1、第五节数系的扩充与复数的引入内容要求ABC复数的概念复数的四则运算复数的几何意义三年3考高考指数:1.复数的有关概念(1)复数的定义形如a+bi(a,bR)的数叫复数，其中实部是_，虚部是_.ab(2)复数的分类满足条件复数的分类a+bi为实数，则 b=0a+bi为虚数，则 b0a+bi为纯虚数，则 a=0且b0a+bi为零，则 a=b=0(3)复数相等：a+bi=c+di _(a,b,c,dR).(4)共轭复数：a+bi与c+di共轭 _(a,b,c,dR).(5)复数的模向量的长度叫做复数z=a+bi的模，记作_ 或_，即|z|=|a+bi|=_(a,bR).a=c,b=da=c,b=-d
2、|z|a+bi|【即时应用】判断下列命题的正误.(请在括号中填写“”或“”)(1)若3+(2+x)i为实数(xR),则x=-2.()(2)已知x,yR,若(x+2)+yi=3+2i，则x=1,y=2.()(3)2i+3的共轭复数为-3+2i.()(4)|1+i|2-i|.()【解析】(1)3+(2+x)i若为实数，则2+x=0,x=-2,故(1)正确.(2)由复数相等知，故(2)正确.(3)2i+3的共轭复数为-2i+3,故(3)错误.(4)|1+i|=,|2-i|=,故(4)错误.答案：(1)(2)(3)(4)2.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(
3、a,b,c,dR),则加法：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=_;减法：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=_;乘法：z1z2=(a+bi)(c+di)=_;除法：_(c+di0).(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i(ac-bd)+(ad+bc)i(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3C，都有z1+z2=_,(z1+z2)+z3=_.z2+z1z1+(z2+z3)【即时应用】(1)设z=3i+2,则1-=_.(2)1+i+i2+i3=_.(3)为实数，则实数a=_.(4)_.【解析】(1)z=3i+2,=2-3i,1-=1-(2-
4、3i)=-1+3i.(2)1+i+i2+i3=1+i-1-i=0.(3)为实数，(1-a)=0,a=1.(4)原式+(4-2i)=(1+2i)+(4-2i)=5.答案：(1)-1+3i(2)0(3)1(4)53.复数的几何意义(1)复平面的概念：建立_来表示复数的平面叫做复平面.(2)实轴、虚轴：在复平面内,x轴叫做_,y轴叫做_，实轴上的点都表示_；除原点以外，虚轴上的点都表示_.(3)复数的几何表示：复数z=a+bi复平面内的点_ 平面向量_.直角坐标系实轴虚轴实数纯虚数Z(a,b)【即时应用】判断下列命题的正误.(请在括号内填写“”或“”)(1)原点是实轴与虚轴的交点.()(2)对应的点
5、位于第四象限.()(3)若z=3+2i，则在复平面上对应的点在第三象限.()【解析】(1)原点在实轴上，且在虚轴上，故(1)正确；(2)=1-i,1-i对应的点为(1,-1)在第四象限，故(2)正确；(3)由=3-2i知(3)不正确.答案：(1)(2)(3)复数的有关概念【方法点睛】解决有关复数概念问题的方法(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数的模公式求解.【提醒】解题时，需注意两方面问题：一是正确理解和表达有关概
6、念;二是加强复数代数形式的四则运算的熟练程度.【例1】(2011安徽高考改编)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a=_.【解题指南】先把复数化成a+bi(a,bR)的形式，再根据复数为纯虚数的概念列出关于a的条件去解答即可.【规范解答】又是纯虚数，则所以a=2.答案：2【反思感悟】复数概念题的解题关键处理有关复数基本概念的问题，关键是掌握复数的相关概念，找准复数的实部与虚部(即实部和虚部必须是实数)，从定义出发解决问题.复数的几何意义【方法点睛】复数的几何意义及应用(1)|z|表示复数z对应的点与原点的距离.|z1-z2|表示两点间的距离，即表示复数z1与z2对应点间的距离.(2)结合复数的
