1、6-4 数列的综合问题与数列的应用1.(文)(2011德州模拟)等比数列an的前n项和为Sn，若a11，且4a1、2a2、a3成等差数列，则S4()A7B8C15D16答案C解析4a1,2a2，a3成等差数列，4a24a1a3，an是等比数列，a11，4q4q2，解之得，q2，S415.(理)(2011丹东模拟)已知an为等差数列，bn为等比数列，其公比q1，且bi0(i1,2，n)，若a1b1，a11b11，则()Aa6b6 Ba6b6Ca6b6或a6b6.2(2011淄博模拟)已知an是递增数列，且对任意nN*都有ann2n恒成立，则实数的取值范围是()A(，) B(0，)C2，) D(3
2、，)答案C解析ann2n(n)2，对任意nN*，an1an，1，2，故选C.3(文)(2011福建质检)在各项均为正数的等比数列an中，a3a54，则数列log2an的前7项和等于()A7 B8C27 D28答案A解析在各项均为正数的等比数列an中，由a3a54，得a4，a42.设bnlog2an，则数列bn是等差数列，且b4log2a41.所以bn的前7项和S77b47.(理)设函数f(x)xmax的导函数f (x)2x1，则数列(nN*)的前n项和是()A. B.C. D.答案A解析f (x)mxm1a2x1，a1，m2，f(x)x(x1)，Sn.4(文)(2011山西运城教学检测)已知数
3、列an的前n项和为Sn，过点P(n，Sn)和Q(n1，Sn1)(nN*)的直线的斜率为3n2，则a2a4a5a9的值等于()A52 B40C26 D20答案B解析由题意得3n2，Sn1Sn3n2，即an13n2，an3n5，因此数列an是等差数列，a510，而a2a4a5a92(a3a7)4a540，故选B.(理)两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是2，且aa0，a3，b4.e.5(2011江西新余四中期末)在ABC中，是角A、B、C成等差数列的()A充分非必要条件 B充要条件C必要非充分条件 D既不充分也不必要条件答案A来源:高&考%资(源#网 wxc解析2sinAsinCsin2A2
4、cosAcosCcos2A2cos(AC)10cosBBAC2BA、B、C成等差数列但当A、B、C成等差数列时，不一定成立，如A、B、C.故是充分非必要条件故选A.6(文)(2011哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)已知an是等差数列，Sn为其前n项和，若S21S4000，O为坐标原点，点P(1，an)，点Q(2011，a2011)，则()A2011 B2011C0 D1答案A解析由S21S4000得到Sn关于n2010.5对称，故Sn的最大(或最小)值S2010S2011，故a20110，2011ana20112011an02011，故选A.(理)(2011北京西城期末)已知各项
5、均不为零的数列an，定义向量cn(an，an1)，bn(n，n1)，nN*.则下列命题中为真命题的是()A若对于任意nN*总有cnbn成立，则数列an是等差数列B若对于任意nN*总有cnbn成立，则数列an是等比数列C若对于任意nN*总有cnbn成立，则数列an是等差数列D若对于任意nN*总有cnbn成立，则数列an是等比数列答案A解析若对任意nN*，有cnbn，则，所以an1anan2an1，即2an1anan2，所以数列an为等差数列7(文)(2010浙江杭州)如图，是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是()A. B.C. D.答案C解析循环过程为i14i2，m1，n；i24i3，m2，
6、n；i34i4，m3，n；i44不成立，输出n的值故n1.(理)(2010北京延庆县模考)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是()A4B5C6D7答案D解析由程序框图可知，S12222k2k11，由S100得，2k1101，2664,27128，k17，k6，结合语句kk1在SS2k后面知，当k6时，S127，k的值再增加1后输出k值为7.点评这是最容易出错的地方，解这类题时，既要考虑等比数列求和，在k取何值时，恰满足S100，又要顾及S与k的赋值语句的先后顺序8(文)(2011临沂模拟)数列an、bn都是等差数列，a15，b17，且a20b2060，则anbn的前20项和为()A7
7、00 B710C720 D730答案C解析an与bn均为等差数列，anbn为等差数列，首项a1b112，又a20b2060，前20项和为S20720.(理)(2010湖北质检)若数列an满足d(nN*，d为常数)，则称数列an为调和数列已知数列为调和数列，且x1x2x20200，则x5x16_.答案20解析由题意，若an为调和数列，则为等差数列，为调和数列，数列xn为等差数列，由等差数列的性质可知，x5x16x1x20x2x19x10x1120.故填20.9(文)(2011潍坊模拟)已知等比数列中，a13，a481，若数列bn满足bnlog3an，则数列的前n项和Sn_.答案解析a4a1q3，
