1、2.2.2第2章考点一考点二考点三把握热点考向应用创新演练理解教材新知22.2 函数的奇偶性22函数的简单性质提示：问题2：观察它们的图象有何对称性？问题3：填写下表表一x3210123f(x)x2f(x)|x|9 4 1 0 1 4 93 2 1 0 1 2 3表二问题4：从上面两个表格中，可以得出什么结论？提示：表一中：f(x)f(x)，表二中：f(x)f(x)奇函数偶函数定义一般地，设函数yf(x)的定义域为A，如果对任意的xA，都有，那么称函数yf(x)是奇函数一般地，设函数yf(x)的定义域为A，如果对任意的xA，都有，那么称函数yf(x)是偶函数图象特点奇函数的图象关于对称 偶函数
2、的图象关于对称奇偶性 如果函数是奇函数或偶函数，就说函数f(x)具有奇偶性f(x)f(x)f(x)f(x)原点y轴函数的奇偶性定义的理解(1)函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质(2)如果函数的定义域不关于原点对称，那么该函数就不具有奇偶性所以函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件 思路点拨 先确定函数的定义域，然后再严格按照函数奇偶性的定义来判断 一点通判断函数的奇偶性的步骤(1)看函数的定义域是否关于原点对称(若不对称则为非奇非偶函数)(2)判断f(x)与f(x)的
3、关系 (3)根据定义，写出结论若f(x)f(x)，则函数f(x)为奇函数若f(x)f(x)，则函数f(x)为偶函数若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)为非奇非偶函数解析：利用函数奇偶性的定义知，为偶函数，为非奇非偶函数，只有为奇函数答案：2(2011广东高考改编)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是_|f(x)|g(x)是奇函数|f(x)|g(x)是偶函数f(x)|g(x)|是奇函数f(x)|g(x)|是偶函数解析：设F(x)f(x)|g(x)|，由f(x)和g(x)分别是R上的
4、偶函数和奇函数，得F(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|F(x)，f(x)|g(x)|是偶函数，又可判断其他选项不恒成立答案：当x0，则f(x)(x)33(x)21x33x21(x33x21)f(x)由知，当x(，0)(0，)时，都有f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数 思路点拨设x0，则x0的解析式，然后用分段函数的形式写出f(x)例2已知f(x)是R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x(1x)，求f(x)一点通(1)利用函数的奇偶性求解函数的解析式，主要利用函数奇偶性的定义求解一般分以下三个步骤：设所求函数解析式中所给的区间上任一个x，即求哪个区间上的解析式，就设x在哪个区
5、间上把所求区间内的变量转化到已知区间内利用函数奇偶性的定义f(x)f(x)或f(x)f(x)求解所求区间内的解析式 (2)由奇函数的定义可知，奇函数f(x)在x0处有定义时，一定有f(0)0.(3)根据奇函数、偶函数图象的对称性，作出y轴一侧的图象，另一侧的图象可以由对称性得到4设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)_.答案：35(1)已知函数f(x)是奇函数，且x3a1,3a5，则a的值为_(2)已知函数f(x)x22mx1是偶函数，则m的值为_解析：(1)f(x)是定义域为3a1,3a5的奇函数，3a13a50.a1.(2)f(x)x22mx1是偶函数，f(
6、x)f(x)x22mx1x22mx1.m0.答案：(1)1(2)06如图，给出偶函数yf(x)的局部图象，试作出它的y轴右侧的图象，并比较f(1)与f(3)的大小解：偶函数yf(x)在y轴右侧图象上任一点P(x，f(x)关于y轴的对称点为P(x，f(x)，下图为补充完后的图象易知f(1)f(3)例3设定义在2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(m)f(m1)0，求实数m的取值范围思路点拨 首先由奇偶性把不等式转化为f(x1)f(x2)的形式，再利用单调性转化为x1，x2的大小关系注意函数的定义域 一点通解决有关奇偶性与单调性的综合问题，要注意利用奇偶性进行化简，奇函数在对称区间
7、上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，同时不能漏掉函数定义域对参数的影响7设f(x)是R上的偶函数，且在(，0)上为减函数，若x10，则f(x1)与f(x2)的大小关系为_解析：x1x20，x1x10.f(x)在(，0)上为减函数，f(x)在(0，)上是增函数，f(x2)f(x1)，又f(x)是R上的偶函数，f(x1)f(x1)故f(x2)f(x1)答案：f(x2)f(x1)8若函数yf(x)是奇函数，且yf(x)在a，b(a0)上是单调递增的，则yf(x)在b，a上的单调性如何？并证明你的结论解：yf(x)在b，a上也是单调递增的其证明过程如下：设bx1x2a，则bx1x2a.又yf(x)在a，b上单调递增，f(x1)f(x2)而yf(x)是奇函数，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x2)，f(x1)f(x2)，即f(x1)f(x2)故yf(x)在b，a上也是单调递增的 (2)图象法：奇(偶)函数的等价条件是它的图象关于原点(或y轴)对称(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数点此进入