7、几何意义、运用数形结合的思想，可把复数、解析几何有机地结合在一起，达到了学科内的融合，而且解题方法更灵活.【例2】(1)(2011山东高考改编)复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点在第_象限.(2)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是_.(3)如图，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0，3+2i,-2+4i,试求：对应的复数，对应的复数；对应的复数.【解题指南】(1)(2)两题解题的关键是把所给复数化成a+bi(a,bR)的形式，再利用复数的几何意义求解.(3)利用向量知识和复数的几何意义，直接可得和对应的复数；利用对应的复数等于点A对应的复数减去点C对应的复
8、数，和向量的运算去解决.【规范解答】(1)因为所以复数z所对应的点在第四象限.答案：四(2)由图可得z=3+i,对应的点为(2,-1)，即点H.答案：H(3)对应的复数为-3-2i.对应的复数为-3-2i.对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.【反思感悟】复数几何意义题的解题关键一方面要了解复数的几何意义(如复数的向量表示，复数表示的点在复平面内的位置)，了解复数加、减运算的几何意义，另一方面要准确地进行复数代数形式的四则运算.复数的代数运算【方法点睛】1.复数的代数运算技巧复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类，不含i的看作另一类，分别合并即可，但要
9、注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i的特点及熟练应用运算技巧.2.几个常用结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度.(1)(1+i)2=2i;(2)(1-i)2=-2i;(3);(4);(5)-b+ai=i(a+bi);(6)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,nN*.【例3】(1)(2011重庆高考改编)复数_.(2)(2011湖北高考改编)i为虚数单位，则=_.(3)(2011浙江高考改编)把复数z的共轭复数记作,i为虚数单位.若z=1+i,则(1+z)=_.【解题指南】根据复数的四则运算法则求解.【规范解答】(1)答案：(2)答
10、案：-i(3)(1+z)=+|z|2=1-i+2=3-i.答案：3-i【反思感悟】复数代数运算的注意点进行复数代数形式的四则运算，一方面要严格执行运算法则；另一方面也要注意一些常用的运算技巧，如本题中的的性质，其实复数的除法运算就是分母实数化的运算.【创新探究】复数命题新动向【典例】(2011陕西高考改编)设集合M=y|y=|cos2x-sin2x|,xR,i为虚数单位，xR,则MN为_.【解题指南】集合M为函数值域，N为不等式的解集，其中为复数的模，弄清集合的元素是解题的关键.【规范解答】y=|cos2x-sin2x|=|cos2x|0,1,所以M=0,1,又 x2+12-1x1,N=(-1
11、,1),MN=0,1).答案：0,1)【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到如下创新点拨和备考建议：创新点拨在解答本题时的创新点：本题不同于以往的复数高考题，不是单独考查复数的基本知识，而是和三角函数、不等式、集合相交汇出题，综合性较大，是高考题的一个新动向.备考建议解决复数的综合问题在备考时以下几点要高度关注：(1)掌握好复数的有关概念、复数的运算法则，是解答该类题的关键.(2)对于复数综合题只要明确复数在其中的作用即可.1.(2011天津高考改编)i是虚数单位，复数【解析】答案：2-i2.(2011浙江高考改编)若复数z=1+i,i为虚数单位，则(1+z)z=_.【解析】z=1+
12、i,(1+z)z=(2+i)(1+i)=1+3i.答案：1+3i3.(2011湖南高考改编)若a,bR,i为虚数单位，且(a+i)i=b+i,则a=_,b=_.【解析】(a+i)i=b+i,-1+ai=b+i,再根据复数相等的充要条件得a=1,b=-1.答案：1 -14.(2011新课标全国卷改编)复数的共轭复数是_.【解析】的共轭复数是-i.答案：-i5.(2011江苏高考)设复数z满足i(z+1)=-3+2i(i是虚数单位)，则z的实部是_.【解析】方法一：设z=a+bi(a,bR),则i(z+1)=i(a+1+bi)=-b+(a+1)i=-3+2i,所以a=1,b=3,复数z的实部是1.方法二：i(z+1)=-3+2i,z=(-3+2i)(-i)-1=1+3i,复数z的实部为1.答案：1
