1、第一节 抽样方法、线性回归方程 变量的相关性 抽样方法 C B A要求内容高考指数:抽签法随机数表法【即时应用】判断下列命题的正误(请在括号中填写“”或“”)简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的.()简单随机样本数n小于样本总体的个数N.()简单随机样本是从总体中逐个抽取的.()简单随机抽样是一种不放回的抽样.()简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为.()【解析】简单随机抽样的总体个数较少时才能适用，当然是有限的，正确；正确；由简单随机抽样的定义知正确；简单随机抽样的个体被抽出后是不放回的，正确；简单随机抽样的每个个体入样的可能性是相等的，均为，故正确.答案：编号剔除一些个体k
2、l+kl+2k l+(n-1)k 简单随机抽样【即时应用】判断下列抽样方法是否是系统抽样.(请在括号中填写“是”或“否”)从标有115号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到大号排序，随机确定起点i,以后为i+5,i+10(超过15则从1再数起)号入样.()工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验.()某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止.()电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈.()【解析】系统抽样也叫等距抽样，由其定义可知，是系统抽样，不是系统抽样.答
3、案：是 是 否 是定义：将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分,然后按各部分在总体中所占的比实施抽样,这种抽样方法叫分层抽样.范围：当总体由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.3.分层抽样【即时应用】(1)某校有在校高中生共1 600人，其中高一学生520人，高二学生500人，高三学生580人如果想通过抽查其中的80人，来调查学生的消费情况，考虑到学生的年级高低消费情况有明显差别，而同一年级内消费情况差异较小，应当采用的抽样方法是，高三学生中应抽查人.(2)某单位共有老、中、青年职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工身体状况，现采
4、用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为.【解析】(1)因为不同年级的学生消费情况有明显的差别，所以应采用分层抽样由于520500580262529，于是将80按262529分成三部分，设三部分各抽个体数分别为26x，25x，29x由：26x+25x+29x=80得x=1，故高三年级中应抽查29129人.(2)由已知得中年职工人数和老年职工人数共为430-160270(人).中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工人数为180，老年职工人数为90，则样本中的老年职工人数为90=18.答案:(1)分层抽样29 (2)184.变量的相关性(1)实际问题
5、中，变量之间的关系函数关系变量之间的关系可以用函数表示.相关关系变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达.(2)线性相关关系能用直线方程近似表示的相关关系叫做线性相关关系.(3)线性回归方程最小平方法直线与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和Q(a,b)，可以用来衡量直线与散点图中点的接近程度，设法取a,b的值，使Q(a,b)达到最小值的方法叫做最小平方法，又称最小二乘法.线性回归方程方程是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)的线性回归方程，其中a,b是待定参数.【即时应用】(1)思考：相关关系与函数关系有什么异同点？提示:相同点：两者
6、均是指两个变量的关系.不同点：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.(2)判断下列各关系是否是相关关系.(请在括号内填“是”或“否”)路程与时间、速度的关系；()加速度与力的关系；()产品成本与产量的关系；()圆周长与圆面积的关系；()广告费支出与销售额的关系.()【解析】是确定的函数关系，成本与产量，广告费支出与销售额是相关关系.答案：否 否 是 否 是(3)由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)得到线性回归方程，判断下面说法是否正确.(请在括号内打“”或“”)任何一组观测值都能得到具
7、有代表意义的线性回归方程；()直线bxa至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中的一个点；()直线的斜率；()直线和各点(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的偏差是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的.()【解析】任何一组观测值都能利用公式得到直线方程，但这个方程可能无意义，不正确；线性回归方程经过样本点的中心，可能不经过(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中的任何一点，这些点分布在这条直线附近，不正确；正确；正确答案：(4)已知线性回归方程，则可估计x与y的增长速度之比约为.【解析】x与y的增长速度之比即约为线性回归方程的斜率的倒数答案：【方法点睛
8、】1.抽签法的步骤第一步，将总体中的N个个体编号；第二步，将这N个号码写在形状、大小相同的号签上；第三步，将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；第四步，从箱中每次抽取1个号签，连续抽取k次；第五步，将总体中与抽到的号签的编号一致的k个个体取出.简单随机抽样2.随机数表法的步骤(1)将个体编号；(2)在随机数表中任选一个数作为开始；(3)从选定的数开始，按照一定抽样规则在随机数表中选取数字，取足满足要求的数字就得到样本的号码【例1】某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？【解题指南】本题可以利用抽签法或随机数表法抽取样
9、本.【规范解答】方法一：抽签法：将100件轴编号为1，2，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，然后测量这10个号签对应的轴的直径.方法二：随机数表法：将100件轴编号为00，01，99，在随机数表中选定一个起始位置，如从第21行第1个数开始，选取10个为68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，这10件即为所要抽取的样本.【反思感悟】解答本题的关键是熟练掌握简单随机抽样的两种方法的步骤，对抽签法要注意搅拌均匀，随机数表法读数时可以向四个方向中的任一方向去读.【方法点睛】系统抽样的特点(1)元素个数
