1、52.2同角三角函数的基本关系内容标准学科素养1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式逻辑推理数学运算2.理解同角三角函数的基本关系式3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.授课提示：对应学生用书第84页教材提炼知识点同角三角函数基本关系式如图，设点P(x，y)是角的终边与单位圆的交点过P作x轴的垂线，交x轴于M，则OMP是直角三角形，而且OP1.由勾股定理有OM2MP21.由此想到sin 、cos 、tan 之间有什么关系？ 知识梳理(1)平方关系：sin2cos21；(2)商数关系：tan_(k，kZ)(3)文字叙述：同一个角的正弦、余弦的平方和等
2、于1，商等于角的正切自主检测1化简 的结果是()Acos Bsin Csin Dcos 答案：C2已知3sin cos 0，则tan _.答案：3若sin cos ，则sin cos _.答案：授课提示：对应学生用书第85页探究一利用基本关系式求值例1教材P183例6拓展探究(1)已知tan 2，求sin ，cos 的值解析法一：tan 20，为第二或第四象限角，且sin 2 cos ，又sin2cos21，由消去sin ，得(2cos )2cos21，即cos2；当为第二象限角时，cos ，代入得sin ；当为第四象限角时，cos ，代入得sin .法二：tan 20，为第二或第四象限角由t
3、an ，两边分别平方，得tan2，又sin2cos21，tan211，即cos2.当为第二象限角时，cos 0，cos ，sin tan cos (2).(2)已知cos ，求sin ，tan 的值解析cos 0，tan 0，sin ，tan .当是第三象限角时，sin 0，sin ，tan .(3)已知tan 3，求：；sin23sin cos 1.解析原式1.原式111011.由某角的一个三角函数值求它的其余各三角函数值的依据及种类(1)依据：cos 或sin ，要根据角所在的象限，恰当选定根号前面的正负号，而在使用tan 时，不存在符号的选取问题(2)分类：如果已知三角函数的值，且角的象
4、限已被指定时，则只有一组解；如果已知三角函数的值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值确定角可能在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解；(3)sin cos 与sin cos 相互转化方法：(sin cos )212sin cos .探究二三角函数式的化简例2化简下列各式(1) ，；(2) .解析(1)原式 .，原式.(2)原式 1三角函数式化简的本质及关注点(1)本质：三角函数式化简的本质是一种不指定答案的恒等变换，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则(2)关注点：不仅要熟悉和灵活运用同角三角函数的基本关系式，还要熟悉并灵活应用这些公式的等价变形，如sin21cos2，cos21
5、sin2，1sin2cos2，sin tan cos ，cos .2对三角函数式化简的原则(1)使三角函数式的次数尽量低(2)使式中的项数尽量少(3)使三角函数的种类尽量少(4)使式中的分母尽量不含有三角函数(5)使式中尽量不含有根号和绝对值符号(6)能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示化简：.解析：原式探究三三角恒等式的证明例3求证：2(1sin )(1cos )(1sin cos )2.证明法一：左边2(1sin cos sin cos )1(sin2cos2)2sin 2cos 2sin cos (12sin sin2)2cos (1sin )cos2(1sin )22cos
6、 (1sin )cos2(1sin cos )2右边原式成立法二：令1sin x，cos y，则由sin2cos21，消去得(x1)2y21，即x2y22x，左边2x(1y)2x2xyx2y22xy(xy)2右边原式成立证明三角恒等式的常用方法证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则(2)证明左右两边等于同一个式子(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立求证：sin4cos42sin21.证明：左边(sin2cos2)(sin2c
7、os2)sin2cos2sin2(1sin2)2sin21右边所以等式成立授课提示：对应学生用书第86页一、同角关系式与方程思想的“联袂”在同角三角函数关系中，sin2cos21可变换成(sin cos )22sin cos 1，其中sin cos 与sin cos 很容易与一元二次方程中根与系数的关系产生联系若以sin ，cos 为两根构造一元二次方程，则可利用上述关系解决相关问题典例已知方程8x26kx2k10的两个实根是sin 和cos .(1)求k的值；(2)求tan 的值解析(1)已知方程有两个实根sin ，cos ，应满足如下条件：由平方关系可建立关于k的等式sin2cos21，即
8、(sin cos )22sin cos 1，将代入，得1，即9k28k200，解得k或k2.将k值代入0验证k2不满足式，故舍去，k.(2)切化弦，再通分tan ，把(1)求得的k值代入由(1)知sin cos ，tan .二、忽略角的取值范围，造成增解或丢解典例已知sin cos ，且0，求sin cos .解析sin cos ，(sin cos )2，解得sin cos .(sin cos )212sin cos .0，且sin cos 0，sin 0，cos 0，sin cos 0，sin cos .纠错心得此题易错为忽略“0”的条件，错解为sin cos .当题目中已知角的范围时，或涉及到开方时，都要结合角度范围确定三角函数值的符号