1、 题型八 几何探究题 高分帮 类型 1 与全等三角形有关的探究 1.(1)如图(1),在四边形 ABCD 中,ABCD,点 E 是 BC 的中点,若 AE 是BAD 的平分线,试判断 AB,AD,DC 之间的数量关系.解决此问题可以用如下方法:延长 AE 交 DC 的延长线于点 F,易证AEBFEC,得到 AB=FC,从而把AB,AD,DC 转化在一个三角形中,即可判断出 AB,AD,DC 之间的数量关系为 AD=AB+DC;(2)问题探究:如图(2),在四边形 ABCD 中,ABCD,点 F 为 DC 延长线上一点,连接 AF,点 E 是 BC 的中点,若 AE是BAF 的平分线,试探究 A
2、B,AF,CF 之间的数量关系,并证明你的结论.图(1)图(2)(1)AD=AB+DC 解法提示:AE 是BAD 的平分线,DAE=BAE.ABCD,F=BAE,DAE=F,AD=DF.点 E 是 BC 的中点,CE=BE.又F=BAE,AEB=CEF,CEFBEA,AB=CF.又DF=CF+DC.AD=AB+DC.(2)AB=AF+CF.证明:如图,延长 AE 交 DF 的延长线于点 G,AE 平分BAF,BAG=FAG.ABDC,BAG=G,FAG=G.FA=FG.点 E 是 BC 的中点,CE=BE.又AEB=GEC,AEBGEC,AB=GC.又CG=CF+FG,AB=AF+CF.2.如
3、图,线段 AB=8,射线 BGAB,P 为射线 BG 上一点,以 AP 为边作正方形 APCD,且点 C,D 与点 B 在 AP 两侧,连接 DP,在 DP 上取一点 E,使EAP=BAP,连接 CE 并延长交 AB 于点 F(点 F 与点 A,B 不重合).(1)求证:AEPCEP;(2)判断 CF 与 AB 的位置关系,并说明理由;(3)求AEF 的周长.(1)证明:四边形 APCD 为正方形,CP=AP,APD=CPD=45,又 PE=PE,AEPCEP.(2)CFAB.理由:AEPCEP,EAP=ECP.EAP=BAP,BAP=ECP.ECP+CMP=90,AMF=CMP,AMF+BA
4、P=90,AFM=90,CFAB.(3)如图,过点 C 作 CNPB,垂足为点 N,则四边形 BFCN 是矩形,CN=BF,BN=CF.易知CPN+APB=90,PAB+APB=90,CPN=PAB.又AP=CP,B=CNP=90,PCNAPB,CN=PB,PN=AB.AEPCEP,AE=CE,CAEF=AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF=PN+PB+AF=AB+CN+AF=AB+BF+AF=2AB=16.3.2021 合肥 38 中二模如图(1),在正方形 ABCD 中,E,F 分别为边 AB,BC 的中点,连接 AF,DE 交于点 G.(1)求证:AFDE;(2)如图(2),连
5、接 BG,求证:GB 平分EGF;(3)设ADG 的面积为 S,求证:BG2=2S.图(1)图(2)(1)证明:四边形 ABCD 是正方形,AD=AB=BC,DAE=ABF=90.E,F 分别为边 AB,BC 的中点,AE=BF,DAEABF,ADE=BAF.DAG+EAG=90,DAG+ADG=90,AGD=90,即 AFDE.(2)证明:如图,过点 B 作 BMAF,垂足为点 M,则 BMGE.AE=BE,AG=GM.设 BF=a,则 AB=2a,AF=a,BM=a,AM=a,GM=a=BM,BMG 为等腰直角三角形,BGM=45,BGE=90-45=45,BGM=BGE,GB 平分EGF
6、.(3)证明:ADG 的面积为 S,则 AGDG=2S.由 AFDE,GB 平分EGF,可得AGB=BGD=135.连接 BD,ABD=45,易证AGBBGD,=,BG2=AGDG,BG2=2S.4.2021 重庆 A 卷在ABC 中,AB=AC,点 D 是边 BC 上一动点,连接 AD,将 AD 绕点 A 逆时针旋转至 AE 的位置,使得DAE+BAC=180.(1)如图(1),当BAC=90时,连接 BE,交 AC 于点 F.若 BE 平分ABC,BD=2,求 AF 的长;(2)如图(2),连接 BE,取 BE 的中点 G,连接 AG.猜想 AG 与 CD 存在的数量关系,并证明你的猜想;
