组8名，第三组10名，由此作出频率分布直方图，估计该校1000名学生中成绩在120分以上（含120分）的人数（2）记第四组4名学生为a，b，c，d，第八组2名学生为E，F，由此利用列举法能求出事件G=|xy|5|的概率P（G）【解答】解：（1）由题意得：第四组有10名，第五组有6名，第七组有4名，第八组有2名，则前三组共有24名，前三组的人数成等差数列，第一组有6名，第二组8名，第三组10名，由此作出频率分布直方图，如右图由频率分布直方图得成绩在120分以上（含120分）的频率为：（0.016+0.016+0.008）5=
29、0.2，估计该校1000名学生中成绩在120分以上（含120分）的人数为：10000.2=200人（2）记第四组4名学生为a，b，c，d，第八组2名学生为E，F，所有学生中随机抽取两名学生有ab，ac，ad，aE，aF，bc，bd，bE，bF，cd，cE，cF，dE，dF，EF，共15种情况，而事件G含有ab，ac，ad，bc，bd，cd，EF共7种情况，事件G=|xy|5|的概率P（G）=21某集团公司为了获得更大的收益，决定以后每年投入一笔资金用于广告促销经过市场调查，每年投入广告费t百万元，可增加销售额约（2t+）百万元（t0）（1）若公司当年新增收益不少于1.5百万元，求每年投放广告费
30、至少多少百万元？（2）现公司准备投入6百万元分别用于当年广告费和新产品开发，经预测，每投入新产品开发费x百万元，可增加销售额约（+3x+）百万元，问如何分配这笔资金，使该公司获得新增收益最大？（新增收益=新增销售额投入）【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】（1）设投入t（t百万元）的广告费后增加的收益为f（t）（百万元），则有f（t）=（t2+5t）t=t2+4t=（t2）2+4（0t3），由二次函数法求得最大值（2）根据题意，投入新产品开发费x百万元（0x6），则用于当年广告费为（6x）（百万元），则获得新增收益为g（x）=+3x+2（6x）+6=+x+，利用基本不等式，即可得出结论
31、【解答】解：（1）设投入t（t百万元）的广告费后增加的收益为f（t）（百万元），则有f（t）=（t2+5t）t=t2+4t=（t2）2+4（0t3），所以当t=2百万元时，f（t）取得最大值4百万元即投入2百万元时的广告费时，该公司由此获得的收益最大（2）设投入新产品开发费x百万元（0x6），则用于当年广告费为（6x）（百万元），则获得新增收益为g（x）=+3x+2（6x）+6=+x+=+（8x）+ + =，当且仅当=8x，即x4时，g（x）有最大值即将4百万元用于新产品开发，2百万元用于广告费，该公司由此获得的收益最大22已知数列an的前n项和Sn=2n+1，（nN*）（1）求数列an的通项
32、an；（2）设bn=nan+1，求数列bn的前n项和Tn；（3）设cn=，求证：c1+c2+cn（nN*）【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式【分析】（1）当n2时利用an=SnSn1计算，进而可得通项公式；（2）通过（1）可知bn=n2n，进而利用错位相减法计算即得结论；（3）通过（1）可知数列cn的通项公式，分n=1与n2两种情况讨论即可，当n2时通过放缩cn=即得结论【解答】（1）解：当n=1时，a1=S1=3，当n2时，an=SnSn1=2n1，数列an的通项an=；（2）解：由（1）可知bn=nan+1=n2n，则Tn=121+222+323+n2n，2Tn=122+223+（n1）2n+n2n+1，两式相减，得：Tn=21+22+23+2nn2n+1=（1n）2n+12，Tn=2+（n1）2n+1；（3）证明：由（1）可知cn=，当n=1时，c1=，当n2时，c1+c2+cn=+=+=，综上所述，c1+c2+cn（nN*）2016年8月5日
