1、阶段性测试题八(平面解析几何)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(20112012北京四中期中)已知过点A(2，m)和B(m,4)的直线与直线2xy10垂直，则m的值为()A8B0C10 D2答案D解析由条件知，(2)1，m2.2(文)(20112012长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学联考)过点P(1,2)的直线l平分圆C：x2y24x6y10的周长，则直线l的斜率为()A. B1C. D.答案A解析直
2、线l平分C的周长，l过圆心C(2，3)，l的斜率为kPC.(理)(20112012吉林重点中学一模)过点A(，2)的直线l经过圆x2y22y0的圆心，则直线l的倾斜角大小为()A150 B60C30 D120答案D解析圆x2y22y0的圆心C(0,1)，l过点A(，2)和C，其斜率kAC，由tan，0a0)的半焦距为c，直线l过A(a,0)，B(0，b)两点，若原点O到l的距离为c，则双曲线的离心率为()A.或2 B2C.或 D.答案B5(20112012山东苍山县期末)设椭圆1(m0，n0)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B解
3、析抛物线y28x的焦点F(2,0)，由条件得，故选B.6(文)(20112012东营市期末)已知点P是抛物线y28x上一点，设P到此抛物线准线的距离是d1，到直线xy100的距离是d2，则d1d2的最小值是()A. B2C6 D3答案C解析抛物线y28x的焦点F(2,0)，根据抛物线的定义知，d1d2|PF|d2，显然当由点F向直线xy100作垂线与抛物线的交点为P时，d1d2取到最小值，即6.(理)(20112012河北五校联盟模拟)直线l的方向向量为n(4,3)且过抛物线x24y的焦点，则直线l与抛物线围成的封闭图形面积为()A. B.C. D.答案B解析由条件知，kl，又l过抛物线x24
4、y的焦点F(0,1)，l的方程为y1x，即3x4y40，由解得l与抛物线两交点坐标为A(1，)，B(4,4)，故所求面积S (x1x2)dx(x2xx3)|.7(20112012大庆铁人中学期末)将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与(6,8)重合，则与点(4,2)重合的点是()A(4，2) B(4，3)C(3，) D(3，1)答案A解析解法一：由条件知，点(10,0)与(6,8)关于折线对称，故折线过点(2,4)，斜率k2，故折线所在直线方程为y42(x2)，即2xy0，与点(4，2)重合的点M和点(4,2)的中点应在直线2xy0上，经检验知，只有A适合，故选A.解法二：设与点C(4,2)
5、重合的点为D，又A(10,0)，B(6,8)，则必有ABCD，kABkCD，kAB，kCD，经检验知，只有A适合8(文)(20112012浙江六校联考)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析双曲线的渐近线方程为yx，圆C的圆心C(3,0)，半径r2，由条件知，.(理)(20112012青岛市期末)以双曲线1(a0，b0)的左焦点F为圆心，作半径为b的圆F，则圆F与双曲线的渐近线()A相交 B相离C相切 D不确定答案C解析双曲线的焦点F(c,0)到渐近线yx的距离为db，故F
6、与渐近线相切9(20112012厦门市质检)抛物线y2mx的焦点为F，点P(2,2)在此抛物线上，M为线段PF的中点，则点M到该抛物线准线的距离为()A1 B.C2 D.答案D解析点P(2,2)在抛物线上，(2)22m，m4，P到抛物线准线的距离为2(1)3，F到准线距离为2，M到抛物线准线的距离为d.10(20112012北京四中期末)曲线x2y|y|1与直线ykx有且仅有两个公共点，则k的取值范围是()A1,1 B(，11，)C(1,1) D(，1)(1，)答案C解析方程x2y|y|1，即或，其图形如图，若直线ykx与此曲线有且仅有两个公共点，则1k1，e.12(文)(20112012河北
7、五校联盟月考)已知P是双曲线1(b0)上一点，F1、F2是左右焦点，PF1F2的三边长成等差数列，且F1PF2120，则双曲线的离心率等于()A. B.C. D.答案D解析由条件知，2|PF1|PF2|F1F2|，a2，设|PF2|t，则|PF1|4t，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos120t2(4t)22t(4t)()3t212t16.由2|PF1|PF2|F1F2|得，|F1F2|t8，3t212t16(t8)2，t0，t6.|F1F2|14，e.(理)(20112012河北衡水中学一调)已知双曲线1，其右焦点为F，P为其上一点，点M满足|1，0，则|的最小
8、值为()A3 B.C2 D.答案B解析|1，F为定点，点M在以F为圆心，1为半径的圆上，又P在双曲线上，设P(x0，y0)，则1，yx16，0，MFMP，|2|PF|2|MF|2(x05)2y1(x05)2x17x10x08(x0)21，x03或x03，|3，|min.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13(文)(20112012泉州五中模拟)已知直线的倾斜角的余弦值是，则此直线的斜率是_答案解析设直线的倾斜角为，则cos，00)的离心率为2，则它的一焦点到其中一条渐近线的距离为_答案2解析由条件知，2，b212，b2，一焦点
9、F(4,0)到一条渐近线yx的距离d2.(理)(20112012黄冈市期末)已知直线axy20与双曲线x21的一条渐近线平行，则这两条平行直线之间的距离是_答案解析双曲线的渐近线方程为y2x，由条件知a2，两平行线2xy20与y2x之间的距离是d.15若方程x2sin2y2cos1表示焦点在y轴上的椭圆，那么的取值范围是_答案，kZ解析根据题意知，化简得，.解得(kZ)16(文)(20112012山东苍山县期末)已知圆C：x2y26x4y80，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为_答案1解析在C方程中，令x0得y24y80无解，令y0得x26x
10、80，x2或4，故双曲线方程中a2，c4，b2c2a212，双曲线的标准方程为1.(理)(20112012深圳一调)已知抛物线y28x的准线l与双曲线C：y21相切，则双曲线C的离心率e_.答案解析抛物线的准线l：x2与双曲线C相切，a2，c2a2b25，e.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)(文)已知圆C：x2y26x8y210和直线kxy4k30.(1)证明不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点；(2)当k取什么值时，直线被圆截得的弦最短？并求这最短弦的长解析(1)证明：由kxy4k30得(x4)ky30.直线kxy4k