7、(3)如图(3),在(2)的条件下,连接 DG,CE,若BAC=1 0,当 BDCD,AEC=1 0时,请直接写出 -的值.图(1)图(2)图(3)(1)如图(1),连接 CE,过点 F 作 FQBC,垂足为点 H.图(1)BE 平分ABC,BAC=90,FA=FQ.AB=AC,BAC=90,ABC=ACB=45,FQ=CF.BAC+DAE=180,BAC=90,DAE=90,BAD=CAE.在ABD 和ACE 中,ABDACE,CE=BD=,ACE=ABD=45,BCE=90.BE 平分ABC,ABF=CBF,AFB=BEC.又AFB=EFC,BEC=EFC,CF=CE=2,AF=FQ=CF
8、=.(2)AG=1 CD.证明:如图(2),延长 BA 至点 M,使 AM=AB,连接 EM.图(2)G 是 BE 的中点,AG=1 ME.BAC+DAE=180,BAC+CAM=180,DAE=CAM,DAC=EAM.AB=AC,AM=AC.在ADC 和AEM 中,ADCAEM,CD=ME,AG=1 CD.(3)-=.解法提示:如图(3),延长 BA 至点 P,使得 AP=AB,连接 CP,EP,DE.图(3)BAC=120,DAE+BAC=180,DAE=60,ADE 是等边三角形.AC=AB=AP,CAP=180-BAC=60,ACP 是等边三角形.由(2)可知,ACDAPE,APE=A
9、CD=30,PE 平分APC,PE 垂直平分线段 AC,AE=CE,EAC=ECA=180-=15,CAD=DAE-EAC=60-15=45,ADB=CAD+ACD=75,BAD=75,BA=BD.又 AE=DE,BE 垂直平分 AD,AG=DG.设 BE 与 AC 交于点 H,连接 DH,则 AH=DH,AHD 是等腰直角三角形.由(2)知 AG=1 CD.又 DH=1 CD,AH=DH=AG=DG.又AHD=90,四边形 AGDH 是正方形.设 AG=a,则 CD=2a,AH=DH=a,CH=a,BD=BA=AC=AH+HC=(1+)a.易证CDE 是等腰直角三角形,CE=CD=a,-=1
10、 -=.5.如图,在正六边形 ABCDEF 中,点 O 是中心,点 M,N 分别是 AB,CD 上的点,且 AM=CN,连接 OM,ON.(1)如图(1),求证:OM=ON.(2)如图(2),点 G 是 BC 上一点,且 BG=AM.连接 MG,NG,求证:四边形 OMGN 是菱形;图(1)图(2)图(3)如图(3),点 P,Q 分别是 OM,ON 的中点,连接 PQ,PG,GQ,判断PGQ 的形状并说明理由.(1)证明:如图(1),连接 OA,OC,易知 OA=OC,OAM=OCN=60.图(1)又AM=CN,AOMCON,OM=ON.(2)证明:如图(2),连接 OB,OC,OG,易知 O
11、B=OC,BOC=60,OBG=OCN=60.图(2)又BG=AM=CN,BOGCON,OG=ON,BOG=CON,GON=CON+COG=BOG+COG=BOC=60,GON 是等边三角形.同理易得MOG 是等边三角形,GM=OM=ON=GN,四边形 OMGN 是菱形.PGQ 是等边三角形.理由如下:如图(3),连接 MG,NG,OG,由可知OMG 和ONG 都是等边三角形.图(3)点 P,Q 分别是 OM,ON 的中点,PG=QG,OGP=OGQ=30,PGQ=OGP+OGQ=30+30=60,PGQ 是等边三角形.类型 2 与相似三角形有关的探究 6.2020 淮北一模(1)如图(1),
