1、第五节空间直角坐标系内容要求ABC空间直角坐标系高考指数:1.空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系名称内容空间直角坐标系以空间一点O为原点，具有相同的单位长度,给定正方向,建立三条两两垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，这时建立了一个空间直角坐标系_.Oxyzy轴坐标原点坐标原点是点O坐标轴_、_、_ 坐标平面通过_的平面每两个坐标轴x轴z轴(2)右手直角坐标系的含义当右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向时，中指指向_.z轴的正方向(3)空间一点M的坐标空间一点M的坐标常用有序实数组(x,y,z)来表示，记作M(x,y,z)，其中x叫做点M的_，y叫做点M的_，z叫做点M的_.建立
2、了空间直角坐标系后，空间中的点M和有序实数组(x,y,z)可建立一一对应的关系.(4)中点坐标公式平面上中点坐标公式可推广到空间，即设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB的中点为P().横坐标纵坐标竖坐标【即时应用】(1)思考:空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成几部分？提示：三个坐标平面把空间分为八部分.(2)xOz平面内点的坐标的特点是_.【解析】点在xOz平面内,故点在y轴上的射影一定是坐标原点,其纵坐标为0,横坐标、竖坐标不确定.答案:纵坐标为0(3)在空间直角坐标系中，点M(-5,3,1)关于x轴的对称点坐标为_.【解析】关于x轴的对称点坐标，横坐标不变，其余坐标变
3、为相反数.答案：(-5,-3,-1)2.空间两点间的距离(1)设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|AB|=_.特别地，点P(x,y,z)与坐标原点O的距离为|OP|=_.(2)设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)是空间中两点，则线段AB的中点坐标为_.【即时应用】(1)思考:在平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，那么在空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合是什么呢?提示：是以定点为球心，以定长为半径的球面.(2)已知空间两点A(2,0,4),B(-6,2,-2)，则线段AB的中点到原点的距离为_.【解析】由中点坐标公式可得线段AB的中点为(-2,1,
4、1),故到原点的距离为答案：(3)已知点P(1,1,1),其关于xOz平面的对称点为P，则=_.【解析】由题意得P(1，-1，1),答案：2求空间中点的坐标【方法点睛】1.建立恰当坐标系的原则(1)充分利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直；(2)尽可能地让点落在坐标轴或坐标平面上.2.求空间中点P的坐标的方法(1)过点P作与x轴垂直的平面，垂足在x轴上对应的数，即为点P的横坐标；同理可求纵坐标、竖坐标.(2)从点P向三个坐标平面作垂线，所得点P到三个平面的距离等于点P的对应坐标的绝对值，进而可求得点P的坐标.【例1】(1)空间直角坐标系中,点P(2,3,4)在x轴上的射影的坐标为_.(2)已
5、知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，以A为坐标原点建立适当的空间直角坐标系，求其各顶点的坐标.【解题指南】(1)空间直角坐标系中,点在x轴的射影的坐标满足横坐标相同,纵、竖坐标均为零.(2)注意空间直角坐标系的建立以及三棱柱底面三角形角的大小.【规范解答】(1)点P(2,3,4)在x轴上的射影的横坐标与点P相同,纵坐标、竖坐标均为0.故射影坐标为(2,0,0).答案：(2,0,0)(2)以A点为坐标原点，AC、AA1所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.设AC的中点是D，连结BD，则BDy轴，且BD=，A(0,0,0),B(,1,0),C(0,2,0)，A1(0,0,
6、2),B1(,1,2),C1(0,2,2).【反思感悟】1.建立坐标系时，常常利用或构造两两垂直的三条直线来解题.2.对同一几何体，建立的坐标系不同，所得点的坐标也不同为方便起见常将尽量多的点建在坐标轴上.3.在确定点的坐标时，常出现的问题是点的坐标的数值判断出错.空间中点的对称问题【方法点睛】空间直角坐标系中点的对称规律已知点P(x,y,z)，则点P关于点、线、面的对称点坐标为：点线面对称点坐标原点(-x,-y,-z)x轴(x,-y,-z)【提醒】关于谁对称，谁的坐标不变，其他的变为相反数，关于原点对称的点，坐标都变为相反数.点线面对称点坐标y轴(-x,y,-z)z轴(-x,-y,z)xOy
