1、第二节 平面向量基本定理与坐标运算内 容要 求ABC平面向量的坐标表示三年2考高考指数:不共线向量有且只有一对互相垂直【即时应用】判断下列关于基底的说法是否正确(请在括号内打“”或“”).(1)在ABC中，可以作为基底.()(2)在可以作为基底，但不能作为基底.()(3)能够表示一个平面内所有向量的基底是惟一的.()(4)零向量不能作为基底.()【解析】由基底的定义可知(1)(2)(4)正确；(3)只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，故(3)错误.答案：(1)(2)(3)(4)(x,y)终点A(x,y)【即时应用】(1)思考：向量的坐标与基底的关系是怎样的？提示：向量的坐标由基底
2、惟一确定，对于同一向量，不同的基底，有不同的坐标.(2)已知O为原点，则x=_,y=_.【解析】答案：-1 -23.平面向量的坐标运算向量的加、减法实数与向量的积向量的坐标【即时应用】(1)已知(2)已知点A(-1，-5)和向量则点B的坐标为_.(3)设则实数p、q的值分别为_、_.【解析】(1)(2)设B(x,y)，则(x,y)=(-1,-5)+(6,9)=(5,4).(3)(3，-2)=p(-1，2)+q(1,-1)=(-p+q,2p-q),答案：4.向量平行的坐标表示设【即时应用】(1)已知(2)设=(2,1)共线，则=_.【解析】(1)(2)又答案：平面向量基本定理及其应用【方法点睛】
3、用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)已知基底时，可将条件和结论中的向量用基底表示，再通过基底的运算来解决.(2)未知基底时，要先根据题目条件合理选择基底.(3)注意平面几何中平行线、三角形中某些性质的应用.【例1】如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知【解题指南】直接用有难度，可换一个角度，把看成基向量，用再利用方程思想求出【规范解答】设因为M，N分别为CD，BC的中点，所以因而【反思感悟】基底的作用(1)以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可以表示成这组基底的线性组合，基底不同,表示也不同.(2)利用基底表示未知向量，实质就是利
4、用平行四边形法则或三角形法则进行基底的加减运算或数乘运算.平面向量的坐标运算【方法点睛】1.向量的几种运算体系(1)向量有三种运算体系，即几何表示下的几何运算，字母表示下的运算和坐标表示下的代数运算.(2)几何表示下的几何运算应注意三角形法则、平行四边形法则；字母表示时，注意运算律的应用；坐标运算时要牢记公式，细心计算.(3)向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而使几何问题可转化为代数运算.2.两向量相等的充要条件两向量相等的充要条件是它们的对应坐标分别相等，即利用向量相等可列出方程组求其中的未知量，从而解决求字母取值、求点的坐标及向量的坐标等问题.【例2】(1)设平面向量
5、(2)已知A(2，3)，B(5，4)，C(7，10),求若【解题指南】(1)由向量的坐标运算法则求解即可.(2)利用为点B的坐标减去点A的坐标求解.利用向量相等列出关于m,n的方程组求解.【规范解答】(1)答案：(7,3)【反思感悟】向量坐标运算的注意点(1)求解平面向量坐标的加法、减法、数乘运算，以及求向量的坐标表示等问题，关键是理解平面向量线性运算和坐标形式的性质与规律.(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.平面向量共线的坐标表示【方法点睛】利用两向量共线解题的技巧(1)在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入即可得到所
6、求的向量.(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若则的充要条件是”解题比较方便.【提醒】1.利用向量共线的充要条件解题时，易忽视条件中“非零向量”的限制，解题时要注意零向量的特殊性、方向的任意性，避免造成不必要的错误.2.若为非零向量，当时，的夹角为0或180，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错.【例3】已知(1)当k为何值时，(2)若且A、B、C三点共线，求m的值.【解题指南】(1)利用向量共线的充要条件列出关于k的方程求解即可.(2)可引入参数使的坐标形式求m.【规范解答】(2)方法一:A、B、C三点共线，即A、B、C三点共线，8m-3(2m+1)=0,即2m-3=0,【
7、反思感悟】向量平行的坐标表示的应用(1)向量平行的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.(2)在利用求参数值时，可以引入参数利用列方程组求解；如均为坐标形式，可直接列方程求解.【易错误区】忽视向量平行的充要条件导致错误【典例】(2011湖南高考)设向量满足且的方向相反，则的坐标为_.【解题指南】设利用列出关于的方程求解即可.【规范解答】方向相反，可设解得=-2,或=2(舍)，故答案：(-4，-2)【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议:误区警示在解答本题时有两点容易出错:(1)误认为“的方向相反致使设出现增解(4，2)；(2)知识性错误，向
8、量共线的条件掌握不准而导致错解或无法解题.备考建议解决平面向量基本定理与坐标表示问题时还有以下几点易错，在备考时要高度关注:(1)遗漏零向量，零向量与任一向量平行；(2)混淆向量共线与向量垂直的充要条件.1.(2011北京高考)已知向量则k=_.【解析】又共线，解得k=1.答案：12.(2011上海高考改编)设A1,A2,A3,A4是平面上给定的4个不同点，则使成立的点M的个数为_.【解析】方法一：取特殊值，令A1(0,0),A2(0,1),A3(1,1),A4(1,0),则满足的条件的点有且仅有1个，即为正方形A1A2A3A4的中心.方法二：设M(x,y),Ai=(xi,yi)(i=1,2,3,4),则由点M只能有一个.答案：13.(2012南通模拟)若【解析】由题意知x+log83=0,即则答案：