12、在 RtABC 中,C=90,AC=BC,AP,BP 分别平分CAB,CBA,过点 P 作DEAB 交 AC 于点 D,交 BC 于点 E.求证:点 P 是线段 DE 的中点;求证:BP2=BEBA.(2)如图(2),在 RtABC 中,C=90,AB=13,BC=12,BP 平分ABC,过点 P 作 DEAB 交 AC 于点 D,交 BC 于点 E,若点 P 为线段 DE 的中点,求 AD 的长度.图(1)图(2)(1)证明:BP 平分ABC,ABP=CBP.DEAB,ABP=EPB,CBP=EPB,BE=PE.同理可得 DP=DA.DEAB,=.又CA=CB,CE=CD,BE=AD,PE=
13、PD,点 P 是线段 DE 的中点.由得ABP=EBP=EPB=1 CBA.AP 平分CAB,PAB=1 CAB.CA=CB,CBA=CAB,ABP=EBP=EPB=PAB,ABPPBE,=,BP2=BEBA.(2)过点 P 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,交 AB 于点 G,如图.在 RtACB 中,AC=1 -1 =5.FGAC,PDAG,PFE=C=90,四边形 AGPD 是平行四边形,PG=AD.PE=PD,PFCD,PF 是ECD 的中位线,EF=FC,PF=1 CD.由(1)可知 BE=EP.设 AD=PG=x,则 CD=5-x,PF=1(5-x).DEAB,=,=1,CE
14、=1 CD=1 (5-x),EF=(5-x),EP=BE=BC-CE=1 x.在 RtEFP 中,sinEPF=-1 =-.又EPF=EDC,sinEDC=sinBAC=1 1,-=1 1,x=,AD=.7.2021 合肥 42 中三模如图,在 RtABC 中,BAC=90,ADBC,AE=AC,连接 EC 交 AD 于点 F,点 H 是 BA 延长线上一点,连接 HF 交 AC 于点 G,且B=H.(1)求证:AEFGCF;(2)若点 G 是 AC 的中点,求证:HF=2AF;(3)在(2)的条件下,求 sinDFC 的值.(1)证明:ADBC,ADB=90,BAD+B=90.又H+AGH=
15、90,B=H,BAD=AGH.又AGH=FGC,BAD=FGC.AE=AC,AEC=ACE,AEFGCF.(2)证明:点 G 是 AC 的中点,AE=AC,AE=2GC.由(1)得AEFGCF,=2.BAC=90,BAD+CAD=90.又BAD+B=90,CAD=B=H.又AFG=HFA,AFGHFA,=2,HF=2AF.(3)易知AEC=ACE=45.如图,连接 HC.由(2)得AFGHFA,=2,AH=2AG.又AE=AC=2AG,AH=AE.又BAC=90,AC 垂直平分 EH,CE=CH,ECH=ACE=90.AEFGCF,=,GFC=AFE=CFD.设 FC=a,则 EF=2a,HC
16、=EC=EF+FC=3a,在 RtCHF 中,HF=10a,sinDFC=sinHFC=10=1010.8.如图,在菱形 ABCD 中,点 E 在射线 BC 上,点 F 在线段 AC 上,连接 DF,DE,EDF=BAC,射线 DE 与射线 AC 交于点 P.(1)如图(1),当点 E 在线段 BC 上时,求证:FDPFCD;(2)如图(2),点 E 在线段 BC 上,连接 EF,当 EFAB 时,求证:CD2=CPCA;(3)如图(3),点 E 在线段 BC 的延长线上,当 AB=2,sinBAC=,DF=3 时,求线段 EC 的长.图(1)图(2)图(3)(1)证明:四边形 ABCD 是菱
17、形,ABCD,BAC=DCF.EDF=BAC,EDF=DCF.又DFP=CFD,FDPFCD.(2)证明:四边形 ABCD 是菱形,AB=BC,BAC=DAC,EDF=BAC=BCA.又FPD=EPC,FPDEPC,=,=.又FPE=DPC,FPEDPC,PDC=EFC.EFAB,EFC=BAC=DAC,PDC=DAC.又DCP=ACD,DCPACD,=,CD2=CPCA.(3)如图,连接 DB 交 AC 于点 O.四边形 ABCD 是菱形,DOC=90.CD=AD=AB=2,sinBAC=,DO=OB=ABsinBAC=2 =2.由勾股定理可得 AO=CO=2.在 RtDOF 中,DF=3,
