1、第九节抛物线内容要求ABC顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质三年1考高考指数:1.抛物线的相关概念(1)抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线在平面内；动点到定点F的距离与到定直线l的距离_；定点_定直线上.(2)焦点:定点F.(3)准线：定直线l.不在相等【即时应用】(1)思考：在抛物线的定义中，若定点F在定直线l上，动点的轨迹是什么？提示：若定点F在定直线l上，则动点的轨迹为过点F与定直线l垂直的一条直线.(2)若动点P到点F(0,-2)的距离与它到直线y-2=0的距离相等，则点P的轨迹方程为_.【解析】由抛物线的定义知，点P的轨迹是以点F(0,-2)为焦点，y=2为准线的
2、抛物线，其方程为：x2=8y.答案：x2=8yxy oF2.抛物线的标准方程和几何性质离心率顶点坐标范围对称轴准线方程焦点坐标图形y2=2px(p0)标准方程x 轴x 轴x0 x0O(0,0)e=1y2=-2px(p0)xyoF性质离心率顶点坐标范围对称轴准线方程焦点坐标性质图形x2=-2py(p0)标准方程y轴y 轴y 0y 0O(0,0)e=1x2=2py(p0)yoxFxyoF【即时应用】(1)思考：抛物线y2=2px(p0)上任意一点M(x0，y0)到焦点F的距离与点M的横坐标x0有何关系?若抛物线方程为x2=2py(p0)，结果如何?提示：由抛物线的定义得：|MF|=；若抛物线方程为
3、x2=2py(p0)，则|MF|=(2)抛物线4y=x2的焦点坐标为_.【解析】抛物线4y=x2的标准方程为x2=4y，所以2p=4，再由抛物线的焦点在y轴的非正半轴上，所以抛物线的焦点坐标为(0,1).答案：(0，1)(3)顶点在原点，对称轴是x轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是_.【解析】因为抛物线顶点与焦点的距离等于6，所以=6，又因为顶点在原点，对称轴是x轴，所以抛物线方程为y2=24x.答案:y2=24x抛物线的定义及其应用【方法点睛】利用抛物线的定义可解决的问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线；(2)距离问题：涉及抛物线上的
4、点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用.【提醒】注意一定要验证定点是否在定直线上.【例1】(1)若点P到直线x+1=0的距离比它到点M(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为_.(2)设P是抛物线y2=4x上的一动点，求点P到A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值；若B(3,2)，抛物线的焦点为F，求|PB|+|PF|的最小值.【解题指南】(1)本题可化为动点到定点的距离与到定直线的距离相等，即轨迹为抛物线；(2)注意到直线x=-1为抛物线的准线，利用到焦点的距离与到准线的距离相等，即可解决.【规范解答】(1)因为点P到直线x+1=0的距离比它
5、到点M(2,0)的距离小1，所以点P到直线x=-2的距离与它到点M(2,0)的距离相等，且M(2,0)不在直线x=-2上，故轨迹为抛物线.答案:抛物线(2)由于A(-1,1)，F(1,0),P是抛物线上的任意一点，则|AP|+|PF|AF|=从而知点P到A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和的最小值为所以点P到A(-1,1)的距离与P到直线x=-1的距离之和的最小值也为如图所示，自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q，交抛物线于点P1，此时P1Q|P1F|，那么PB|+|PF|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即最小值为4.【反思感悟】1.本题(1)是利用到定点的距离与到定直线的距
6、离相等，即用抛物线的定义来求解，在求轨迹或轨迹方程时一定要注意圆锥曲线的定义，这样能起到事半功倍的效果.2.与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，将点到准线的距离转化为点到焦点的距离，或将到焦点的距离转化为到准线的距离.抛物线的标准方程与性质【方法点睛】1.求抛物线的标准方程的方法求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以，只需一个条件确定p值即可；因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量.2.抛物线的标准方程及其性质的应用由抛物线的方程可求x、y的范围，从而确定开口方向；由方程可判断其对称轴，求p值，确定焦点坐标等.【提醒】抛物线方程
7、中的参数p0，其几何意义是焦点到准线的距离.【例2】(2011山东高考改编)设M(x0，y0)为抛物线C：x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是_.【解题指南】本题可先求抛物线的准线，由圆与准线相交知动圆半径的范围，再由抛物线方程求得点M纵坐标的取值范围.【规范解答】设圆的半径为r，因为F(0，2)是圆心，抛物线C的准线方程为y=-2，由圆与准线相交知416，所以8y0+(y0-2)216，即有y02+4y0-120，解得y02或y02.答案：(2，+)【反思感悟】1.解答本题的关键是直线与圆相交，圆的半径大于圆心到直线的距
