1、2016-2017学年甘肃省天水一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1集合A=xN|x6，B=xR|x23x0，则AB=（）A3，4，5B4，5，6Cx|3x6Dx|3x62已知复数为纯虚数，那么实数a=（）A1BC1D3设函数f（x）=，则f（2）+f（log212）=（）A3B6C9D124已知角的终边上有一点P（1，3），则的值为（）A1BC1D45若两个等差数列an和bn的前n项和分别是Sn和Tn，已知，则=（）A7BCD6函数y=xsinx+cosx的图象大致是（）ABCD7若ab0，cd0，则一定有（）ABCD8设x，y满足约束条件，若目标函数
2、z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为（）ABCD49若实数a，b满足，则ab的最小值为（）AB2CD410若不等式ax2+2ax42x2+4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（）A（2，2）B（2，2C（，2）2，）D（，211若等差数列an的前n项和Sn=n2，则的最小值为（）A4B8C6D712定义为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”若已知数列an的前n项的“均倒数”为，又，则=（）ABCD二、填空题（每小题5分，共20分）13已知实数x，y满足，则z=（x1）2+y2的最小值是14已知数列an中，a1=2，an+1=2an+32n，则数列an的通项公式a
3、n=15把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列an，若an=2015，则n=16下列命题中正确的有常数数列既是等差数列也是等比数列；在ABC中，若sin2A+sin2B=sin2C，则ABC为直角三角形；若A，B为锐角三角形的两个内角，则tanAtanB1；若Sn为数列an的前n项和，则此数列的通项an=SnSn1（n1）三、解答题（共70分）17在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=（1）求的值（2）若cosB=，b=2，求ABC的面积S18已知函数f（x）=x
4、2+（a1）x+b+1，当xb，a时，函数f（x）的图象关于y轴对称，数列an的前n项和为Sn，且Sn=f（n+1）1（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和Tn19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F（1）证明PA平面EDB；（2）证明PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小20已知数列an是递增的等比数列，满足a1=4，且的等差中项，数列bn满足bn+1=bn+1，其前n项和为sn，且S2+S6=a4（1）求数列an，bn的通项公式（2）数列an的前n项和为Tn，若不等式nlo
5、g2（Tn+4）bn+73n对一切nN*恒成立，求实数的取值范围21已知函数f（x）=lnxax+1，（1）当a时，讨论函数f（x）的单调性；（2）设g（x）=x22bx+，当a=时，若对任意x1（0，2），存在x21，3，使f（x1）g（x2），求实数b的取值范围选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分10分）22已知直线l的参数方程为 （t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为=2cos（）（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，设点P（0，），求|PA|+|PB|选
6、修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）23已知函数f（x）=|xa|（）若不等式f（x）2的解集为0，4，求实数a的值；（）在（）的条件下，若x0R，使得f（x0）+f（x0+5）m24m，求实数m的取值范围2016-2017学年甘肃省天水一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1集合A=xN|x6，B=xR|x23x0，则AB=（）A3，4，5B4，5，6Cx|3x6Dx|3x6【考点】交集及其运算【分析】根据所给的两个集合，整理两个集合，写出两个集合的最简形式，再求出两个集合的交集【解答】解：集合A=xN|x6=0，1，2，3，4，5
7、，6，B=xR|x23x0=xR|x0或x3AB=4，5，6故选B2已知复数为纯虚数，那么实数a=（）A1BC1D【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出【解答】解：复数=为纯虚数，a1=0，1+a0，解得a=1故选：C3设函数f（x）=，则f（2）+f（log212）=（）A3B6C9D12【考点】函数的值【分析】先求f（2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和【解答】解：函数f（x）=，即有f（2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）=12=6，则有f（2）+f（log21