18、OF=-=-=,FC=OC-OF=2-=.易得FDPFCD,=,FD2=FCFP,即 32=FP,解得 PF=9 ,CP=PF-FC=9 -=,AP=AC+CP=4+=.易得PCEPAD,=,即 =,解得 CE=.9.2021 合肥瑶海区三模如图(1),四边形 ABCD 是正方形,AB=2,AC 是其对角线;DEF 是等腰直角三角形,DEF=90.若 DF,DE 与 AC 分别交于点 M,N,且分别与 AB,BC 交于点 G,H,连接 MH.(1)当ADM=CDN 时,求证:AM=CN;(2)证明:DMH 是等腰直角三角形;(3)如图(2),若 DF,DE 分别交直线 AC 于点 M,N,DF
19、 分别交 AB 的延长线、BC 于点 G,P,若点 P 是 BC 的中点,求NG 的长.图(1)图(2)(1)证明:四边形 ABCD 是正方形,AD=CD,DAM=DCN=45.又ADM=CDN,ADMCDN,AM=CN.(2)证明:如图(1),连接 BD,则ADB=45,图(1)ADB-BDM=EDF-BDM,ADM=BDH.四边形 ABCD 是正方形,DAM=DBH=45,ADMBDH,=.在 RtDEF 中,易知 =,=,即 =.又MDH=EDF=45,DMHDEF,DMH 是等腰直角三角形.(3)如图(2),连接 BD,则BDC-CDM=EDF-CDM,即BDG=CDN.图(2)ACD
20、=ABD=45,DCN=DBG=135,BDGCDN,=,易得 NGEF,DNG 是等腰直角三角形.由题意易知 =,即1=,BG=2,AG=4,DG=2,NG=DG=10.10.2021 安庆四中二模如图(1),已知MAN=90,AP 平分MAN,点 B 是边 AM 上一点,AB=4,BGAP 于点 C,交 AN 于点 G,CDAN 于点 D,连接 BD 交 AP 于点 O,AFBD 于点 E,交 DC 于点 F,连接 CE.(1)求证:BEC=BAC;(2)请判断 CF 与 DF 的数量关系,并给出证明;(3)若MAN90,如图(2),试证明 CF=DF.图(1)图(2)(1)方法一:证明:
21、BCAP,AEBD,BCO=AEO=90.又AOE=BOC,OAEOBC,=,=.又AOB=EOC,OABOEC,BEC=BAC.方法二:证明:如图(1),取 AB 的中点 H,连接 HC,HE.图(1)BCAP,AEBD,ACB=AEB=90,HC=HE=1 AB=HA=HB,即 A,B,C,E 四点在以点 H 为圆心,AB 为直径的圆上,BEC=BAC.(2)CF=DF.证明:AP 平分MAN,MAN=90,CAB=DAC=45.BCAP,CDAN,ACB=ADC=90,AC=BC=AB=2,CD=AD=AC=2.AEBD,BAD=90,DAF+ADE=90,ABD+ADB=90,DAF=
22、ABD.又ADF=BAD=90,ABDDAF,=,即 =,DF=1,CF=CD-DF=1,CF=DF.(3)证明:对于题图(2),取 BD 的中点 Q,连接 CQ 和 FQ,如图(2).图(2)AP 平分MAN,BCAP,CAB=DAC,BC=CG.又BQ=DQ,CQ 是BDG 的中位线,CQGD.又CDAN,DCQ=CDG=90.AEBD,FEQ=90=DCQ,点 C,F,E,Q 到 FQ 的中点的距离相等,点 C,F,E,Q 在以 FQ 为直径的圆上,CFQ=CEQ.由(1)得CEQ=CAB,CFQ=CEQ=CAB=CAD.GCA=90,GDC=90,CGA+CAD=90,CGA+DCG=
23、90,CAD=DCG,CFQ=DCG,FQBG,=1,CF=DF.类型 3 与全等、相似三角形有关的探究 11.在 RtABC 中,AC=BC,ACB=90,D 是 AB 的中点,EDF=45,EDF 绕顶点 D 旋转,角的两边分别与AC,BC 的延长线相交于点 E,F,DF 交 AC 于点 M,DE 交 BC 于点 N.(1)如图(1),若 CE=CF,求证:DE=DF;(2)如图(2),在EDF 绕点 D 旋转的过程中,求证:CD2=CECF;(3)若 CD=2,CF=,求 DN 的长.图(1)图(2)(1)证明:ACB=90,AC=BC,AD=BD,BCD=ACD=45,BCE=ACF=
