1、2022届高三开学摸底考试数学试卷（新高考卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则( )A.B.C.D.2.若(i为虚数单位)，则复数z的虚部为( )A.B.C.D.3.命题的否定为( )A.B.C.D.4.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约为0.618.这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金比.在几何世界中有很多黄金图形，在三角形中，如果相邻两边之比等于黄金分割比，且它们的夹角的余弦值为黄金分割比值，那么这个三角形一定是直角三角形，这个三角形称
2、为黄金分割直角三角形.在正四棱锥中，以黄金分割直角三角形的长直角边作为正四棱锥的高，以短直角边的边长作为底面正方形的边心距（正多边形的边心距是正多边形的外接圆圆心到正多边形某一边的距离），斜边作为正四棱锥的斜高，所得到的正四棱锥称为黄金分割正四棱锥.在黄金分割正四棱锥中，以四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为( )A.B.C.1D.5.已知F是抛物线的焦点，M，N是该抛物线上两点，则的中点到准线的距离为( )A.B.2C.3D.46.在2020年新冠肺炎疫情期间，某日湖北黄冈英山县实现确诊病例“清零”，当地政府为感谢湖南与山东医护工作者对英山县的支援，特地邀请两地医护工作者去游
3、英山的风景区，先计划从“吴家山森林公园”“乌云山茶叶公园”“大别山丽景风景区”“神峰山庄”“英山烈士陵园”“南武当山风景区”六大风景区任选两个景区进行游览休整，则选中“吴家山森林公园”的概率是( )A.B.C.D.7.已知幂函数满足，若，则的大小关系是( )A.B.C.D.8.已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，则的解集为( )A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.若，且，则( )A.B.C.D.10.已知正方体的展开图如图所示，则下列说法正确的有( )A. B
4、.平面BDEC.平面BCHE D.11.已知函数的部分图像如图所示，则下列关于函数的说法中正确的是( )A.函数最靠近原点的零点为 B.函数的图像在y轴上的截距为C.函数是偶函数D.函数在上单调递增12.已知为数列的前n项和，对任意的都有，且4是与的等差中项，则的值可能为( )A.B.C.4D.5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_.14.已知向量的夹角为，则_.15.已知三棱锥中，E为PC的中点，且的面积为，则三棱锥的外接球的表面积为_.16.对于任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应
5、写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知等差数列是递增数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.18.（12分）已知中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，.（1）求外接圆的面积；（2）若C，A，B成等差数列，且，求的值以及的面积.19.（12分）2020年10月29日，十九届五中全会发布公报，提出“实施渐进式延迟法定退休年龄”，标志着延迟退休将由此前的研究层面变成现实.某研究机构以3年为一个调研周期，统计某地区的新增的退休人数，每3年的数据变化情况如下表：调研周期x1234新增退休人数y（单位：万人）46911通过数据分析得到调研周期x与对应的新增退休
6、人数y（单位：万人）具有线性相关关系.（1）求新增退休人数y（单位：万人）关于调研周期x的回归方程，并预测下一个调研周期内该地区新增退休人数；（2）该研究机构为了调研市民对延迟退休的态度，随机采访了100名市民，将他们的意见和性别进行了统计，得到如下的22列联表：支持不支持合计男性42850女性371350合计7921100根据上面的列联表判断，是否有90%的把握认为支持延迟退休与性别有关？附：线性回归方程：，其中，.，.0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.02420.（12分）在四棱锥中，底面ABCD，BD平分，.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.21.（
7、12分）已知椭圆的焦距为2，点在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l与椭圆C相切于点M，与抛物线的准线相交于点N，若点P为平面内一点，且，求点P的坐标.22.（12分）已知函数，.（1）求的单调区间，并求当时，的最大值；（2）若对任意的，恒成立，求a的取值范围.答案以及解析1.答案：A解析：因为，所以，故选A.2.答案：B解析：本题考查复数的除法运算、复数的虚部.依题意，故复数z的虚部为，故选B.3.答案：B解析：命题的否定为.故选B.4.答案：D解析：本题考查数学文化背景下的黄金分割正四棱锥的概念及其有关计算.如图，由题可知，为黄金分割直角三角形，设，则.又，则，则，以四棱锥的高