8、2）=3+6=9故选C4已知角的终边上有一点P（1，3），则的值为（）A1BC1D4【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得sin 和cos的值，再利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果【解答】解：角的终边上有一点P（1，3），x=1，y=3，r=|OP|=，sin=，cos=，则=1，故选：A5若两个等差数列an和bn的前n项和分别是Sn和Tn，已知，则=（）A7BCD【考点】等差数列的性质【分析】由已知，根据等差数列的性质，把转化为求解【解答】解：故选：D6函数y=xsinx+cosx的图象大致是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】
9、利用函数的奇偶性、单调性、特殊值，借助排除法能求出结果【解答】解：y=xsinx+cosx，设f（x）=xsinx+cosx，则f（x）=（x）sin（x）+cos（x）=xsinx+cosx=f（x），y=xsinx+cosx是偶函数，故排除D当x=0时，y=0+cos0=1，故排除C和D；y=xcosx，x0开始时，函数是增函数，由此排除B故选：A7若ab0，cd0，则一定有（）ABCD【考点】不等关系与不等式【分析】利用特例法，判断选项即可【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=3，d=1，则，C、D不正确；=3， =A不正确，B正确解法二：cd0，cd0，ab0，acbd，故选：B8设x
10、，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为（）ABCD4【考点】基本不等式；二元一次不等式（组）与平面区域【分析】已知2a+3b=6，求的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a0，b0）过直线xy+2=0与直线3xy6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=，故选A9若实数a，b满足，则ab的最小值为（）AB2CD4【考点】基本不等式【分析】利用基本不等式的性质即可得出【解答】
11、解：实数满足，a，b0，2，化为：ab，当且仅当b=2a=则ab的最小值为故选：A10若不等式ax2+2ax42x2+4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（）A（2，2）B（2，2C（，2）2，）D（，2【考点】函数恒成立问题【分析】将原不等式整理成关于x的二次不等式，结合二次函数的图象与性质解决即可，注意对二次项系数分类讨论【解答】解：不等式ax2+2ax42x2+4x，可化为（a2）x2+2（a2）x40，当a2=0，即a=2时，恒成立，合题意当a20时，要使不等式恒成立，需，解得2a2所以a的取值范围为（2，2故选B11若等差数列an的前n项和Sn=n2，则的最小值为（）A4B8
12、C6D7【考点】等差数列的前n项和【分析】由Sn=n2，可得a1=1，a2=3可得等差数列an的公差d=2可得an可得=n+，令f（x）=x+（x1），利用导数研究其单调性即可得出【解答】解：由Sn=n2，可得a1=1，1+a2=22，解得a2=3等差数列an的公差d=31=2an=1+2（n1）=2n1=n+，令f（x）=x+（x1），f（x）=1=，当1x2时，f（x）0，函数f（x）单调递减；当x时，f（x）0，函数f（x）单调递增n=3或4时，n+取得最小值7故选：D12定义为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”若已知数列an的前n项的“均倒数”为，又，则=（）ABCD【考点】类比推理
13、【分析】由已知得a1+a2+an=n（2n+1）=Sn，求出Sn后，利用当n2时，an=SnSn1，即可求得通项an，最后利用裂项法，即可求和【解答】解：由已知得，a1+a2+an=n（2n+1）=Sn当n2时，an=SnSn1=4n1，验证知当n=1时也成立，an=4n1，=+（）+（）=1=故选C二、填空题（每小题5分，共20分）13已知实数x，y满足，则z=（x1）2+y2的最小值是2【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，则z=（x1）2+y2的几何意义为动点P（x，y）到定点（1，0）的距离的平方，利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则
14、z=（x1）2+y2的几何意义为动点P（x，y）到定点（1，0）的距离的平方，过点A（1，0）作AB垂直直线x+y3=0，则|AB|的距离最小，则圆心A到直线x+y3=0的距离d=，此时z=d2=2，故答案为：214已知数列an中，a1=2，an+1=2an+32n，则数列an的通项公式an=（3n1）2n1【考点】数列递推式【分析】把已知等式两边同时除以2n+1，可得数列是以1为首项，以为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式求得答案【解答】解：由an+1=2an+32n，得，即，又，数列是以1为首项，以为公差的等差数列，则，故答案为：（3n1）2n115把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后