24、90,DCE=DCF=135.在DCE 与DCF 中,DCEDCF,DE=DF.(2)证明:DCF=135,CDF+F=180-135=45.又CDF+CDE=45,F=CDE,又DCF=DCE=135,CDFCED,=,CD2=CECF.(3)过点 D 作 DGBC 于点 G,如图.DCB=45,GC=GD=CD=,由(2)可知,CD2=CECF,CE=2.ECN=DGN,ENC=DNG,ENCDNG,=,即-=,NG=,则 DN=.12.2021 福建如图,在正方形 ABCD 中,E,F 为边 AB 上的两个三等分点,点 A 关于 DE 的对称点为 A,AA的延长线交 BC 于点 G.(1
25、)求证:DEAF;(2)求GAB 的大小;(3)求证:AC=2AB.(1)证明:如图,设 DE 与 AA相交于点 T.点 A 与点 A关于 DE 对称,DE 垂直平分 AA,即 DEAA,AT=TA.E,F 为边 AB 上的两个三等分点,AE=EF,ET 是AAF 的中位线,ETAF,即 DEAF.(2)如图,连接 FG,四边形 ABCD 是正方形,AD=AB,DAB=ABG=90,DAT+BAG=90.DEAA,DTA=90,ADT+DAT=90,ADT=BAG,DAEABG,AE=BG.又 AE=EF=FB,FB=BG,FBG 是等腰直角三角形,GFB=45.DEAF,AFAA,FAG=9
26、0.取 FG 的中点 O,连接 OA,OB,在 RtAFG 和 RtBFG 中,OA=OF=OG=1 FG,OB=OF=OG=1 FG,OA=OF=OG=OB,点 A,F,B,G 都在以 FG 为直径的O 上,GAB=GFB=45.(3)证明:设 AB=3a,则 AD=BC=3a,AF=2a,AE=BF=a.由(2)得 BG=AE=a.在 RtABG 中,tanBAG=1,即 tanAAF=1,=1.设 AF=k,则 AA=3k,在 RtAAF 中,由勾股定理,得 AF=10k,10k=2a,k=10 ,AF=10 ,AA=3k=10 .在 RtABG 中,由勾股定理,得 AG=10a,AG=
27、AG-AA=10a-10 =10 ,=10 10 =1.CG=BC-GB=2a,=1,=1.由(2)知,AFB+AGB=180.AGC+AGB=180,AFB=AGC,AFBAGC,=1,AC=2AB.13.2021 合肥蜀山区一模如图,ABC 与ACD 均为等边三角形,点 E,F 分别在 AB,BC 边上,且 AE=BF,连接AF,CE 交于点 G,连接 DG 并延长交 AB 于点 H.(1)求AGE 的度数;(2)求证:GD=GA+GC;(3)若 H 为 BE 的中点,求 的值.(1)ABC 是等边三角形,CA=AB,CAE=B=60.在CAE 和ABF 中,CAEABF,ACE=BAF,
28、AGE=ACE+CAG=BAF+CAG=60.(2)证明:如图,延长 CE 至点 M,使 GM=GA.由(1)知AGE=60,AGM 为等边三角形,AM=GA,GAM=60,CAG=MAE.ACD 为等边三角形,DAC=60,DA=CA,DAC+CAG=CAE+MAE,即DAG=CAM.在DAG 和CAM 中,DAGCAM,GD=MC.又MC=GM+GC=GA+GC,GD=GA+GC.(3)由(2)易得DGA=60,EGH=180-DGA-AGE=60=B.又GEH=BEC,EGHEBC,=,即 EGEC=EBEH.EAG=ECA,AEG=CEA,EAGECA,=,即 EA2=EGEC,EA2
