1、第九节利用空间向量求空间角与距离三年23考高考指数:1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.1.利用直线的方向向量和平面的法向量求空间角与距离是高考的热点，尤其是用向量法求平面与平面的夹角和点到平面的距离；2.本节的重点是利用向量法求空间角，难点是正确地进行计算3.高考对本节的考查多以解答题的形式出现，综合考查空间想象能力、运算能力及数形结合思想.1.夹角的计算(1)直线间的夹角两直线的夹角当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中,范围在_内的角叫作两直线的夹角.0,异面直线的夹角当直线l1与l2是异面直线时，
2、在直线l1上任取一点A作ABl2，我们把_的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角.设s1，s2分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则直线l1和直线ABl1与l2的夹角范围求法关系(2)直线与平面的夹角平面外一条直线与它_的夹角叫作该直线与此平面的夹角.设直线l的方向向量为s，平面的法向量为n，直线l与平面的夹角为,则sin=coss，n=_.在该平面内的投影(3)平面间的夹角如图所示，平面1与2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面1上作直线l1l,在平面2上作直线l2l，则l1l2=R.我们把_叫作平面1与2的夹角.直线l1和l2的夹角已知平面1和2的法向量分别为n1和n2，当0
3、n1，n2 时，平面1与2的夹角等于_;当n1，n2时，平面1与2的夹角等于_.n1，n2-n1，n2【即时应用】(1)思考：直线与平面的夹角、平面的法向量与直线的方向向量的夹角具有怎样的关系？提示：当直线的方向向量与平面的法向量的夹角是锐角时，其余角为线面角；当直线的方向向量与平面的法向量的夹角是钝角时，其补角的余角是线面角.(2)长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE夹角的余弦值为_.【解析】建立坐标系如图，则A(1，0，0)，E(0，2，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，2)，=.所以异面直线BC1与AE夹角的余弦值为
4、.答案：2.距离的计算(1)点到直线的距离空间一点A到直线l的距离的算法框图为：在直线l上任取一点P确定直线l的方向向量s计算向量计算在向量上的投影计算点A到直线l的距离d=(2)平行直线间的距离求平行直线间的距离通常转化为求_.(3)点到平面的距离空间一点A到平面的距离的算法框图为：点到直线的距离在平面上任取一点P找到平面的法向量计算向量计算在向量上的投影计算点A到平面的距离d=【即时应用】(1)思考：如何求线面距离与面面距离？提示：求这两种距离，通常都转化为求点到平面的距离.(2)思考：如何推导点到平面的距离公式？提示：如图,点A到平面的距离就是向量在平面 的法向量n上投影的绝对值,即d=
5、|sinABO=|cos ,n=利用该公式求点到平面的距离简便易行.(3)已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是_.【解析】如图，建立坐标系，则A1(2,0,4)，A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，4),设平面AB1D1的一个法向量为n(x，y，z)，由得令z=1，则n(2,2,1)，设点A1到平面AB1D1的距离为d，则答案：用空间向量求空间角【方法点睛】1.两异面直线夹角的求法利用空间向量求异面直线的夹角可利用直线的方向向量转化成向量的夹角.2.利用向量求直线与平面夹角的方法(1)分别求出斜线和它所
6、在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面的夹角.3.求平面与平面夹角的常用方法(1)分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小.(2)分别在两个平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角(或其补角)的大小就是平面与平面夹角的大小.【提醒】求直线与平面和平面与平面夹角的两种方法各有利弊，要善于结合题目的特点选择适当的方法解题.【例1】(1)(2012合肥模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则直线BC1与平面
7、A1BD夹角的余弦值是()(A)(B)(C)(D)(2)(2012天津模拟)如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,ADBCFE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=求异面直线BF与DE夹角的大小；证明：平面AMD平面CDE；求平面ABCD与平面CDE夹角的余弦值.【解题指南】(1)建立空间直角坐标系，用向量法求解；(2)通过求向量的夹角来求异面直线所成的角；证进而得CEAM，CEAD，可得结论成立；利用两平面法向量的夹角求两平面夹角的大小.【规范解答】(1)选C.建立空间直角坐标系如图所示.设正方体的棱长为1,直线BC1与平面A1BD所成的角为,则D(0,0,0),A1
