1、第八节二项分布及其应用三年11考高考指数:1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念；2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布；3.能解决一些简单的实际问题.1.相互独立事件、n次独立重复试验的概率及条件概率是高考的重点；2.利用数形结合、合理分类、准确判断概型来解决二项分布问题是高考的热点；3.题型以选择题和填空题为主，在解答题中常和分布列的有关知识结合在一起考查.1.条件概率及其性质条件概率的定义条件概率的性质注意:条件概率不一定等于非条件概率.若A,B_,则P(B|A)=P(B).相互独立【即时应用】(1)设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为在事件A发生的条件下，事件B发生的概
2、率为则事件A发生的概率为_.(2)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为_.(3)掷两枚均匀的骰子，已知它们的点数不同，则至少有一枚是6点的概率为_.【解析】(1)由题意知，P(AB)P(B|A)P(A)P(AB)P(B|A)(2)设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为：P(B|A)0.8，P(A)0.9.根据条件概率公式P(AB)P(B|A)P(A)0.80.90.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.(3)设事件A为至少有一枚是6点，事件B为两枚骰子的点数不
3、同.则n(B)=65=30,n(AB)=10，则P(A|B)=答案：(1)(2)0.72 (3)2.事件的相互独立性(1)设A、B为两个事件，若P(AB)=_，则称事件A与事件B相互独立.(2)若事件A与B相互独立，那么A与_，_与B，与_也相互独立.定义性质P(A)P(B)【即时应用】(1)思考：“相互独立”与“事件互斥”有何不同？提示：两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥.(2)甲射击命中目标的概率为乙射击命中目标的概率为当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为_.【解析】P答案：(3)加工某一零
4、件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为_.【解析】依题意得，加工出来的零件的正品率是因此加工出来的零件的次品率是答案：3.独立重复试验与二项分布独立重复试验二项分布定义计算公式在_条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，此时称随机变量X服从二项分布，记作_，并称p为_概率.用Ai(i=1,2,n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3An)=_.在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=_.(k=0,1,2,n)相同XB（n,p）成
5、功P（A1)P(A2)P(A3)P(An)Cnkpk(1-p)n-k【即时应用】(1)思考：二项分布的计算公式与二项式定理的公式有何联系？提示：如果把p看成a，1p看成b，则就是二项式定理中的通项.(2)已知随机变量X服从二项分布XB(6，)，则P(X2)等于_.【解析】答案：(3)一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是_.【解析】由n次独立重复试验恰有k次发生的概率公式得：P(k2)答案：条件概率【方法点睛】条件概率的求法(1)定义法:先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)=求P(B|A).(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件
6、数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)=【例1】(1)10件产品中有2件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件.已知第一次抽到的是正品，则第二次抽到次品的概率为_.(2)市场上供应的灯泡中,甲厂占70%,乙厂占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是80%,则市场上灯泡的合格率是_.【解题指南】(1)根据条件概率的定义计算或将问题等价于“从9件产品(有2件次品)，任取一件，求这件是次品的概率”，然后计算；(2)市场上的合格产品分为甲厂中的合格产品和乙厂中的合格产品两种情况,故可由互斥事件的概率公式求解.【规范解答】(1)方法一：从10件产品中不放回抽取2次
7、，记“第一次抽到正品”为事件A，“第二次抽到次品”为事件B.“从10件产品中不放回抽取2次”共包含90个基本事件.事件A包含8972个基本事件.所以P(A)事件AB，即“从10件产品中依次抽2件，第一次抽到的是正品，第二次抽到的是次品”包含8216个基本事件.P(AB)已知第一次抽到的是正品，第二次抽到次品的概率P(B|A)方法二：因为已知第一次抽到的是正品，所以相当于“从9件产品(有2件次品)，任取一件，求这件是次品的概率”.由古典概型知其概率为答案：(2)记A=甲厂产品,B=乙厂产品,C=合格产品,则C=AC+BC,所以P(C)=P(AC)+P(BC)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C
8、|B)=70%95%+30%80%=0.905=90.5%.答案：90.5%【反思感悟】1.此类问题解题时应注意着重分析事件间的关系，辨析所求概率是哪一事件的概率，再运用相应的公式求解.2.在使用条件概率公式P(B|A)=求概率时，需要求P(AB)，在求P(AB)时，应注意AB的具体含义，若，则P(AB)P(B).相互独立事件的概率【方法点睛】1.判断事件是否相互独立的方法(1)利用定义:事件A、B相互独立(AB)=P(A)P(B).(2)利用性质:A与B相互独立,则A与,与B,与 也都相互独立.(3)具体背景下:有放回地摸球,每次摸球结果是相互独立的.当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作
9、独立重复试验.2.常见词语的理解在解题过程中,要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.已知两个事件A、B则(1)A、B中至少有一个发生的事件为AB；(2)A、B都发生的事件为AB；(3)A、B都不发生的事件为(4)A、B恰有一个发生的事件为(5)A、B中至多有一个发生的事件为【提醒】在应用相互独立事件的概率公式时，对含有“至多有一个发生”、“至少有一个发生”的情况，可结合对立事件的概率求解.【例2】(2012揭阳模拟)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射