29、=EBEH.H 为 BE 的中点,EH=1 EB,EA2=EBEH=1 EB2,=.14.2021 合肥瑶海区二模如图(1),在 RtABC 中,ACB=90,AC=BC,点 D 是 BC 的中点,连接 AD,点 E 是 AD上一点,连接 BE 并延长交 AC 于点 F.(1)若点 F 是 AC 的中点,求证:ABE=BAE.(2)如图(2),若DBE=DEB.求证:AE=CF;猜想 的值并写出计算过程.图(1)图(2)(1)证明:AC=BC,ACB=90,CAB=CBA=45.点 D 是 BC 的中点,点 F 是 AC 的中点,BD=1 BC,AF=1 AC,BD=AF.又 AB=AB,AB
30、FBAD,ABE=BAE.(2)证明:如图,连接 CE,过点 A 作 AGAC 交 CE 的延长线于点 G.DBE=DEB,DE=DB.又 CD=BD,点 E 在以点 D 为圆心,BC 为直径的圆上,BEC=90,CBF+BCE=90.ACB=90,ACG+BCE=90,ACG=CBF.又GAC=FCB=90,AC=BC,ACGCBF,AG=CF.GAC+ACB=180,GABC,CDEGAE,=.DC=DE,AG=AE,AE=CF.猜想:=-1.由知DBE=ACE.又DBE=DEB=AEF,AEF=ACE.又EAF=CAE,AEFACE,=.又AE=CF,=.不妨设 AF=m,CF=1,则
31、1=11 ,整理得 m2+m-1=0,可得 m=-1(不合题意的值已舍去),=-1.15.2021 浙江宁波【证明体验】(1)如图(1),AD 为ABC 的角平分线,ADC=60,点 E 在 AB 上,AE=AC.求证:DE 平分ADB.【思考探究】(2)如图(2),在(1)的条件下,F 为 AB 上一点,连接 FC 交 AD 于点 G.若 FB=FC,DG=2,CD=3,求 BD 的长.【拓展延伸】(3)如图(3),在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分BAD,BCA=DCA,点 E 在 AC 上,EDC=ABC.若BC=5,CD=2,AD=2AE,求 AC 的长.(1)证明:AD 平分
32、BAC,EAD=CAD.又AE=AC,AD=AD,EADCAD,ADE=ADC=60,EDB=180-ADE-ADC=60,BDE=ADE,即 DE 平分ADB.(2)FB=FC,EBD=GCD.又BDE=GDC=60,EBDGCD,=.EADCAD,DE=DC=3.又 DG=2,BD=9.(3)如图,在 AB 上取一点 F,使得 AF=AD,连接 CF.AC 平分BAD,FAC=DAC.又AC=AC,AFCADC,CF=CD,ACF=ACD,AFC=ADC.ACF+BCF=ACB=ACD,DCE=BCF.又EDC=FBC,DCEBCF,=,CED=CFB.BC=5,CF=CD=2,CE=4.
33、AED=180-CED=180-BFC=AFC=ADC,EAD=DAC,EADDAC,=1,AC=4AE,AC=CE=1 .16.2021 淮北烈山区一模在ABC 中,AB=AC,点 D 在 AC 边上,ADEABC,连接 BD,CE.(1)如图(1),B,D,E 三点在同一条直线上.若 AD=2,BC=3,求 AB 的长;求证:CE2=ABCD.(2)如图(2),若BAC=60,D,M,N 分别是 AC,BD,CE 的中点,求 的值.图(1)图(2)(1)ADEABC,ACB=AED.又BDC=ADE,ADEBDC,BDCABC,=.设 AB=AC=x,则 CD=AC-AD=x-2,-=,x
34、=1+10(负值已舍去),AB=1+10.证明:ADEABC,DAE=BAC,=.AB=AC,AD=AE,ABDACE,CE=BD,ABD=ECD.又ADB=CDE,ABDECD,=,CE2=ABCD.(2)如图,连接 AN.AB=AC,BAC=60,ABC 是等边三角形,AC=BC.点 D 是 AC 的中点,AC=2AD,BDAC,ADB=90.由(1)知,ABDACE,ABM=ACN,BD=CE.M,N 分别是 BD,CE 的中点,BM=1 BD,CN=1 CE,BM=CN.又AB=AC,ABM=ACN,ABMACN,AM=AN,BAM=CAN,MAN=BAC=60,AMN 是等边三角形,