8、(1,0,1),B(1,1,0),C1(0，1，1)，设n=(x,y,z)是平面A1BD的一个法向量,则,令z=1,则x=-1,y=1.n=(-1,1,1)，sin=0,(2)如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点.设AB=1,依题意得B(1,0,0),C(1,1,0)，D(0,2,0),E(0,1,1)，F(0,0,1)，M(,1,).于是所以异面直线BF与DE所成角为60.DECBAFMyzx由可得所以CEAM,CEAD.又AMAD=A，故CE平面AMD.又CE 平面CDE,所以平面AMD平面CDE.令平面CDE的法向量为u=(x,y,z),则于是令x=1,可得u=(1,1,1)又由
9、题设知平面ABCD的一个法向量为v=(0,0,1).则cosu,v=故所求平面ABCD与平面CDE夹角的余弦值为.【反思感悟】1.异面直线的夹角与向量的夹角不同，应注意思考它们的联系和区别；2.直线与平面的夹角可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化，所以要注意它们的区别与联系.用空间向量求空间距离【方法点睛】求平面外一点P到平面的距离的步骤(1)求平面的法向量n；(2)在平面内取一点A,确定向量的坐标；(3)代入公式求解.【例2】(1)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则点C1到平面A1ED的距离是_.(2)(2012衡水模拟)已知四棱
10、锥P-ABCD中PA平面ABCD，且PA=4PQ=4，CDA=BAD=90，AB=2，CD=1，AD=，M，N分别是PD，PB的中点.求证：MQ平面PCB；求截面MCN与底面ABCD夹角的大小；求点A到平面MCN的距离.【解题指南】(1)建立空间直角坐标系，利用点到面的距离公式求解.(2)以A为原点建立空间直角坐标系，用向量法求解：求出平面PCB的一个法向量n0,只需证明即可；先求出截面MCN的一个法向量n,只需利用夹角公式求得两个平面的法向量的夹角n,便可得出答案；利用点到平面的距离公式解题.【规范解答】(1)以A为原点建立空间直角坐标系如图所示.则A1(0,0,1)，E(1,0，)，D(0
11、,1,0)，C1(1,1,1).设平面A1ED的法向量为n1=(x,y,z)，由，得令z=2，则n1=(1,2,2).又点C1到平面A1ED的距离答案：1(2)以A为原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示,由AB=2，CD=1，AD=，PA=4PQ=4，M，N分别是PD，PB的中点，可得A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(，1，0)，D(，0，0)，P(0，0，4)，Q(0，0，3)，M(，0，2)，N(0，1，2)，设平面PCB的一个法向量为n0=(x,y,z),则有令z=1,则x=,y=2n0=(，2，1),又MQ平面PCB，MQ平面PCB.设平面
12、MCN的一个法向量为n=(x,y,z)，又则有：令z=1,则x=,y=1n=(，1，1)，又=(0，0，4)为平面ABCD的法向量，cosn,=截面MCN与底面ABCD夹角的大小为 所求的距离d=【反思感悟】空间距离包括两点间的距离、点到线的距离、点到面的距离等.其中点到点、点到线的距离可以用空间向量的模来求解，而点到面的距离则借助平面的法向量求解，也可借助于几何体的体积求解.用空间向量解决探索性问题【方法点睛】探索性问题的类型及解题策略探索性问题分为存在判断型和位置判断型两种：(1)存在判断型存在判断型问题的解题策略是：先假设存在，并在假设的前提下进行推理，若不出现矛盾则肯定存在，若出现矛盾
13、则否定假设.(2)位置判断型与平行、垂直有关的探索性问题的解题策略为：将空间中的平行与垂直转化为向量的平行或垂直来解决.与角有关的探索性问题的解题策略为：将空间角转化为与向量有关的问题后应用公式cos=(其中n1,n2是两平面的法向量或两直线的方向向量)即可解决.【例3】(2011浙江高考)如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2.(1)证明：APBC；(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由【解题指南】建立坐标系，(1)利用来证明
14、；(2)假设存在满足条件的点，求出两个半平面的法向量，判断两法向量是否能垂直即可.若垂直，则假设成立；若不垂直，则假设不成立.【规范解答】(1)如图以O为原点，以射线OD，OP分别为y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(0,-3,0),B(4,2,0)，C(-4,2,0),P(0,0,4).即APBC.ABCDOPxyz(2)假设存在M，设,其中0,1),则=(-4,-2,4)+(0,-3,-4)=(-4,-2-3,4-4)设平面BMC的法向量n1=(x1,y1,z1)，平面APC的法向量n2=(x2,y2,z2)由即可取n1=(0,1,)由得可取n2=(5,4,-3
15、).由n1n2=0,得解得=，故AM=3综上所述，存在点M符合题意，AM=3【反思感悟】1.开放性问题是近几年高考中出现较多的一种题型，向量法是解此类问题的常用方法.2.对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.【满分指导】用空间向量解答立体几何问题的规范解答【典例】(12分)(2011福建高考)如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD.四边形ABCD中，ABAD，AB+AD=4，CD=，CDA=45.(1)求证：平面PAB平面PAD；(2)设AB=AP.若直线PB与平面PCD所成的角为30，求