15、擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列an，若an=2015，则n=1030【考点】数列的应用【分析】根据题意，分析图乙，可得其第k行有k个数，则前k行共有个数，第k行最后的一个数为k2，从第三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列；进而由4422015452，可得2015出现在第45行，又由第45行第一个数为442+1=1937，由等差数列的性质，可得该行第40个数为2015，由前44行的数字数目，相加可得答案【解答】解：分析图乙，可得第k行有k个数，则前k行共有个数，第k行最后的一个数为k2，从第
16、三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列，又由442=1936，452=2025，则4422015452，则2015出现在第45行，第45行第一个数为442+1=1937，这行中第=40个数为2015，前44行共有=990个数，则2015为第990+40=1030个数故答案为：103016下列命题中正确的有常数数列既是等差数列也是等比数列；在ABC中，若sin2A+sin2B=sin2C，则ABC为直角三角形；若A，B为锐角三角形的两个内角，则tanAtanB1；若Sn为数列an的前n项和，则此数列的通项an=SnSn1（n1）【考点】命题的真假判断与应用【分析】对4个选项，分
17、别进行判断，即可判断命题的真假【解答】解：常数均为0的数列是等差数列，不是等比数列，故不正确；在ABC中，若sin2A+sin2B=sin2C，则a2+b2=c2，所以ABC为直角三角形，正确；因为三角形是锐角三角形，所以A+B即：AB0，所以sinAcosB，同理sinBcosA，所以tanAtanB=1，正确；若Sn为数列an的前n项和，则此数列的通项an=SnSn1（n1）；n=1，a1=S1，故不正确故答案为：三、解答题（共70分）17在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=（1）求的值（2）若cosB=，b=2，求ABC的面积S【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）
18、由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC=2sinA，即可得解=2（2）由正弦定理可求c=2a，由余弦定理解得a=1，从而c=2利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解【解答】（本题满分为12分）解：（1）由正弦定理，则=，所以=，即（cosA2cosC）sinB=（2sinCsinA）cosB，化简可得sin（A+B）=2sin（B+C）因为A+B+C=，所以sinC=2sinA因此=2（2）由=2，得c=2a，由余弦定理b2=a2+c22accosB，及cosB=，b=2，得4=a2+4a24a2解得a=1，从而c=2因为
19、cosB=，且sinB=，因此S=acsinB=12=18已知函数f（x）=x2+（a1）x+b+1，当xb，a时，函数f（x）的图象关于y轴对称，数列an的前n项和为Sn，且Sn=f（n+1）1（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）依题意，可求得a=1，b=1，从而得Sn=n2，于是可求得a1及an=SnSn1=2n+1（n2），观察即可求得数列an的通项公式；（2）由（1）得bn=，利用错位相减法可求得Tn=5【解答】解：（1）函数f（x）的图象关于y轴对称，a1=0且a+b=0，解得a=1，b=1，f（x）=x2，
20、Sn=f（n+1）1=（n+1）21=n2+2n即有an=SnSn1=2n+1（n2），a1=S1=1也满足，an=2n+1；（2）由（1）得bn=，Tn=+，Tn=+，得Tn=+=+2=+2=Tn=719如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F（1）证明PA平面EDB；（2）证明PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题【分析】法一：（1）连接AC，AC交BD于O，连接EO要证明PA平面EDB，只需证明直线PA平行平面EDB内的直
21、线EO；（2）要证明PB平面EFD，只需证明PB垂直平面EFD内的两条相交直线DE、EF，即可；（3）必须说明EFD是二面角CPBD的平面角，然后求二面角CPBD的大小法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a（1）连接AC，AC交BD于G，连接EG，求出，即可证明PA平面EDB；（2）证明EFPB，即可证明PB平面EFD；（3）求出，利用，求二面角CPBD的大小【解答】解：方法一：（1）证明：连接AC，AC交BD于O，连接EO底面ABCD是正方形，点O是AC的中点在PAC中，EO是中位线，PAEO而EO平面EDB且PA平面EDB，所以，PA平面EDB（2）证明：PD底面ABC