8、为边长的正方形的面积.正四棱锥的四个侧面是全等的，以四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为.故选D.5.答案：C解析：本题考查抛物线的定义及其几何性质。过点M，N分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，由，得，所以的中点到准线的距离为，故选C.6.答案：D解析：本题考查计数原理、古典概型.从六大风景区中任选两个景区进行游览休整，共有（种）情况，其中，选中“吴家山森林公园”的情况有（种）情况，故所求的概率为.故选D.7.答案：C解析：由可得，即，由此可知函数在R上单调递增.而由换底公式可得，于是，又，故a，b，c的大小关系是.8.答案：B解析：通解：因为函数是偶函数，所以的图象关于直线
9、对称.由在上单调递减，得在上单调递增，且，所以当或时，当时，等价于，或即或解得或，故选B.优解：当时，所以排除C；因为函数是偶函数，所以的图象关于直线对称，又在上单调递减，所以在上单调递增，又，所以，所以当时，故排除A，D.故选B.9.答案：BD解析：对A，当时，故错误.对B，.因为，所以，所以，故正确.对C，当，时，满足条件，但，故错误.对D，由，且，得，当且仅当时，取等号.因为，所以，则，所以，故正确.选BD.10.答案：ABC解析：本题考查正方体的展开图，空间中线线、线面的位置关系.由正方体的展开图还原正方体如图.对于A，因为平面，平面ABCD，所以，故A正确；对于B，由，得四边形BCH
10、E为平行四边形，所以，又平面，平面BDE，所以平面BDE，故B正确；对于C，因为平面，平面ABFE，所以，又，所以平面BCHE，故C正确；对于D，易知，即，故D错误.故选ABC.11.答案：ABC解析：本题考查三角函数的零点、图像与性质.根据函数的部分图像知，设的最小正周期为T，则.，且，故.令，得，即，因此函数最靠近原点的零点为，故A正确；由，因此函数的图像在y轴上的截距为，故B正确；由，因此函数是偶函数，故C正确；令，得，此时函数单调递增，于是函数在上单调递增，在上单调递减，故D不正确.故选ABC.12.答案：BCD解析：本题考查等差数列的性质.由对任意的都有知数列为等差数列，设的公差为d
11、，则由4是与的等差中项，得，即.设，则，代入式整理得.因为方程有实根，所以，整理得，即，故选BCD.13.答案：4解析：本题考查双曲线的方程与几何性质、渐近线方程及其性质.由双曲线可得其渐近线方程为，而其中一条渐近线为，则有，解得，故，所以C的焦距为.14.答案：解析：本题考查平面向量的数量积、向量的模的运算.15.答案：解析：如图，取AB的中点F，连接EF，PF，因为，所以，所以在中，.易知，则，所以.因为的面积为，所以，解得.连接FC，易知，所以，即为直角三角形，则，所以，则，所以，所以，所以E为三棱锥的外接球球心，其半径，所以外接球的表面积.16.答案：解析：，设，则，当时，单调递减；当
12、时，单调递增，所以，所以，所以原不等式等价于，即.设，则，所以在上单调递减，所以.17.答案：(1)设等差数列的公差为.由题得解得所以.(2)，则，两式相减得，故.18.答案：（1）依题意得.因为，所以，由正弦定理，得（R为外接圆的半径），又，即，所以，即，故外接圆的面积.（2）由（1）可知，故，又C，A，B成等差数列，故，所以，.故由，解得.又，故的面积.由，得，则.在中，由余弦定理得.19.答案：（1）由题表中的数据可得，所以y关于x的线性回归方程为.当时，可得，所以预测下一个调研周期内该地区新增的退休人数为13.5万人.（2）因为，所以没有的把握认为支持延迟退休与性别有关.20.答案：(
13、1)取DC的中点E，连接BE，则，又，所以四边形ABED为菱形，所以，所以，即.因为底面，平面ABCD，所以.因为，所以平面PBD，又平面PBD，所以.(2)如图，取AB的中点F，连接DF.因为，平分，所以.因为，所以是等边三角形，所以，所以，即.因为底面ABCD，所以，.故以D为坐标原点，以DF，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨令，则，所以，.设平面PAB的法向量为，则取，得.设平面PBC的法向量为，则取，得.故.由图可知，二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为.21.答案：（1）由题得解得所以椭圆C的方程为.（2）根据题意可知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为，联立消去y并整理得.由，得，所以，即.因为抛物线的准线方程为，所以当时，所以.设点，因为，所以，所以，即（*），当即时，方程（*）恒成立，所以点P的坐标为.22.答案：（1）的定义域为，则，则当时，单调递增；当时，单调递减.的单调递增区间为，单调递减区间为.当时，.（2）由题得当时，恒成立，即恒成立，即恒成立.令，则.令，则在上恒成立，在上单调递增，且当时，当时，使得，即，在上单调递减，在上单调递增，故，即.而在上单调递增，又，即当时，恒成立，故实数a的取值范围为.
