1、第六节模拟方法(几何概型)、概率的应用三年6考高考指数:1.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率；2.了解几何概型的意义.1.对几何概型的考查是高考的重点；2.题型以选择题和填空题为主，经常与线性规划、不等式的解集、方程的根所在的区间等问题相结合.模拟方法与几何概型(1)模拟方法对于某些无法确切知道概率的问题,常借助_来估计某些随机事件发生的概率.用_可以在短时间内完成大量的重复试验.模拟方法模拟方法(2)几何概型向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M,若点M落在_的概率与G1的_成正比，而与G的_、_无关，即P(点M落在G1)=,则称这种模型为几何概型.几何概型中的G也可以是_或_的
2、有限区域,相应的概率是_或_.子区域G1 G面积形状位置空间中直线上体积之比长度之比【即时应用】(1)思考：古典概型与几何概型有何区别？提示：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限个，几何概型的基本事件有无限个.(2)判断下列概率模型，是否是几何概型.(请在括号中填写“是”或“否”)在区间10,10内任取一个数，求取到1的概率；()在区间10,10内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；()在区间10,10内任取一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；()向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率.()【解析
3、】中概率模型不是几何概型，虽然区间10,10内有无限多个数，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；中概率模型是几何概型，因为区间10,10和1,1上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性).中概率模型不是几何概型，因为在区间10,10内的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；中概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到，故满足无限性和等可能性.答案：否 是 否 是(3)在平面直角坐标系xOy中，设F是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，
4、E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向F中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是_.【解析】如图：区域F表示边长为4的正方形ABCD的内部(含边界)，区域E表示单位圆及其内部，因此P答案：(4)在集合Am|关于x的方程无实根中随机地取一元素m，恰使式子lgm有意义的概率为_.【解析】由于得1m0.在数轴上表示为，故所求概率为答案：与长度(角度)有关的几何概型【方法点睛】1.与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P(A)=2.与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，不可用线段代替，这
5、是两种不同的度量手段.【提醒】有时与长度或角度有关的几何概型,题干并不直接给出,而是将条件隐藏,与其他知识综合考查.【例1】(1)在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率为_.(2)在等腰RtABC中，过直角顶点C在ACB内作一条射线CD与线段AB交于点D，则ADAC的概率为_.【解题指南】(1)问题可转化为：直径上到圆心O的距离小于的点构成的线段长与直径长之比.(2)要使ADAC，可先找到AD=AC时ACD的度数，再求出相应区域的角，利用几何概型的概率公式求解即可.【规范解答】(1)记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图
6、，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF(此时F为OE的中点)，由几何概型概率公式得：P(A)=答案：(2)射线CD在ACB内是均匀分布的，故ACB90可看成试验的所有结果构成的区域，在线段AB上取一点E，使AEAC，则ACE可看成事件构成的区域，所以满足条件的概率为答案：【反思感悟】将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解.
7、与面积(体积)有关的几何概型【方法点睛】1.与面积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：P(A)=2.与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为：P(A)=【例2】(1)设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是cm.现用直径为2 cm的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线没有公共点的概率为_.(2)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥MABCD的体积小于的概率为_.【解题指南】(1)硬币落下后与格线没有公共点即表示硬币中心到三角形各边(
8、格线)的距离都大于1，在等边三角形内作三条与等边三角形三边距离均为1的直线构成小等边三角形，当硬币的中心在小三角形内时，硬币与三边都无交点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题.(2)先根据四棱锥MABCD体积等于时M的位置，再找出体积小于时M的位置.【规范解答】(1)记E“硬币落下后与格线没有公共点”，如图所示.小三角形的边长为P(E)答案：(2)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中，设四棱锥MABCD的高为h，则又S四边形ABCD=1，若体积小于则即点M在正方体的下半部分，答案：【反思感悟】对于几何图形中的几何概型问题，寻求事件构成区域的关键是先找出符合题
9、意的临界位置，如本例(1)中“在等边三角形内作三条与等边三角形三边距离均为1的直线构成小等边三角形”；(2)中先找出满足条件的临界值时M的位置，再寻求事件构成的区域.生活中的几何概型问题【方法点睛】生活中的几何概型度量区域的构造(1)将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率.(2)根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域.【提醒】当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵
10、坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决.【例3】(2012西安模拟)甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.【解题指南】要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上.【规范解答】这是一个几何概型问题.设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，A为“两船都不需要等待码头空出”，则0 x24,0y24,要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上,即yx1
11、或xy2.故所求事件构成集合A=(x,y)|yx1或xy2,x0,24,y0,24.A为图中阴影部分，全部结果构成集合为边长是24的正方形.所求概率为P(A)=【反思感悟】解答本题的关键是把两个时间分别用x，y两个坐标表示，构成平面内的点(x，y)，从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化成面积型几何概型的问题.【易错误区】对几何图形认识不清致误【典例】(2011江西高考)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为_.【解题指南】根据条
12、件先求出小波周末去看电影的概率，再求出他去打篮球的概率，易得周末不在家看书的概率.【规范解答】记“看电影”为事件A，“打篮球”为事件B，“不在家看书”为事件C.答案：【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时易出现以下两个错误：(1)错填原因是不能将事件分解成两个事件的和；(2)把事件对应的区域误认为是长度问题，导致错误.备考建议解决几何概型问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；(2)基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；(3)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事
13、件是否具有等可能性导致错误.1.(2011福建高考)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于()【解析】选C.由题意，知2.(2011湖南高考)如图，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)=_；(2)P(B|A)=_.【解析】关键是计算出正方形的面积和扇形的面积.答案：(1)(2)3.(2012新余模拟)记函数f(x)=-x2+2x的图像与x轴围成的区域为M，满足的区域为N，若向区域M上随机投一点P，则点P落入区域N的概率为_.【解析】如图，区域N的面积为21=1.区域M的面积为所求概率为答案：