35、MN=AM.设 AD=a,则 AC=AB=BC=2a,CE=BD=a,DM=1 BD=a,AM=a,MN=a,=.17.2021 辽宁大连如图,已知 AB=BD,AE=EF,ABD=AEF.(1)找出与DBF 相等的角并证明;(2)求证:BFD=AFB;(3)AF=kDF,EDF+MDF=180,求 的值.1 BAE=DBF.证明:DBF+ABF=ABD,ABD=AEF,DBF+ABF=AEF.又AEF=BAE+ABF,BAE=DBF.(2)证明:如图(1),连接 AD 交 BF 于点 G.图(1)AB=BD,AE=EF,BAD=BDA,=.又ABD=AEF,ABDAEF,BDG=AFB.又B
36、GD=AGF,BGDAGF,=,=.又AGB=FGD,AGBFGD,BAD=BFD.又BAD=BDG=AFB,BFD=AFB.(3)如图(2),作点 D 关于直线 BF 的对称点 D,则点 D在 AC 上,且 DF=DF.图(2)连接 MD,DD,过点 E 作 EHMD交 AC 于点 H,则 BF 垂直平分 DD,EHF=MDF,DM=DM.又MF=MF,DMFDMF,EHF=MDF=MDF.又EDF+MDF=180,EHA+EHF=180,EDF=EHA.又EFD=AFB=EAH,EF=AE,EFDEAH,DF=AH.=,DF=DF,=-=-=-1.AF=kDF,=k,=k-1.18.202
37、0 四川成都在矩形 ABCD 的 CD 边上取一点 E,将BCE 沿 BE 翻折,使点 C 恰好落在 AD 边上点 F 处.(1)如图(1),若 BC=2BA,求CBE 的度数;(2)如图(2),当 AB=5,且 AFFD=10 时,求 BC 的长;(3)如图(3),延长 EF,与ABF 的平分线交于点 M,BM 交 AD 于点 N,当 NF=AN+FD 时,求 的值.图(1)图(2)图(3)解:(1)由折叠的性质得 BC=BF,EBF=EBC.BC=2BA,BF=BC=2BA,sinAFB=1,AFB=30.四边形 ABCD 是矩形,ADBC,CBF=AFB=30,CBE=1 CBF=15.
38、(2)由题意可知BFE=C=90.AFB+DFE=90=DEF+DFE,AFB=DEF.又BAF=FDE=90,ABFDFE,=,ABDE=AFDF,即 5DE=10,DE=2,EF=CE=5-2=3.在 RtDEF 中,DF=-=-=,AF=10=2,BC=AD=AF+DF=3.(3)如图,过点 N 作 NGBF 于点 G.NF=AN+FD,FN=1 AD=1 BC=1 BF.BM 平分ABF,BAN=BGN=90,AN=GN.BAF=NGF=90,AFB=GFN,ABFGNF,=1,即 AB=2NG=2AN.设 AN=a,则 AB=2a.设 BC=BF=2b,则 NF=b,AF=a+b.在
39、 RtABF 中,由 AB2+AF2=BF2,得 4a2+(a+b)2=4b2,整理,得 5a2+2ab-3b2=0,解得 a=b 或 a=-b(舍去),=.19.2021 合肥包河区三模在正方形 ABCD 中,点 E 是对角线 AC 上一点,连接 BE 并延长交 AD 于点 M,过点 E 作EFBC,交 CD 于点 F,过点 F 作 FGBM,垂足为点 H,交 AD 于点 G,连接 EG,BF,CH.(1)如图(1),若点 E 为 AC 的中点,有 EF=kHF,则 k=.(2)如图(2),若 EF=HF,求 的值;(3)求证:GEEF.图(1)图(2)(1)(2)如图,延长 FE 交 AB
40、 于点 N.易得四边形 ANFD,BNFC 为矩形,BN=CF.在 RtEFC 中,ECF=45,EF=CF,BN=EF.BNE=FHE=90,NEB=HEF,NBE=HFE,cosNBE=cosHFE,=,=.HEF+HFE=90,GFD+HFE=90,HEF=GFD.BEF=180-HEF,CFH=180-GFD,BEF=CFH,HFCFEB,=.(3)证明:由(2)可知,NEB=HEF=GFD,ANE 为等腰直角三角形,AN=NE.在矩形 ANFD 中,AN=DF,NE=DF.在NEB 和DFG 中,90,NEBDFG,DG=BN=CF=EF,又EFDG,D=90,四边形 DFEG 为矩
