1、第二节 诱导公式三年1考高考指数:能利用单位圆中的三角函数线推导出,的正弦、余弦、正切的诱导公式.1.利用诱导公式求值或化简三角函数式是考查重点也是热点.2.主要以选择题、填空题的形式考查.三角函数的诱导公式(1)三角函数的诱导公式函数角sinxcosxtanx+2k（kZ）-+-+-sinsincostancos-sin-costansin-cos-tan-tancossincos-sincot-cot(2)诱导公式的记忆方法与规律：记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.(解释：公式中的角可以表示为k(kZ)的形式，“奇、偶”是指k的奇偶性；“符号”是指把任意角看作是锐角时原函数值的符号)可
2、以分类记忆：函数名称“变与不变”，函数值的符号“变与不变”.【即时应用】(1)思考:“符号看象限”中符号是否与的大小有关？提示:无关，只是把从形式上看作锐角，从而2k+，+,-,-,-，+分别是第一、三、四、二、一、二象限角.(2)sin()=_.【解析】答案：(3)已知tan(+)=3,则=_.【解析】tan(+)=3,tan=3.原式=答案：7利用诱导公式求值【方法点睛】利用诱导公式解题的原则和步骤(1)诱导公式应用的原则：负化正、大化小，化到锐角为终了.(2)诱导公式应用的步骤：【提醒】诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号.任意负角的三角函数任意正角的三角函数02的角的三角函
3、数锐角三角函数【例1】(1)(2012蚌埠模拟)已知(,),则=_.(2)已知为第三象限角,化简f()；若求f()的值.【解题指南】(1)先求tan,再利用诱导公式化简代数式,将tan的值代入.(2)直接利用诱导公式化简约分.利用在第三象限及同角三角函数关系的变形式得f().【规范解答】(1)sin=,(,),答案：从而又为第三象限角,即f()的值为【反思感悟】在利用诱导公式求值时，一般要先化简，再根据条件求值，掌握诱导公式的关键是对“函数名称”和“正负号”的正确判断.另外，诱导公式的应用非常灵活，可以正用、逆用和变形应用,但是要尽量避开平方关系.利用诱导公式化简证明【方法点睛】1.利用诱导公
4、式化简三角函数的思路分析结构特点，选择恰当公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式.2.三角恒等式证明的常用方法(1)从左向右证或从右向左证(以从繁化到简为原则).(2)两边向中间证.(3)证明一个与原等式等价的式子,从而推出原等式成立.【例2】(1)化简:(2)求证:对于任意的整数k,【解题指南】(1)把所给的三角函数式化简，约分得结果.(2)由于此题中的k不明确，需要对其分偶数和奇数讨论.【规范解答】(1)原式=(2)当k为偶数时,设k=2n(nZ),则原式=当k为奇数时,设k=2n+1,nZ，则原式=故对任意的整数k,【反思感悟】1.在用诱导公式时,式子符号的判断看象限,注意把任意
5、角看成锐角来处理.2.把异角利用诱导公式化为同角,再用同角三角函数关系式化简是求解的关键.诱导公式在三角形中的应用【方法点睛】三角形中的诱导公式在三角形ABC 中常用到以下结论:sin(A+B)=sin(-C)=sinC,cos(A+B)=cos(-C)=-cosC,tan(A+B)=tan(-C)=-tanC,【例3】在ABC中，若sin(2-A)=-sin(-B),cosA=-cos(-B),求ABC的三个内角.【解题指南】先利用诱导公式化简已知条件，再利用平方关系求得cosA，进而可求得角A,B,C.【规范解答】由已知得两式平方相加得2cos2A=1,即或(1)当时,又角A、B是三角形的
6、内角,A=B=(2)当时，又角A、B是三角形的内角，A=B=不合题意.综上知，【反思感悟】1.三角形中常用角的变形结论有：A+B=-C；2A+2B+2C=2；2.求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角.【满分指导】关于诱导公式主观题的规范解答【典例】(12分)(2012合肥模拟)已知(1)求 的值;(2)求 的值.【解题指南】利用已知结合诱导公式求出cos和sin，把所给三角函数式利用诱导公式和三角函数关系式化简，即可求得.【规范解答】(1)2分cos=又(0,),sin=4分6分10分12分【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
7、失分警示在解答本题时有以下两点容易造成失分：(1)忽略的范围而使解的三角函数值符号错误；(2)在化简时公式应用错误，而使结果错误.备考建议在用诱导公式解三角函数的问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)诱导公式记忆不准确;(2)不注意角的范围和象限，造成符号的错误.另外,需要熟练掌握几种常见角的变形和公式的变形，才能快速正确地解决这类问题.1.(2012西安模拟)sin330=()【解析】选B.sin330=sin(360-30)=sin(-30)2.(2012南京模拟)已知则sin(+)=_.【解析】又答案：3.(2012滁州模拟)若cos=,是第四象限角,则sin(-2)+sin(-3)cos(-3)=_.【解析】原式=-sin(2-)+-sin(3+)cos(3-)=sin+-sin(+)cos(-)=sin+sin(-cos)cos=,是第四象限角,原式=答案：
