1、第六节空间几何体及其表面积和体积内容要求ABC柱、锥、台、球及其组合体柱、锥、台、球的表面积和体积高考指数:1.空间几何体(1)多面体定义性质棱柱由一个_沿某一方向_形成的空间几何体两个底面是_，且对应边互相_侧面都是_平面多边形平移全等的多边形平行平行四边形棱锥棱柱的一个底面_时，得到的几何体底面是_侧面是_棱台棱锥被_的一个平面所截后，_和_之间的部分上下底面_侧棱延长后_收缩为一个点多边形有一个公共顶点的三角形平行于底面截面底面相似交于一点(2)旋转体旋转面：一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面.旋转体：封闭的旋转面围成的几何体.圆柱、圆锥、圆台和球图形平面图形轴圆柱圆
2、锥矩形矩形的一边所在的直线ooos直角三角形所在的直线一直角边图形平面图形轴圆台球ooo直角梯形半圆垂直于底边的腰_所在的直线直径所在的直线【即时应用】(1)思考：柱体、锥体、台体三者之间有怎样的关系？提示:柱体台体椎体(2)判断下列命题是否正确.(请在括号内填“”或“”)用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；()两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；()有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；()有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.()【解析】中的平面不一定平行于底面，故错；可画图检验，如图1，错误.错，如图2，面ABC面A1B1C1，
3、其余各面都是平行四边形，但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不都互相平行，故不是棱柱.错，如图3，每个面都是三角形，但形成的几何体不是棱锥.答案：2.空间几何体的表面积、体积(1)表面积公式S直棱柱侧ch,S正棱锥侧ch,S正棱台侧(c+c)h；S圆柱侧2rl,S圆锥侧rl,S圆台侧(r+r)l；S球4R2.(2)体积公式V柱体Sh,V锥体Sh,V台体h(S+S)；V球R3.【即时应用】(1)思考：对于不规则的几何体应当如何求其体积？提示:对于不规则的几何体的体积常用割补法或是转化成已知几何体积公式的几何体来解决.(2)棱长为2的正四面体的表面积为_【解析】正四面体的表面积为4(22)=4
4、 .答案：4 (3)已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长为_.【解析】设正方体的棱长为a,外接球的半径为R，则2R=a,R=a,由题意知，V球=R3=，R=2，a=2,a=.答案：几何体的展开与折叠【方法点睛】1.求解几何体表面上两点间的最短距离的方法常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开，转化为平面上两点间的最短距离来解，是将空间几何体展开成平面图形的应用2.解决折叠问题的技巧解决折叠问题时，要分清折叠前后两图形(折叠前的平面图形和折叠后的空间图形)的各元素间的位置关系和数量关系哪些发生了变化，哪些没有发生变化【提醒】对折叠问题中的前后两个图形，在折线同侧的元素的位置关系和数量关系不
5、发生变化；在折线异侧的元素的位置关系和数量关系发生变化【例1】(1)(2012南京模拟)如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A出发，沿着正三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为_cm.(2)如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_.【解题指南】(1)将正三棱柱的侧面展开转化为平面问题来解决；(2)将平面图形折叠后得到一个四棱锥，用相关公式可求得体积【规范解答】(1)将正三棱柱沿棱AA1两次展开，得到如图所示的矩形，可知最短路线长为矩形的对角线长，从而所求最短路线的长为答案：13(
6、2)由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连结顶点和底面中心即为高，可得高为，所以体积为V=11 =.答案：【反思感悟】1.求几何体表面上两点间的最短距离是常见题型之一，这类问题的特点是：图形的性质和数量关系分散在立体图形的几个平面上或旋转体的侧面上为了便于发现图形间性质与数量上的相互关系，需将图中的某些平面旋转到同一平面上，或者将曲面展开为平面，使问题得到解决2.折叠问题是立体几何中常见的题型，几何体的展开与平面图形的折叠，体现了转化的思想，也是解决立体几何问题时常用的方法几何体的表面积【方法点睛】1.几何体表面积的求法(1)若所给的几何体是规则的柱体、锥体或台体，则可
7、直接利用公式进行求解；(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积的和2.旋转体侧面积的求法计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法【提醒】解题中要注意表面积与侧面积的区别，对于组合体的表面积还应注意重合部分的处理.【例2】(1)(2011北京高考改编)某四棱锥的底面是边长为4的正方形，高为2，顶点在底面内的射影是底面正方形的中心，该四棱锥的表面积是_.(2)某几何体由上、下两个长方体组合而成，下面长方体的长、宽、高分别为8，10，2；上面长方体的长、宽、高分别为6
