1、第三节平面向量的数量积三年27考高考指数:1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.1.平面向量数量积的运算是高考考查的重点；2.应用数量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直是重点也是难点；3.题型以选择题和填空题为主，与三角函数、解析几何等知识点交汇则以解答题为主.1.平面向量的数量积(1)数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则向量a与b的数量积是数量_，记作ab，即ab=_.(2)向量的投影设为a与b的夹
2、角，则向量a在b方向上的投影是_；向量b在a方向上的投影是_.|a|b|cos|a|b|cos|a|cos|b|cos(3)数量积的几何意义数量积ab等于_的乘积.a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos【即时应用】(1)已知正三角形ABC的边长为1，则 =_；方向上的投影为_.(2)已知|a|=1，|b|=2，ab=1，则向量a、b的夹角等于_.【解析】(1)方向上的投影为(2)又0180,=60.答案：(1)(2)602.平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，为向量a,b的夹角.结论几何表示坐标表示模数量积夹角x1x2+y1y2=0【即
3、时应用】(1)思考：若ab0 090(ab0 900(0)是为锐角(钝角)的必要而不充分条件.【例3】(1)(2011湖北高考)若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于()(2)(2011浙江高考)若平面向量满足且以向量为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是_.【解题指南】(1)先求出2a+b、a-b的坐标，再用夹角的坐标公式求夹角.(2)利用平行四边形的面积可得出sin的范围，进而求出夹角的范围.【规范解答】(1)选C.2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3)，a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3)，(2a+b)(a-b)=30+33=9
4、,|2a+b|=3 ,|a-b|=3,又0，=.(2)由可得，答案：【反思感悟】求两个向量的夹角时，需求出两向量的数量积，两向量的模之积或者它们之间的倍数关系，再求cos,进而求，要注意0,.【满分指导】平面向量主观题的规范解答【典例】(14分)(2011陕西高考)叙述并证明余弦定理.【解题指南】利用向量数量积证明，由把展开利用代入，即可证明.【规范解答】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍.或：在ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，有a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcos
5、C.5分证明：如图，10分=b2-2bccosA+c2，即a2=b2+c2-2bccosA，12分同理可证b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.14分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：(1)余弦定理用文字语言叙述不完整、不规范，用符号语言表述时三个只写一个.(2)用证明时计算失误.备考建议解决平面向量数量积问题时，还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注：(1)公式记错(2)对向量的夹角理解错误(3)混淆向量平行与垂直的充要条件另外熟练掌握数量积问题的常见求法，才能快速正确
6、解决平面向量的数量积问题.1.(2011重庆高考)已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线，那么ab的值为()(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】选D.a+b=(3,2+k),因为a+b与a共线，所以2+k-3k=0,解得k=1,所以ab=12+12=4.2.(2011辽宁高考)若a,b,c均为单位向量，且ab=0,(a-c)(b-c)0,则|a+b-c|的最大值为()(A)-1 (B)1(C)(D)2【解析】选B.由(a-c)(b-c)0,得ab-ac-bc+c20,又ab=0且a,b,c均为单位向量，得-ac-bc-1,|a+b-c|2=(a+b-c)2=a2+b2+c2+2(ab-ac-bc)=3+2(-ac-bc)3-2=1,故|a+b-c|的最大值为1.3.(2011安徽高考)已知向量a、b满足(a+2b)(a-b)=-6，且|a|=1，|b|=2，则a与b的夹角为_.【解析】设a与b的夹角为,(a+2b)(a-b)-6，即12+ab-222=-6，则ab=1，所以，所以=60.答案：604.(2011上海高考)在正三角形ABC中，D是BC上的点.若AB=3，BD=1，则=_.【解析】=答案：