22、D且DC底面ABCD，PDDCPD=DC，可知PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，DEPC同样由PD底面ABCD，得PDBC底面ABCD是正方形，有DCBC，BC平面PDC而DE平面PDC，BCDE由和推得DE平面PBC而PB平面PBC，DEPB又EFPB且DEEF=E，所以PB平面EFD（3）解：由（2）知，PBDF，故EFD是二面角CPBD的平面角由（2）知，DEEF，PDDB设正方形ABCD的边长为a，则， 在RtPDB中，在RtEFD中，所以，二面角CPBD的大小为方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG依题
23、意得底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，故点G的坐标为且，这表明PAEG而EG平面EDB且PA平面EDB，PA平面EDB（2）证明；依题意得B（a，a，0），又，故PBDE由已知EFPB，且EFDE=E，所以PB平面EFD（3）解：设点F的坐标为（x0，y0，z0），则（x0，y0，z0a）=（a，a，a）从而x0=a，y0=a，z0=（1）a所以由条件EFPB知，即，解得点F的坐标为，且，即PBFD，故EFD是二面角CPBD的平面角，且，所以，二面角CPBD的大小为20已知数列an是递增的等比数列，满足a1=4，且的等差中项，数列bn满足bn+1=bn+1，其前n项和为sn，且S2+S
24、6=a4（1）求数列an，bn的通项公式（2）数列an的前n项和为Tn，若不等式nlog2（Tn+4）bn+73n对一切nN*恒成立，求实数的取值范围【考点】数列与不等式的综合【分析】（1）利用的等差中项，求出公比，可求数列an的通项公式；数列bn为等差数列，公差d=1，可求数列bn的通项公式；（2）不等式nlog2（Tn+4）bn+73n化为n2n+7（n+1），可得对一切nN*恒成立，利用不等式，即可得出结论【解答】解：（1）设等比数列an的公比为q，则是a2和a4的等差中项，q1，q=2，依题意，数列bn为等差数列，公差d=1又，b1=2，bn=n+1（2）不等式nlog2（Tn+4）b
25、n+73n化为n2n+7（n+1）nN*对一切nN*恒成立而当且仅当，即n=2时等式成立，321已知函数f（x）=lnxax+1，（1）当a时，讨论函数f（x）的单调性；（2）设g（x）=x22bx+，当a=时，若对任意x1（0，2），存在x21，3，使f（x1）g（x2），求实数b的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（1）首先求导得，再对a进行分类讨论，分别解不等式即可求出单调区间；（2）将条件对任意x1（0，2），存在x21，3，使f（x1）g（x2）转化为g（x2）f（x）min在x21，3有解，再参变量分离，即2b在x21，3有解，利用基本不等式可知，故b【解答】解：（1
26、）f（x）的定义域为（0，+），当a=0时，f（x）0得x1，f（x）的递增区间为（1，+），f（x）0得0x1，f（x）的递减区间为（0，1）；当a0时，f（x）0得x1，f（x）的递增区间为（1，+），f（x）0得0x1，f（x）的递减区间为（0，1）；当时，f（x）0得，f（x）的递增区间为f（x）0得0x1或，f（x）的递减区间为（0，1）和（2）当时，由（1）知，f（x）在（0，1）递减，在（1，2）递增，依题意有在x21，3有解在x21，3有解，又当且仅当时等号成立，选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分10分）22已知直线l的参数方程为 （t为参数），若以直角坐标系xOy的
27、O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为=2cos（）（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，设点P（0，），求|PA|+|PB|【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）直线l的参数方程为 （t为参数），消去参数t化为普通方程可得，进而得到倾斜角由曲线C的极坐标方程得到：2=2cos（），利用2=x2+y2，即可化为直角坐标方程（2）将|PA|+|PB|转化为求|AB|来解答【解答】解（1）直线的斜率为，直线l倾斜角为由曲线C的极坐标方程得到：2=2cos（），利用2=x2+y2，得到
28、曲线C的直角坐标方程为（x）2+（y）2=1（2）点P（0，）在直线l上且在圆C内部，所以|PA|+|PB|=|AB|直线l的直角坐标方程为y=x+所以圆心（，）到直线l的距离d=所以|AB|=，即|PA|+|PB|=选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）23已知函数f（x）=|xa|（）若不等式f（x）2的解集为0，4，求实数a的值；（）在（）的条件下，若x0R，使得f（x0）+f（x0+5）m24m，求实数m的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（）若不等式f（x）2的解集为0，4，可得，即可求实数a的值；（）根据第一步所化出的分段函数求出函数f（x）的最小值，若x0R，使得f（x0）+f（x0+5）m24m成立，只需4m+m2fmin（x），解出实数m的取值范围【解答】解：（）|xa|2，a2xa+2，f（x）2的解集为0，4，a=2（）f（x）+f（x+5）=|x2|+|x+3|（x2）（x+3）|=5，x0R，使得，即成立，4m+m2f（x）+f（x+5）min，即4m+m25，解得m5，或m1，实数m的取值范围是（，5）（1，+）2017年2月14日