8、，2，8(如图)，该几何体的表面积为_.【解题指南】(1)求四棱锥的表面积的关键是求侧面积，而求侧面积的关键是求斜高.(2)分析几何体的组合方式，分别计算出两个长方体的表面积，要注意重合表面的面积.【规范解答】(1)该四棱锥的斜高为，表面积为4(42 )+42=16+16 .答案：16+16(2)S表=2108+2(8+10)2+2(2+6)8=360.答案：360【反思感悟】1.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和2.注意对面积公式的讨论都是利用展开图进行的,解题中要注意将空间图形转化为平面图形这一方法的运用.3.扇形和扇环
9、的面积类比三角形的面积公式得：弧长为l，半径为r的扇形的面积为S=lr；类比梯形的面积公式得：内弧长为l，外弧长为l，外半径减内半径为r的扇环面积为S=(l+l)r几何体的体积【方法点睛】1.求几何体体积的思路(1)若所给定的几何体是规则的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系,可表示为【提醒】在立体几何的计算问题中，不要忘记必要的推理过程S=SS=0v柱体=Shv椎体=Sh【例3】(1)(2011新课标全国卷)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球
10、面上,且AB=6,BC=2 ,则棱锥O-ABCD的体积为_.(2)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，且AB=8，BC=6，高为4，顶点在底面内的射影是矩形的中心.求该四棱锥的体积V；求该四棱锥的侧面积S【解题指南】(1)解题的关键是定准球心的位置，求出棱锥的高.(2)解题的关键是解直角三角形求棱锥的高、斜高.【规范解答】(1)如图所示，OO垂直于矩形ABCD所在的平面，垂足为O，连结OB，OB，则在RtOOB中，由OB=4，OB=2 ,可得OO=2,VO-ABCD=S矩形ABCDOO=62 2=8 .答案：8(2)V=(86)4=64.该四棱锥有两个侧面PAD、PBC是全等的
11、等腰三角形，且BC边上的高为h1=，另两个侧面PAB、PCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为，因此S=2(64 85)=4024 【反思感悟】求锥体体积的关键求锥体体积的关键是找(或作)锥体的高，所以求锥体体积通常与线面垂直的证明联系.对于三棱锥的体积计算，要遵循哪个面的垂线易找(或易作)就以哪个面为底面的原则.【易错误区】球的组合体中求体积时的常见错误【典例】(2011辽宁高考改编)已知球的直径SC=4，A、B是该球球面上的两点，AB=2,ASC=BSC=45，则棱锥S-ABC的体积为_.【解题指南】根据所给条件画出图形，将三棱锥S-ABC分为两部分，结合三棱锥的体积公式求解.【规范解答
12、】如图，由题意可知，在三棱锥S-ABC中，SAC和SBC都是等腰直角三角形，其中AB=2，SC=4，SA=SB=AC=BC=2 .取SC的中点D，易得SC平面ABD.故所求棱锥S-ABC的体积等于以ABD为底的两个小三棱锥的体积的和，其高的和即为球的直径SC，故答案：【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时容易出错的主要原因有：(1)不能合理地画出图形、不能将所给条件转化到三棱锥中；(2)不能将三棱锥的体积转化为两个三棱锥的体积之和来处理.备考建议由于近几年的高考加强了对几何体体积、面积的考查，在备考时要注意：(1)加强对常见几何体
13、的有关计算的训练，熟练掌握常见几何体的面积及体积的求法；(2)对于一些复杂的几何体，要善于将其转化为规则的几何体进行求解；(3)要重视对计算能力的训练与培养，以适应高考的需要.1.(2011新课标全国卷)已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_.【解析】如图，设球的半径为R，圆锥底面圆的半径为r,则依题意得r2=4R2,即=cosOCO=,OCO=30,OO=R,AO=R-R=R,BO=R+R=R,答案：2.(2011福建高考)三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，PA=3，底面
14、ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC的体积等于_.【解析】由题意得，VP-ABC=SABCPA=223=.答案：3.(2012南京模拟)如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是_.【解析】设圆锥筒的底面半径为r，高为h.则由题意得2r=2，故r=1.答案：4.(2011陕西高考)如图，在ABC中，ABC=45,BAC=90,AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC=90.(1)证明：平面ADB平面BDC；(2)设BD=1，求三棱锥D-ABC的表面积.【解析】(1)折起前AD是BC边上的高，当ABD折起后，ADDC，ADDB，又DBDC=D,AD平面BDC，又AD平面ADB，平面ABD平面BDC.(2)由(1)知，DADB，DBDC，DCDA，DB=DA=DC=1，AB=BC=CA=，SDAB=SDBC=SDCA=11=，SABC=sin60=，三棱锥D-ABC的表面积是S=3+=.