10、击是否击中目标，相互之间没有影响.(1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则停止射击.问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？【解题指南】由甲、乙两人射击是否击中目标相互独立，应采用相互独立事件的概率来求解.【规范解答】(1)设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件为“4次均击中目标”，则(2)设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B，则P(B)=(3)设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C，由于乙恰好射击5次后被中止射击，故必然是最后两次未击中
11、目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标.故P(C)=【反思感悟】解决事件的概率问题的一般步骤：(1)记“事件”或设“事件”.(2)确定事件的性质.古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验，把所给问题归结为四类事件中的某一种.(3)判断事件的运算是和事件还是积事件,即事件是至少有一个发生,还是同时发生,然后分别运用相加或相乘公式.(4)运用公式进行计算.(5)简明写出答案.独立重复试验与二项分布【方法点睛】1.独立重复试验的特点(1)每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生.(2)任何一次试验中事件发生的概率都是一样的.2.二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件
12、发生的概率是相同的.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生.(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.【例3】(2012梅州模拟)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.求：(1)甲恰好击中目标2次的概率；(2)乙至少击中目标2次的概率；(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率.【解题指南】(1)(2)直接利用二项分布求解；(3)事件“乙恰好比甲多击中目标2次”包括：“乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次”；“乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次”两种情况.【规范解答】(1)设X为甲击中目标的次数，则
13、：XB(3，)，故甲恰好击中目标2次的概率为P(X=2)=(2)设Y为乙击中目标的次数，则：YB(3,)，故乙至少击中目标2次的概率为P(Y2)=P(Y=2)+P(Y=3)=(3)设“乙恰好比甲多击中目标2次”为事件A，包含以下2个互斥事件，设B1为事件“乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次”，则P(B1)=设B2为事件“乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次”，则P(B2)=于是P(A)=P(B1)+P(B2)=即乙恰好比甲多击中目标2次的概率为【反思感悟】1.在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=k=0,1,2,n.在利用该公式时一定要审清公式中的n,k各是多少.
14、2.独立重复试验是相互独立事件的特例.一般情况下，有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，含有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单.【满分指导】相互独立事件概率主观题的规范解答【典例】(12分)(2011山东高考)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘.已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立.(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望E().【解题指南】(1)红队至少两人获胜的概率等于红队只有两人获胜的概率和红队有三人获胜的概
15、率之和.(2)先列出的所有值，并求出每个值所对应的概率，列出分布列，然后根据公式求出数学期望.【规范解答】(1)记甲对A、乙对B、丙对C各一盘中甲胜A、乙胜B、丙胜C分别为事件D，E，F,则甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C分别为事件2分根据各盘比赛结果相互独立可得红队至少两名队员获胜的概率为4分=0.60.5(1-0.5)+0.6(1-0.5)0.5+(1-0.6)0.5 0.5+0.60.50.5=0.55.6分(2)依题意可知=0,1,2,3，P(=0)=(1-0.6)(1-0.5)(1-0.5)=0.1；7分P(=1)=0.6(1-0.5)(1-0.5)+(1-0.6)0.5(1-0.5)+
16、(1-0.6)(1-0.5)0.5=0.35;8分P(=2)=0.60.5(1-0.5)+(1-0.6)0.50.5+0.6(1-0.5)0.5=0.4；9分P(=3)=P(DEF)=0.60.50.5=0.15.10分故的分布列为故E()=00.1+10.35+20.4+30.15=1.6.12分0123P0.10.350.40.15【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示与备考建议：失分警示在解答本题时有三点容易造成失分：(1)对“红队至少两名队员获胜”考虑不全面，造成遗漏某一基本事件；(2)的取值考虑不全面，漏掉其中一种情况；(3)计算不准确，造成失分.备考
17、建议解决相互独立事件的概率问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)相互独立事件的概率与条件概率混淆；(2)相互独立事件与独立重复试验分不清；(3)对相互独立事件的各种情况分析不到位，漏掉或增加某种情况.1.(2011广东高考)甲、乙两队进行排球决赛.现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()(A)(B)(C)(D)【解析】选D.由题意知，若最终乙队胜出，乙队获得冠军的概率为由对立事件概率公式得，甲队获得冠军的概率为P=2.(2011辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个
18、数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)=()(A)(B)(C)(D)【解析】选B.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，共有10个基本事件：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).事件A发生共有4个基本事件：(1，3)，(1，5)，（3，5)，(2，4).事件B发生共有1个基本事件：(2，4).事件A，B同时发生也只有1个基本事件：(2，4).根据条件概率公式得，P(B|A)=3.(2011重庆高考)将一枚均匀的硬币抛掷6次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为_.【解析】由题意知正面出现的次数多包含4次正面,5次正面和6次正面三种情况,故其概率答案：