8、813q3，q3，an3n，bnlog3ann，令cn，则cn，cn的前n项和Snc1c2cn(1)()().(理)(2011杭州二检)已知an是公差不为0的等差数列，bn是等比数列，其中a12，b11，a2b2,2a4b3，且存在常数、，使得anlogbn对每一个正整数n都成立，则_.答案4解析设an的公差为d，bn的公比为q，则，解得(舍去)或，所以an2n，bn4n1.若anlogbn对每一个正整数n都成立，则满足2nlog4n1，即2n(n1)log4，因此只有当2，2时上式恒成立，所以4.10(文)(2011江苏镇江市质检)已知1，x1，x2,7成等差数列，1，y1，y2,8成等比数
9、列，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则线段MN的中垂线方程是_答案xy70解析由条件得x13，x25，y12，y24，MN的中点(4,3)，kMN1，MN的中垂线方程为y3(x4)，即xy70.(理)(2010哈尔滨模拟)已知双曲线an1y2anx2an1an(n2，nN*)的焦点在y轴上，一条渐近线方程是yx，其中数列an是以4为首项的正项数列，则数列an的通项公式是_答案an2n1解析双曲线方程为1，焦点在y轴上，又渐近线方程为yx，又a14，an42n12n1.11.在圆x2y210x内，过点(5,3)有n条长度成等差数列的弦，最短弦长为数列an的首项a1，最长弦长为an，若公差d
10、(，那么n的取值集合为()A4,5,6 B6,7,8,9C3,4,5 D3,4,5,6答案A解析圆x2y210x，(x5)2y25，圆心为(5,0)，半径为5.故最长弦长an10，最短弦长a18，108(n1)d，d，d(，4n0，b0，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab与AG的大小关系是()AabAG BabAGCabAG D不能确定答案C解析由条件知，ab2A，abG2，AG0，AGG2，即AGab，故选C.点评在知识交汇点处命题是常见命题方式，不等式与数列交汇的题目要特别注意等差(等比)数列的公式及性质的运用来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM(理)已知等
11、比数列an的各项均为正数，公比q1，设P(log0.5a5log0.5a7)，Qlog0.5，P与Q的大小关系是()来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COMAPQ BPQ答案D解析Plog0.5log0.5，Qlog0.5，q1，a3a9，又ylog0.5x在(0，)上递减，log0.5log0.5，即QP.故选D.13(文)(2011南昌一模)小王每月除去所有日常开支，大约结余a元小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本和息假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息那么，小王存款到期利息为_元答案78ar解析依题意得，小王
12、存款到期利息为12ar11ar10ar3ar2ararar78ar元(理)(2011湖北荆门调研)秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列an，已知a11，a22，且an2an1(1)n(nN*)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有_人答案255解析an2an1(1)n(nN*)，n为奇数时，an2an，n为偶数时，an2an2，即数列an的奇数项为常数列，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列故这30天入院治疗流感人数共有15(1522)255人14(文)(2011江苏，13)设1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，
13、a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_答案解析a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，且a11，a3q，a5q2，a7q3，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，a4a21，a6a22，a21，qa3a21，q2a5a4a212，q3a7a6a223，q1，q且q，q，q的最小值为.(理)(2011福州市期末、河北冀州期末)已知实数a、b、c、d成等比数列，且函数yln(x2)x当xb时取到极大值c，则ad等于_来源:K答案1分析利用导数可求b、c，由a、b、c、d成等比数列可得adbc.解析y1，令y0得x1，当2x0，当x1时，y0，b1，cln(12)(1)1，adbc1.15(
