1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时素养评价二十三函数奇偶性的应用 (15分钟30分)1.已知函数y=f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=x2-2x+3,则当x0时,f(x)的解析式是()A.f(x)=-x2+2x-3B.f(x)=-x2-2x-3C.f(x)=x2-2x+3D.f(x)=-x2-2x+3【解析】选B.若x0,因为当x0时,f(x)=x2-2x+3,所以f(-x)=x2+2x+3,因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=x2+2x+3=-f(x),所以f(x)=-x2-2x-3,所
2、以x0时,f(x)=-x2-2x-3.2.已知函数f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函数,g(x)=-x2-mx在(-,0)内单调递增,则实数m=()A.-2B.2C.0D.2【解析】选A.由函数f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函数,得m2-4=0.解得m=2.又当m=2时,g(x)=-x2-2x,该函数在(-,0)内不单调递增,故m2.当m=-2时,g(x)=-x2+2x,该函数在(-,0)内单调递增,故m=-2.3.设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+)上单调递减,若x10,则()A.f(-x1)f(-x2)B.f(-x1)=f(-x2)C.f(-x1)-x
3、10,f(x)在(0,+)上单调递减,所以f(x2)f(-x1).又f(x)是R上的偶函数,所以f(-x2)=f(x2),所以f(-x2)f(-x1).4.函数f(x)是定义在实数集上的偶函数,且在0,+)上单调递增,f(3)1B.a1或a-2D.-1a2【解析】选C.因为函数f(x)在实数集上是偶函数,且f(3)f(2a+1),所以f(3)f(|2a+1|),又函数f(x)在0,+)上单调递增,所以31或a0时,-x0,所以f(-x)=-x(1-x).又f(-x)=-f(x),所以f(x)=x(1-x)=-x2+x=-+,所以f(x)有最大值.方法二(奇函数的图象特征):当x0时,f(x)有
4、最大值.2.(2020泰安高一检测)设F(x)=f(x)+f(-x),xR,若是函数F(x)的单调递增区间,则一定是F(x)的单调递减区间的是()A.B.C.D.【解析】选B.因为F(-x)=F(x),所以F(x)是偶函数,因而在上F(x)一定单调递减.3.若f(x)是偶函数,其定义域为(-,+),且在0,+)上单调递减,则f与f的大小关系是()A.ffB.fb0,则下列不等式中成立的为()A.f(b)-f(-a)g(a)-g(-b)C.f(a)+f(-b)g(b)-g(-a)【解析】选AC.函数f(x)为R上的奇函数,且为减函数,偶函数g(x)在区间0,+)上的图象与f(x)的图象重合,由a
5、b0,得f(a)f(b)0;对于A,f(b)-f(-a)g(a)-g(-b)f(b)+f(a)-g(a)+g(b)=2f(b)0,这与f(b)0符合,所以A正确,B错误;对于C,f(a)+f(-b)g(b)-g(-a)f(a)-f(b)-g(b)+g(a)=2f(a)-f(b)0,这与f(a)f(b)符合,所以C正确,D错误.6.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x0,则函数f(x)满足()A.f(0)=0B.函数f(x)是奇函数C.f(x)在m,n上有最大值f(n)D.f(x-1)0的解集为(-,1)【解析】选ABD.令x=y=0,则f(0)=2f(0),故f(
6、0)=0,选项A正确;令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),则f(x)+f(-x)=0,即f(x)=-f(-x),故函数f(x)为奇函数,选项B正确;设x1x2,则x1-x20,即f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故函数f(x)为R上的减函数,所以f(x)在m,n上的最大值为f(m),选项C错误;f(x-1)0等价于f(x-1)f(0),又f(x)为R上的减函数,故x-10,解得x1,选项D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如果函数F(x)=是奇函数,则f(x)=.【解题指南】根据求谁设谁的原则,设x0,根据函数的奇偶性求出x0时的解
7、析式.【解析】当x0,F(-x)=-2x-3,又F(x)为奇函数,故F(-x)=-F(x),所以F(x)=2x+3,即f(x)=2x+3.答案:2x+3【补偿训练】 设函数y=f(x)是偶函数,它在0,1上的图象如图.则它在-1,0上的解析式为.【解析】由题意知f(x)在-1,0上为一条线段,且过(-1,1),(0,2),设f(x)=kx+b,代入解得k=1,b=2.所以f(x)=x+2.答案:f(x)=x+28.(2020杭州高一检测)已知函数f(x)是定义在-1,a上的奇函数,则a=,f(0)=.【解析】根据题意,函数f(x)是定义在-1,a上的奇函数,则(-1)+a=0,解可得a=1,即
8、f(x)的定义域为-1,1,则f(0)=0.答案:10四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且当x0时,f(x)=-x2+2x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式.(2)画出函数f(x)的图象.(3)根据图象,写出函数f(x)的单调递减区间及值域.【解析】(1)因为函数f(x)是定义域为R的偶函数,所以f(x)=f(-x).当x0,所以f(x)=f(-x)=-x2-2x.综上,f(x)=(2)函数f(x)的图象如图所示:(3)由(2)中图象可知,f(x)的单调递减区间为-1,0,1,+),函数f(x)的值域为(-,1.10.函数f(x)=,(1)证明函
9、数的奇偶性.(2)判断函数在(-,0)上的单调性,并证明.【解析】(1)因为f(x)=的定义域为x|x0,f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数.(2)函数f(x)在(-,0)上单调递增,证明如下:任取x1,x2(-,0),且x1x2,所以f(x1)-f(x2)=-=,因为x1,x2(-,0),且x10,x2+x10,所以0,即f(x1)f(x2),则函数f(x)在(-,0)上单调递增.1.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x0时,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)5的解集是.【解析】因为f(x)为偶函数,所以f(|x+2|)=f(x+2),则f(x+2)5可化为f(|x
10、+2|)5,则|x+2|2-4|x+2|5,即(|x+2|+1)(|x+2|-5)0,所以|x+2|5,解得-7x3,所以不等式f(x+2)5的解集是(-7,3).答案:(-7,3)【补偿训练】 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增.若f(-3)=0,则0时,f(x)3;当x0,解得-3x0.答案:x|-3x32.已知函数f(x)的定义域是(-,0)(0,+),对定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且当x1时,f(x)0.(1)求证:f(x)是偶函数.(2)求证:f(x)在(0,+)上单调递增.(3)试比较f与f的大小.【解析】(1)函数的定义域是(-,0)(0,+).令x1=x2=1,得f(11)=f(1)+f(1),所以f(1)=0.令x1=x2=-1,得f(1)=f(-1)(-1)=f(-1)+f(-1),所以2f(-1)=0,所以f(-1)=0.所以f(-x)=f(-1x)=f(-1)+f(x)=f(x),所以f(x)是偶函数.(2)设0x1x10,所以1,所以f0,即f(x2)-f(x1)0.所以f(x2)f(x1),即f(x1)f.所以ff.关闭Word文档返回原板块