16、线段AB的长；在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由.【解题指南】(1)证明平面PAB中的直线AB平面PAD，从而可推得平面PAB平面PAD；(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后用空间向量法进行求解探究.【规范解答】(1)因为PA平面ABCD，AB 平面ABCD，所以PAAB，又ABAD,PAAD=A，所以AB平面PAD.又AB 平面PAB，所以平面PAB平面PAD.3分(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图).在平面ABCD内，作CEAB交AD于点E，则CEAD.在RtCDE中，DE=CDcos45=1.设AB=AP=t，则B(t,0
17、,0),P(0,0,t)，由AB+AD4得AD=4-t，所以E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0).5分设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),由,得取x=t，得平面PCD的一个法向量n=(t,t,4-t).6分由题意得cos60=即解得t=或t=4(舍去，因为AD=4-t0)，所以AB=.8分假设在线段AD上存在一个点G(如图)，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等，设G(0,m,0)(其中0m4-t)，则9分由得12+(3-t-m)2=(4-t-m)2,即t=3-m.由得(4-m-t)2=m2+t2.由消去t，化简得m2-3m+4=0.由于方程没有实数根，所以
18、在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等.12分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：(1)建立坐标系后，求点的坐标时出现错误；(2)解答第(2)问时，不知根据条件将问题转化为方程的知识来解决，使解题思路受阻而无法解题备考建议解决空间向量在立体几何中的应用问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)建系前缺少证明垂直关系而使步骤不完整.(2)建系不恰当，导致点的坐标不易确定或求解时繁琐.(3)不会利用直线的方向向量及平面法向量解决相应问题.(4)计算失误导致结果不正确.
19、另外需要熟练掌握直线方向向量及平面法向量的求法，有利于快速正确地解题.1.(2012西安模拟)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是()(A)(B)(C)(D)【解析】选B.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则C1(0,1,1),O(,1),D(0,0,0)和A1(1,0,1),显然=(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量.又点O到平面ABC1D1的距离2.(2012鞍山模拟)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是C1D1，CC1的中点，则直线B1N与
20、平面BDM夹角的正弦值为_【解析】以D为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B1(2,2,2)，N(0,2,1)，又M(0,1,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，则可得平面BDM的一个法向量n(2，2,1)，因为故直线B1N与平面BDM夹角的正弦值是.答案：3.(2012福州模拟)如图，已知三棱锥OABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点.(1)求O点到平面ABC的距离；(2)求异面直线BE与AC夹角的余弦值；(3)求平面EAB与平面ABC夹角的余弦值.【解析】方法一：(1)以O为原点，OB、OC、OA所在直线分
21、别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.则有A(0，0，1)、B(2，0，0)、C(0，2，0)、E(0，1，0).设平面ABC的一个法向量为n1=(x,y,z),则由知：由知:取n1=(1,1,2),则点O到平面ABC的距离为(2)所以异面直线BE与AC夹角的余弦值为(3)设平面EAB的一个法向量为n=(x,y,z)，则由n 知：n =2x-z=0,由n 知：n =2x-y=0,取n=(1,2,2).由(1)知平面ABC的一个法向量为n1=(1,1,2).则故平面EAB与平面ABC夹角的余弦值为方法二：(1)取BC的中点D，连接AD、OD，OB=OC,则ODBC，ADBC，BC平面OAD，平面ABC平面OAD，过O点作OHAD于H，则OH平面ABC，OH的长就是所要求的距离.OAOB，OAOC，OA平面OBC，则OAOD.在直角三角形OAD中，有(另解：由知，OH=.)(2)取OA的中点M，连EM、BM，则EMAC，BEM是异面直线BE与AC的夹角.求得：(3)连结CH并延长交AB于F，连结OF、EF.OC平面OAB，OCAB.又OH平面ABC，ABOH，又OCOH=O，AB平面COF，CFAB,EFAB,则EFC就是所求的角.作EGCF于G，则在直角三角形OAB中，在直角三角形OEF中，平面EAB与平面ABC夹角的余弦值为