8、离.2.当点在曲线上时，点的坐标适合曲线方程，这一条件在求最值、范围、解方程中应用比较广泛，但容易被忽视.直线与抛物线的位置关系【方法点睛】1.直线与抛物线的位置关系的判定设直线方程Ax+By+C=0与抛物线方程y2=2px(p0)联立，消去x得到关于y的方程my2+ny+l=0.(1)若m0，当0时，直线与抛物线有两个公共点.当=0时，直线与抛物线只有一个公共点.当0)，直线l交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有以下结论：(1)若AB过焦点F，则有AB|=x1+x2+p或|AB|=(为AB所在直线的倾斜角)；x1x2=；y1y2-p2；过抛物线焦点且与对称轴垂直的
9、弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p.以AB为直径的圆必和准线相切.设点F分弦AB的长分别为m，n两段，则有(2)若OAAB，则有：y1y2=-4p2;x1x2=4p2;AB过定点(2p，0).【提醒】直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点.【例3】已知抛物线C：y2=2px(p0)过点A(1,-2).(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由.【解题指南】第一步用待定系
10、数法求出抛物线方程及其准线方程；第二步依题意假设直线l的方程为y=-2x+t，联立直线与抛物线的方程，利用判别式限制参数t的范围，再由直线OA与直线l的距离等于列出方程，求解出t的值.【规范解答】(1)将(1，2)代入y2=2px，得(-2)2=2p1，p=2，故所求的抛物线方程为y2=4x，其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t，由得y2+2y-2t=0，因为直线l与抛物线C有公共点，所以=4+8t0，解得t-.另一方面，由直线OA与直线l的距离等于可得 t=1，由于1,+)，1-，+)，所以符合题意的直线l存在，其方程为y=-2x+1.【反思感悟】1.
11、求抛物线方程，一般是先设出抛物线方程(注意抛物线的开口方向，焦点的位置)，用待定系数法求解；2.研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是利用两曲线方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.【满分指导】直线与抛物线综合问题的规范解答【典例】(14分)(2011福建高考)如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【解题指南】(1)直线与抛物线方程联立，然后相切即判别式=0，解得b的值；(2)求出A点坐标
12、，找出圆心和半径，写出圆的方程即可.【规范解答】(1)由得x2-4x-4b=0.()3分因为直线l与抛物线C相切，所以=(4)2-4(-4b)=0，解得b=1.6分(2)由(1)可知b=-1，故方程()即为x2-4x+4=0，解得x=2.将其代入x2=4y，得y=1.故点A(2,1)10分因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离，即r=|1-(-1)|=2，所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.14分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示解答本题时有两点容易造成失分：(1)直线与抛物线相切
13、，利用代数法求解，由于运算量大、运算法则应用不当出现计算错误；(2)直线与圆相切，可选择点到直线的距离；也可选择直线方程与圆的方程联立、消元，其判别式等于零.选择前者运算量较小，易得满分，选择后者，运算量较大，易失分.因而方法的选择不当也可能导致失分.备考建议解决直线与圆、抛物线的问题时，要注意以下几点：(1)根据题设条件，合理选择圆的方程的形式(是标准方程还是一般方程)；(2)直线与抛物线的交点问题，可联立直线与抛物线的方程，消元化成一元二次方程，注意“设而不求”；(3)直线与抛物线有一个交点时，直线与抛物线不一定相切.1.(2011新课标全国卷改编)已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对
14、称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则 ABP的面积为_.【解析】由题知AB2p12，得p=6，又点P到直线AB的距离为p=6，答案：362.(2011广东高考改编)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为_.【解析】由题意，C的圆心到点(0,3)与到直线y=-1的距离相等，由抛物线的定义知C的圆心轨迹为抛物线.答案：抛物线3.(2011辽宁高考改编)已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为_.【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2),由抛物线的定义可知，又因为|AF|+|BF|=3，得所以线段AB的中点横坐标答案：4.(2011天津高考改编)已知双曲线(a0，b0)的左顶点与抛物线y2=2px(p0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2，-1)，则双曲线的焦距为_.【解析】由题意可知a+=4，又点(-2,-1)是两直线的交点，所以=2，即p=4，a=2，将(-2，-1)代入双曲线的一条渐近线方程，得b=1，因此故2c=2答案：2
