1、第四节等差数列与等比数列内容要求ABC 数列的概念 等差数列等比数列 三年2考高考指数:等差、等比数列的常用性质(1)若an是等差数列，则m，n，p，rN*，若mnpr，则有_.Sn，S2nSn，S3nS2n，构成_数列.am+an=ap+ar等差(2)若an是等比数列，则m，n，p，rN*，若mnpr，则有_.an是等比数列，则an2、是_数列.若Sn0，则Sn，S2nSn，S3nS2n，构成_数列.aman=apar等比等比(1)数列an是公差不为0的等差数列，且a1,a3,a7为等比数列bn的连续三项，则数列bn的公比为_.(2)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若S10=2，
2、S20=8，则S30=_.【即时应用】【解析】(1)设数列an的公差为d(d0)，由得(a1+2d)2=a1(a1+6d)a1=2d,故(2)S10，S20-S10，S30-S20成等比数列,(S20-S10)2=S10(S30-S20)，即36=2(S30-8),S30=26.答案：(1)2 (2)26等差、等比数列的基本运算【方法点睛】等差、等比数列的基本运算中应注意的问题(1)注意等差、等比数列通项公式、前n项和公式的正用、逆用和变形用.(2)求首项与公差或首项与公比是此类题目的通法.(3)与等比数列前n项和有关的问题应首先判断公比q能否为1.【提醒】在基本运算过程中，要注意等差、等比数
3、列性质的应用.【例1】(1)设数列an是公差不为0的等差数列，它的前10项和S10=110,且a1,a2,a4成等比数列，则an=_.(2)等比数列an中，则Sn=_.【解题指南】(1)列方程组求出a1,d即可.(2)分q=1和q1两种情况求解,当q1时列关于a1,q的方程组，求出a1,q即可.【规范解答】(1)由题意知解得a1=d=2，an=a1+(n-1)d=2n.答案：2n(2)当q=1时，S3=3a3=符合题意,此时当q1时，由已知得即解得此时综上知答案：【反思感悟】1.解答本题(2)时，易忽视q=1的情况，导致解答不全面.2.在运算过程中要善于运用整体代换的思想简化运算.等差、等比数
4、列的判定或探索【方法点睛】等差、等比数列的判定方法要判断一个数列是等差数列或等比数列可用定义法或中项法，而要说明一个数列不是等差数列或等比数列，只要说明某连续三项不成等差数列或等比数列即可.【例2】(2012淮安模拟)数列an的前n项和记为Sn，a1=t,an+1=2Sn+1(nN*).(1)t为何值时，数列an是等比数列？(2)在(1)的条件下，若等差数列bn的前n项和Tn有最大值，且T3=15，又a1+b1,a2+b2,a3+b3为等比数列，求Tn.【解题指南】(1)先求n2时an+1与an的关系，再根据求t.(2)根据Tn有最大值知，公差d0,故q=2,a1=1,所以an=2n-1.6分
5、(2)由(1)知，8分所以数列bn的前n项和 14分【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议:失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：一是对于利用方程的思想联立求解在计算上容易出现失误；二是在求数列的前n项和的时候需要把完全平方展开，然后分组求和，恰好是构成两个等比数列和一个常数列.备考建议除此外，解决等比数列问题时，以下几点容易造成失分：1.对通项公式与前n项和公式记忆错误；2.利用方程的思想解题时化简消元的技巧掌握不好而出错；3.求等比数列前n项和时，忽略公比等于1的情况，直接利用公式求解导致错误.1.(2012南京师大附中模拟)已知a,b,c(ab0),当
6、t=4时函数g(t)取得最小值，此时n=4,而故此时Tn最大，所以n0=4.答案：44.(2012南京模拟)已知an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55,a2+a7=16.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an和数列bn满足等式：(n为正整数)，求数列bn的前n项和Sn.【解析】(1)设等差数列an的公差为d(d0)由a2+a7=16,得2a1+7d=16 由a3a6=55,得(a1+2d)(a1+5d)=55 由得2a1=16-7d将其代入得(16-3d)(16+3d)=220.即256-9d2=220,d2=4,又d0,d=2,代入得a1=1,an=1+(n-1)2=2n-1.(2)令则有an=c1+c2+cn,an+1=c1+c2+cn+1an+1-an=cn+1,由(1)得a1=1,an+1-an=2,cn+1=2,cn=2(n2),即当n2时，bn=2n+1,又当n=1时，b1=2a1=2,于是Sn=b1+b2+b3+bn=2+23+24+2n+1=2+22+23+24+2n+1-4=2n+2-6,即Sn=2n+2-6.
