1、第四节条件概率与事件的独立性高考指数:内容要求ABC条件概率及相互独立事件1.条件概率(1)条件概率的定义一般地，对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率，记为_.(2)条件概率公式与乘法公式条件概率公式：P(A|B)=_(其中P(B)0);乘法公式:_.P(A|B)P(AB)=P(A|B)P(B)【即时应用】(1)设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为则事件A发生的概率为_.(2)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼
2、苗的概率为_.(3)掷两枚均匀的骰子，已知它们的点数不同，则至少有一枚是6点的概率为_.【解析】(1)由题意知，(2)设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为：P(B|A)0.8，P(A)0.9.根据条件概率公式P(AB)P(B|A)P(A)0.80.90.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.(3)设事件A为至少有一枚是6点，事件B为两枚骰子的点数不同，则n(B)=65=30,n(AB)=10，则答案：2.事件的相互独立性(1)两个事件A、B相互独立的充要条件是_.(2)若事件A1，A2，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率为P(A
3、1A2An)=_.(3)如果事件A与B相互独立，那么事件A与与与也都是相互独立的.P(AB)=P(A)P(B)P(A1)P(A2)P(An)【即时应用】(1)思考：“两事件相互独立”与“两事件互斥”有何不同？提示：两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥.(2)甲射击命中目标的概率为乙射击命中目标的概率为当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为_.【解析】答案：(3)加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为_.【解析】依题意得，加工出来的
4、零件的正品率是(1)(1)(1)因此加工出来的零件的次品率是答案：条件概率【方法点睛】条件概率的求法(1)利用定义计算：分别求P(A)和P(AB)，由P(B|A)=可求.(2)利用缩小基本事件范围的观点计算：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)=【例1】10件产品中有2件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件.已知第一次抽到的是正品，求第二次抽到次品的概率.【解题指南】根据条件概率的定义计算或将问题等价于“从9件产品(有2件次品)中，任取一件，求这件是次品的概率”，然后计算.【规范解答】方法一：从10件产品中不放回抽
5、取2次，记“第一次抽到正品”为事件A，“第二次抽到次品”为事件B.“从10件产品中不放回抽取2次”共包含90个基本事件.事件A包含8972个基本事件.所以P(A)事件AB，即“从10件产品中依次抽2件，第一次抽到的是正品，第二次抽到的是次品”包含8216个基本事件.已知第一次抽到的是正品，第二次抽到次品的概率为P(B|A)方法二：因为已知第一次抽到的是正品，所以相当于“从9件产品(有2件次品)中，任取一件，求这件是次品的概率”.由古典概型知其概率为【反思感悟】1.此类问题解题时应注意着重分析事件间的关系，辨析所求概率是哪一事件的概率，再运用相应的公式求解.2.在使用条件概率公式P(B|A)=求
6、概率时，需要求P(AB)，在求P(AB)时，应注意AB的具体含义，若AB，则P(AB)P(B).相互独立事件的概率【方法点睛】1.判断事件是否相互独立的方法(1)利用定义:事件A、B相互独立P(AB)=P(A)P(B).(2)利用性质:A与B相互独立,则A与与B 与也都相互独立.(3)利用背景:有放回地摸球,每次摸球结果是相互独立的.当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.2.常见词语的理解在解题过程中,要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.已知两个事件A、B，则(1)A、B中至少有一个发生的事件为A+B
7、；(2)A、B都发生的事件为AB；(3)A、B都不发生的事件为；(4)A、B恰有一个发生的事件为A +B；(5)A、B中至多有一个发生的事件为【提醒】在应用相互独立事件的概率公式时，对含有“至多有一个发生”、“至少有一个发生”的情况，可结合对立事件的概率求解.【例2】(2012苏州模拟)某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为且各轮问题能否正确回答互不影响.(1)求该选手被淘汰的概率；(2)该选手在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的概率分布.【解题指南】(1)选手被淘汰包括：第一轮被淘汰；第一轮通过第二轮被淘汰；前两轮通过第三轮被淘汰.(2)先求出的值，再求出相应的概率，最后列出概率分布.【规范解答】(1)记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai(i=1,2,3)，则 该选手被淘汰的概率(2)的可能取值为1,2,3，P(=1)=的概率分布为123P【反思感悟】解决事件的概率问题的一般步骤(1)记“事件”或设“事件”.(2)确定事件的性质.古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验，把所给问题归结为四类事件中的某一种.(3)判断事件的运算是和事件还是积事件,即事件是至少有一个发生,还是同时发生,然后分别运用加法或乘法公式.(4)运用公式进行计算.(5)简明写出答案.