10、多且均衡的总体(2)各个个体被抽到的机会均等(3)起始用简单随机抽样(4)(不整除剔除余数)【提醒】系统抽样的最大特点是“等距”，利用此特点可以很方便地判断一种抽样方法是否是系统抽样.系统抽样【例2】某单位在职职工共624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定抽取10%的工人进行调查，试采用系统抽样方法抽取所需的样本.【解题指南】由题意应抽取62人，624不是10的整数倍，需先剔除4人，再利用系统抽样完成抽样.【规范解答】第一步：将624名职工用随机方式进行编号；第二步：从总体中用随机数表法剔除4人，将剩下的620名职工重新编号(分别为000，001，002，619)，并分成62段；第三步：
11、在第一段000,001,002,009这十个编号中用简单随机抽样确定起始号码l；第四步：将编号为l,l+10,l+20,l+610的个体抽出，组成样本.【反思感悟】系统抽样中的“剔除”本题中为保证等距抽样，需要先等可能地剔除4人，这是系统抽样中经常遇到的问题.【方法点睛】分层抽样的步骤第一步，将总体按一定标准分层；第二步，计算各层的个体数与总体数的比，按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的样本容量；第三步，在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样).分层抽样【例3】(1)(2011天津高考)一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为2
12、1的样本，则抽取男运动员的人数为.(2)某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人.教育部门为了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，并简述抽样过程.【解题指南】(1)入样的男运动员占样本的比例与男运动员占全体运动员的比例相同，可以列出方程求解；(2)由于总体是由差异明显的几部分组成的，所以采用分层抽样.【规范解答】(1)设抽取男运动员的人数为n，则，解之得n=12.答案：12(2)因机构改革关系到各种人的利益，故用分层抽样法比较妥当.因为，所以可在各层人员中按81的比例抽取，又，所以行政人员、教师、后勤人员分别应抽取2人，1
13、4人，4 人，显然每个人被抽取的概率都是.因行政人员和后勤人员比较少，所以他们分别按116编号和132编号，然后采取抽签法分别抽取2人和4人，而教师较多，所以对112名教师采用000,001，111编号，然后用随机数表法抽取14人，这样就得到了一个容量为20的样本.【反思感悟】1.分层抽样就是“按比例抽样”，确定出每一层的个体占总体的比例，也就确定了样本中该层所占的比例.利用这两个比例相等，可以列出方程进行求解.同系统抽样一样，有时为了分层抽样的实施，也会先剔除若干个体.2.三种抽样方法的共同点、各自特点、相互联系与适用范围：类别共同点各自特点相互联系适用条件简单随机抽样系统抽样分层抽样抽样过
14、程中每个个体被抽到的概率相等从总体中逐个抽取将总体均分成几个部分,按事先确定的规则在各部分抽取将总体分成几层,分层次进行抽取在起始部分采用简单随机抽样总体中的个体数较少时总体中的个体数较多时总体是由存在明显差异的几部分组成的在各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样【方法点睛】求样本数据的线性回归方程的步骤第一步，计算平均数第二步，求和第三步，计算第四步，写出回归方程=bx+a.线性回归方程及其应用【提醒】对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性
15、相关关系的前提下再求回归方程.【例4】(1)(2011广东高考)某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为cm.(2)测得某国10对父子身高(单位：英寸)如下：父亲身高(x)60626465666768707274儿子身高(y)63.665.26665.566.967.167.468.370.170画出散点图，说明变量y与x的相关性；如果y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程.(已知：)【解题指南】(1)求出回归方程，代入相关数据求得；(2)根据散点图判断相关
16、性.根据已知数据和提示的公式数据求解,写出线性回归方程.【规范解答】(1)由题设知：设解释变量为x，预报变量为y，它们对应的取值如表所示于是有得回归方程为所以当x=182时，.答案：185x173170176y170176182(2)散点图如图所示:观察散点图中点的分布可以看出:这些点在一条直线的附近分布，所以变量y与x之间具有线性相关关系.设回归方程为由得所求的线性回归方程为【反思感悟】求解线性回归方程的关键求线性回归方程，主要是利用公式，求出回归系数b，a，求解过程中注意计算的准确性和简便性.利用回归方程预报，就是求函数值.【易错误区】分层抽样的易错点【典例】(2011福建高考改编)某校选
17、修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为.【解题指南】由高一年级的入样人数和学生总数可得分层抽样的比例，进而可求高二年级的入样人数.【规范解答】设在高二年级的学生中应抽取的人数为x人，则解得x8.答案：8【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时有两点容易造成失误：(1)不能正确确认抽样比例从而导致失误；(2)在求解过程中计算失误.备考建议解决随机抽样问题时，还有以下几点容易造成失误，在备考时要高度关注
18、：(1)熟练掌握各种抽样方法的步骤和适用条件；(2)系统抽样中各段入样的个体编号成等差数列，公差即每段的个体数；(3)分层抽样中各层所占的比例要确定准确.另外某些情况下还需先剔除若干个体，注意剔除个体的等可能性.1.(2011辽宁高考)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：=0.254x+0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加万元.【解析】由于=0.254x+0.321,当x增加1万元时，年饮食支出y增加0.254万元.答案：0.2542.(2012连云港模拟)某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵，为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为.【解析】设样本中松树苗的数量为x,则答案：203.(2011湖北高考)某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1 400家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市家【解析】由题意，样本容量为2004001 4002 000,抽样比例为所以中型超市应抽答案:20