7、平面(x,y,-z)yOz平面(-x,y,z)xOz平面(x,-y,z)【例2】如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(-2,-3,-1)，求其他七个顶点的坐标.【解题指南】由题意知，长方体的各顶点关于原点O和三个坐标平面及三条坐标轴具有对称性，据此可写出其他七个顶点的坐标.【规范解答】由题意得，点B与点A关于xOz面对称，故点B的坐标为(-2,3,-1)；点D与点A关于yOz面对称，故点D的坐标为(2,-3,-1);点C与点A关于z轴对称，故点C的坐标为(2,3,-1)；由于点A1,B1,C1,D1分别与点A,B,C
8、,D关于xOy面对称，故点A1,B1,C1,D1的坐标分别为A1(-2,-3,1),B1(-2,3,1),C1(2,3,1),D1(2,-3,1).【反思感悟】1.求对称点坐标的关键是看点关于轴对称、还是关于坐标平面对称，对称点的坐标哪些发生了变化，哪些没变，一定要记清变化的规律对称问题中常出现的错误是写坐标时数值的符号出错.2.记清各类对称点坐标间的特征关系是正确解题的关键.空间两点间的距离【方法点睛】1.求空间两点间距离的步骤第一步：建立坐标系，正确地写出相关点的坐标；第二步：利用公式求出两点间的距离.2.两点间距离公式的应用(1)求两点间的距离或线段的长度；(2)已知两点间距离，确定坐标
9、中参数的值；(3)根据已知条件探求满足条件的点的存在性.【例3】(1)已知点B是点A(3,7,-4)在xOz平面上的射影，则|OB|=_.(2)如图所示，以棱长为a的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在棱CD上当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值.【解题指南】(1)根据空间点在xOz平面上的射影的特点及距离公式求解.(2)确定点P、Q的坐标，利用两点间的距离公式得到|PQ|，然后利用函数知识解决.【规范解答】(1)由题意得点B的坐标为(3,0,-4),故答案：5(2)因为B(0,0,a),A(a,a,0)，P为
10、AB的中点,所以P().又点Q在棱CD上运动，所以可设Q(0,a,z0)，其中z00,a，故因此当z0=时，|PQ|的最小值为.【反思感悟】1.求空间点的坐标时，一定要分清对应坐标，防止点的坐标求错.2.利用空间两点间的距离公式，可以求两点间的距离或某线段的长度，只要建立恰当的坐标系，通过简单的坐标运算即可解决.【易错误区】求点的坐标时忽略解的讨论致误【典例】(2012南京模拟)已知点P在z轴上，且满足|OP|=1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离为_.【解题指南】先确定点P的坐标，然后利用两点间的距离公式求解即可.【规范解答】设点P的坐标为(0,0,z)，由|OP|=1得=|
11、z|=1，故z=1.当z=1时，点P的坐标为(0,0,1),|PA|=当z=-1时，点P的坐标为(0,0,-1),|PA|=答案：【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时有两点容易造成失误：(1)忽视对点P坐标的讨论而丢失一个解；(2)不能分析点P的特点,对P点坐标的确定失误导致错解.备考建议本节的主要内容为空间坐标系的基础知识，高考对这部分内容考查较少，因此备考时要重视基础知识，即如何恰当地建立空间直角坐标系、如何准确地确定点的坐标以及如何利用两点间的距离公式解决有关问题.1.(2011扬州模拟)正方体不在同一表面上的两个顶点为A(-1,
12、2,-1)，B(3,-2,3),则正方体的体积等于_.【解析】设正方体的棱长为a，根据条件则有解得a=4,所以体积为43=64.答案：642.(2012苏州模拟)已知空间中线段AB的两个端点坐标分别是A(3，5，-7)，B(-2，4，3)，则线段AB在坐标平面yOz上的射影的长度为_.【解析】A、B点在yOz平面上的射影分别为A1，B1，则A1(0,5,-7),B1(0,4,3)，|A1B1|=即线段AB在坐标平面yOz上的射影的长度为答案：3.(2012常州模拟)在空间直角坐标系中,以点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶点的ABC是以BC为底边的等腰三角形,则实数x的值为_【解析】ABC是以BC为底边的等腰三角形，则有|AB|=|AC|，化简得(x-4)2=4,x=2或6.答案：2或6
