1、第二节利用空间向量证明平行与垂直内容要求ABC空间向量的共线与垂直直线的方向向量与平面的法向量三年1考高考指数:1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量直线l上的向量以及与的非零向量叫做直线l的方向向量.共线(2)平面的法向量如果表示非零向量的有向线段所在直线平面，那么称向量垂直于平面,记作_.此时把向量叫做平面的.垂直于法向量【即时应用】(1)思考：如何确定直线的方向向量？在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？提示：在直线上任取两点，由这两点确定的向量即可作为直线的方向向量.给其中某一变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐
2、标(2)若A(0,2,),B(1,-1,),C(-2,1,)是平面内的三点，设平面的法向量=(x,y,z)，则xyz=.【解析】=(1，-3，-)，=(-2,-1,-),由得所以xyz=yy(-y)=23(-4)答案：23(-4)位置关系向量表示平面,的法向量分别为2.直线的方向向量与平面的法向量与线面的位置关系l1l2l1l2l1 l1 直线l1,l2的方向向量分别为直线l1的方向向量为平面的法向量为【即时应用】(1)若平面,的法向量分别为=(1,2,4)，=(x，-1，-2)，并且，则x的值为(2)若直线l1,l2的方向向量分别为=(2,4,-4),=(-6,9,6),则直线l1,l2的位
3、置关系是_【解析】(1)由得解得x10.(2)由=2(-6)+49+(-4)6=0得从而l1l2答案：(1)10(2)l1l2利用空间向量证明平行关系【方法点睛】用向量证平行的方法(1)证明两平面的法向量为共线向量；(2)转化为线面平行、线线平行问题.证明两直线的方向向量共线.线面平行线线平行(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行.面面平行【例1】(2012泰州模拟)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，E,F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1,C1D1的中点.求证：(1)DE平面AMN;(2)平面 AMN平面E
4、FDB.【解题指南】建立空间直角坐标系，求，求平面AMN及平面EFDB的法向量，分析它们的关系，得证.【规范解答】分别以DA、DC、DD1所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1，0,0),B(1，1，0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),D1(0,0,1),C1(0,1,1).N(,0,1),M(1,1),E(，1，1)，(0,1)=(-,0,1),=(,0),=(1,1,0),=(0,1),=(,1,1).(1)设平面AMN的一个法向量为=(x1,y1,z1),则y1=-x1=-2z1,取z1=1,得=(2,-2,1),又平面AMN,DE平面AMN.(
5、2)设平面EFDB的一个法向量为=(x2,y2,z2),由可得取z2=1.平面EFDB的一个法向量=(2,-2,1),平面AMN平面EFDB.【反思感悟】(1)本题(1)证线面平行用了直线DE的方向向量垂直于平面AMN的法向量的方法.(2)本题(2)证明面面平行用了两平面的法向量平行的方法给予证明，当然此题还可以用如果，且，则两个平面平行的方法给予证明.利用空间向量证明垂直关系【方法点睛】用向量证明垂直的方法线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直
6、的判定定理用向量表示【例2】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,B=C=90,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30的角.求证:CM平面PAD;求证:平面PAB平面PAD.【解题指南】建立空间直角坐标系.可证明与平面PAD的法向量垂直；也可将分解为平面PAD内的两个向量的线性组合，利用共面向量定理证明.取AP中点E，利用向量证明BE平面PAD即可.【规范解答】由题意可知：以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.PC平面ABCD,PBC为PB与
7、平面ABCD所成的角，PBC=30.PC=2,BC=PB=4.D(0,1,0),B(0,0),A(4,0),P(0,0,2),M(),=(0,-1,2),=(3,0),=(),方法一:设=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,则即 令y=2,得=(-3,2,1).又CM平面PAD，CM平面PAD.方法二:=(0,1,-2),=(4,-2)，假设平面PAD，则存在x,y使则方程组的解为 由共面向量定理知与、共面，故假设成立，又CM平面PAD,CM平面PAD.取AP的中点E,连接BE，则E(2,1),PB=AB,BEPA.又(2，1)(3，0)=0，BEDA，又PADA=A.BE平面PAD,又BE平面PAB,平面PAB平面PAD.【反思感悟】1.利用空间向量解决空间中线面位置关系的证明问题，以代数运算代替复杂的空间想象，为解决立体几何问题带来了简捷的方法.2.用空间向量解决立体几何问题的关键是建立适当的坐标系，并准确地确定点的坐标，另外运算错误也是解题中常出现的问题.