14、2011蚌埠质检)已知数列an满足，a11，a22，an2，nN*.(1)令bnan1an，证明：bn是等比数列；(2)求an的通项公式解析(1)b1a2a11，当n2时，bnan1anan(anan1)bn1，所以bn是以1为首项，为公比的等比数列(2)由(1)知bnan1ann1，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11n211n1，当n1时，111a1.所以ann1(nN*)16(文)(2011焦作模拟)已知函数f(x)ax的图象过点(1，)，且点(n1，)(nN)在函数f(x)ax的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)令bnan1an，若数列bn的前n项和为Sn
15、，求证：Sn5.解析(1)函数f(x)ax的图象过点(1，)，a，f(x)()x.又点(n1，)(nN)在函数f(x)ax的图象上，从而，即an.(2)由bn得，Sn，则Sn，两式相减得：Sn2()，Sn5，Sn5.(理)(2011山东文，20)等比数列an中，a1、a2、a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1、a2、a3中的任何两个数不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1) 求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：bnan(1)nlnan，求数列bn的前2n项和S2n.解析(1)依次验证知a12，a26，a318时符合题意，an23n1
16、(2)bnan(1)nlnan23n1(1)nln(23n1)23n1(1)n(ln2ln3)(1)nnln3S2nb1b2b2n2(1332n1)111(1)2n(ln2ln3)123(1)2n2nln32nln332nnln31.1(2011湖南六校联考)已知an是等差数列，Sn是其前n项和，a519，S555，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率是()A4 B.C4 D14答案A解析，kPQ4.2在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2,4依次成等差数列，而1，y1，y2,8依次成等比数列，则OP1P2的面积是(
17、)A1B2C3D4来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM答案A解析由条件知x12，x23，y12，y24，S4322(24)11.3数列an是公差d0的等差数列，数列bn是等比数列，若a1b1，a3b3，a7b5，则b11等于()Aa63 Ba36Ca31 Da13答案A解析设数列bn的首项为b1，公比为q，则，得d(q4q2)a1(q4q2)a1q2，q1，q22，d，于是b11a1q1032a1.设32a1a1(n1)，则n63，b11a63.4(2011黄冈月考)在数列an中，a11，anan1an1(1)n(n2，nN*)，则的值是()A. B.C. D.答案C解析a11，a
18、nan1an1(1)n，a2a1a11，a22，；a3a2a21，a3；a4a3a31，a43；a5a4a41，a5，.5等差数列an的公差d0，且a1、a4、a8成等比数列，则_.答案分析此类问题一般依据条件和等差(比)数列的通项(或前n项和)公式列方程求解解方程时，注意等比数列的首项和公比都不能为0.解析a1、a4、a8成等比数列，aa1a8，又an成等差数列，公差d，(a13d)2a1(a17d)，a19d0，原式.6(2011上饶市四校联考)设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn1，Sn，Sn2成等差数列，则q的值为_答案2解析若q1，则由2SnSn1Sn22na1(n1)a
19、1(n2)a12n2n3矛盾，q1，由2SnSn1Sn2可得qn2qn12qn0q2q20(q1)，解得q2.7(2011天津市二十区县联考)已知Sn是数列an的前n项和，向量a(an1，2)，b(4，Sn)满足ab，则_.答案解析a(an1，2)，b(4，Sn)满足ab，ab0，4an42Sn0，即Sn2an2，Sn12an12(n2)两式相减得an2an1，2.由Sn2an2(nN*)，得a12.an是以2为首项，2为公比的等比数列，an2n.8(2011苏州检测)正整数按下列方法分组：1，2,3,4，5,6,7,8,9，10,11,12,13,14,15,16，记第n组中各数之和为An；由自然数的立方构成下列数组：03,13，13,23，23,33，33,43，记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn，则AnBn_.答案2n3解析由题意知，前n组共有135(2n1)n2个数，所以第n1组的最后一个数为(n1)2，第n组的第一个数为(n1)21，第n组共有2n1个数，所以根据等差数列的前n项和公式可得An(2n1)(n1)2n(2n1)，而Bnn3(n1)3，所以AnBn2n3.