41、形,GEEF.20.2021 湖北宜昌如图,在矩形 ABCD 中,E 是边 AB 上一点,BE=BC,EFCD,垂足为 F.将四边形 CBEF 绕点 C 顺时针旋转 090,得到四边形 CBEF.BE所在的直线分别交直线 BC 于点 G,交直线 AD 于点 P,交CD 于点 K.EF所在的直线分别交直线 BC 于点 H,交直线 AD 于点 Q,连接 BF交 CD 于点 O.(1)如图(1),求证:四边形 BEFC 是正方形.(2)如图(2),当点 Q 和点 D 重合时.求证:GC=DC;若 OK=1,CO=2,求线段 GP 的长.(3)如图(3),若 BMFB交 GP 于点 M,tanG=1,
42、求 的值.图(1)图(2)图(3)(1)证明:四边形 ABCD 是矩形,B=BCD=90.EFCD,EFC=90,四边形 BEFC 是矩形.又BE=BC,矩形 BEFC 是正方形.(2)证明:GEH=DCH=90,KGC+H=90,CDF+H=90,KGC=CDF,又BC=CF,GBC=CFD=90,CGBCDF,CG=CD.设正方形 CBEF的边长为 a.BECF,BKOFCO,=1,BK=1 FC=1 a.在 RtBKC 中,BK2+BC2=CK2,(1 a)2+a2=32,a=.KECF,DKEDCF,=-1 =1,DE=EF=a,DK=CK.KDE+PDE=90,KDE+DKE=90,
43、PDE=DKE.又KED=DEP=90,DKEPDE,=,DE2=KEPE,a2=1 aPE,PE=2a,PK=a.ADBC,P=G.又DK=CK,DKP=CKG,PKDGKC,GP=2PK=5a=6.(3)方法一:如图(1),延长 BF与 BH 的延长线交于点 R.图(1)CFGP,RBBM,CRFGRB,GBMGRB,G=FCR,GBMCRF,tanG=tanFCH,=1.设 FH=x,CF=2x,则 CH=x,CB=CF=EF=BE=BC=2x.CBHE,RBCRFH,=1,CH=RH,BF=RF,CR=2CH=2 x,SCFR=2SCFH=2x2.CBHE,GBCGEH,=,=,GB=
44、2(-1)x.GBMCRF,=()2=-1 2=-,=1-.方法二:如图(2),过点 B 作 BNPG,垂足为点 N.图(2)CFGP,G=FCH,又GNB=CFH=90,GBNCHF,=()2.CFGP,FCH=G,tanFCH=tanG=1,=1.设 FH=x,则 CB=BE=EF=BC=CF=2x,GB=4x,CH=x,CG=2 x,GB=2(-1)x,=()2=-1 2=-.SCFH=1 CFFH=x2,SGBN=-x2.CBBN,GBNGCB,=-1 =-.BMBF,BMG=GBF=135,NMB=45=FBC.又MNB=BCF=90,MBNBFC,=()2=(-)2=-,SMBN=
45、-SBFC=-x2,SMBG=SNBG-SMBN=-x2-x2=-x2,=1-.方法三:如图(3),设 AB 与 PG 交于 N 点.图(3)CFGP,FCH=G.BMBF,GMB=GBF=135,NMB=45=BFC.G+MNB=90,FCH+OCF=90,MNB=OCF,MBNFOC,=()2.tanFCH=tanG=1,=1.设 FH=x,则 CB=BE=EF=BC=CF=2x,GB=4x,CH=x,CG=2 x,GB=2(-1)x,BN=(-1)x.易知BCK=FCH,又KBC=CFH=90,BC=FC,KBCHFC,BK=FH=x,CK=CH=x.BECF,BKOFCO,=1,CO=CK=x,=()2=9 -0.易得 SFOC=1 2x 2x=x2,SBMN=9 -0 x2=-x2.SGBN=1 BGBN=(-1)2x2=(6-2)x2,SGBM=SGBN-SNBM=(6-2)x2-x2=-x2.又SCFH=1 CFFH=x2,=1-.