11、3过定点P(4,3)由x2y26x8y210，即(x3)2(y4)24，又(43)2(34)22CM，PC2CM2，CD2CA2，CD2CM2CA2PC2，DM2AP2，DMAP，DE2DM，AB2AP，DEAB，即过点P的任意与PC不垂直的弦长，总大于过点P与PC垂直的弦长(当DE为C的直径时，DEAB显然成立)(理)(20112012会昌中学月考)椭圆的两焦点坐标分别为F1(，0)，F2(，0)，且椭圆过点M(1，)(1)求椭圆方程；(2)过点N(，0)作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于P，Q两点，A为椭圆的左顶点，试判断PAQ的大小是否为定值，并说明理由解析(1)设椭圆的方程为1(ab0)
12、，由题意c，且椭圆过点M(1，)，椭圆方程为y21.(2)设直线PQ：xty，由消去x得，(t24)y2ty0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，y1y2，y1y2，又A(2,0)，(x12，y1)(x22，y2)(x12)(x22)y1y2(ty1)(ty2)y1y2(t21)y1y2t(y1y2)0，PAQ(定值)18(本小题满分12分)(文)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且经过点P(1，)(1)求椭圆C的标准方程；(2)设F是椭圆C的左焦点，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由解析(1)椭圆1(ab0)的离心率为，且经过点P，即，解得，椭圆C的标准方
13、程为1.(2)a24，b23，c1.椭圆C的左焦点坐标为(1,0)以椭圆C的长轴为直径的圆的方程为x2y24，圆心坐标是(0,0)，半径为2.以PF为直径的圆的方程为x22，圆心坐标是，半径为.两圆心之间的距离为2，故以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切(理)已知动圆过定点P(1,0)，且与直线x1相切(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，若OAOB，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标解析(1)设圆心M(x，y)由题意知点M到点P的距离等于点M到直线x1的距离，故点M的轨迹C是以P(1,0)为焦点，直线x1为准线的抛物线轨迹C的方程是y2
14、4x.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxb(k0)代入C的方程并整理得k2x2(2kb4)xb20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.故y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2.由OAOB得x1x2y1y20，即0，解得b4k或b0(舍去)此时，直线AB的方程为：ykx4k，即yk(x4)此时直线AB过定点(4,0)当直线AB的斜率不存在时，由OAOB可知A、B两点的坐标分别是(4，4)、(4,4)此时直线AB也过定点(4,0)综上所述，直线AB恒过定点(4,0)19(本小题满分12分)(文)(2011广东广州一模)已知直线
15、y2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OPOQ(O为坐标原点)，记点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)若曲线l2是曲线C的一条切线，当点(0,2)到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程解析(1)设P(x，y)，则Q(x，2)，OPOQ，kOPkOQ1.当x0时，得1，化简得x22y.当x0时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故x0.曲线C的方程为x22y(x0)(2)解法一：直线l2与曲线C相切，直线l2的斜率存在设直线l2的方程为ykxb，由得x22kx2b0.直线l2与曲线C相切，4k28b0，即b.由(0,2)到直线l2的距离d()2.当且仅当，
16、即k时，等号成立，此时b1.直线l2的方程为xy10或xy10.解法二：由x22y，得yx.直线l2与曲线C相切，设切点M的坐标为(x1，y1)，其中y1x，则直线l2的方程为：yy1x1(xx1)，化简得x1xyx0.点(0,2)到直线l2的距离d()2.当且仅当，即x1时，等号成立直线l2的方程为xy10或xy10.(理)(20112012包头一中期末)已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点A(0,2)，离心率为.(1)求椭圆P的方程；(2)是否存在过点E(0，4)的直线l交椭圆P于点R、T，且满足8.若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由解析(1)设椭圆P的方程为1(a
17、b0)由题意得：b2，e，c2，a4，故椭圆P的方程为1.(2)假设存在满足题意的直线l.易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意，故直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为：ykx4.由可得：(34k2)x232kx160，则(32k)24(34k2)160，k2，设R(x1，y1)，T(x2，y2)，则，y1y2(kx14)(kx24)k2x1x24k(x1x2)1616，8，x1x2y1y28，8，k2，k，直线l的方程为：yx4，故存在直线yx4满足题意20(本小题满分12分)(文)(20112012山东日照模拟)设椭圆C1和抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点，
18、从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：x324y204(1)求曲线C1，C2的标准方程；(2)设直线l与椭圆C1交于不同两点M、N，且0，请问是否存在直线l过抛物线C2的焦点F？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解析(1)由题意(2,0)，一定在椭圆C1上，设C1方程为1，则a2，椭圆C1上任何点的横坐标|x|2.所以(，)也在C1上，从而b21，C1的方程为y21.从而(3，2)，(4，4)一定在C2上，设C2的方程为y22px(p0)，p2，即C2的方程为y24x.(2)假设直线l过C2的焦点F(1,0)当l的斜率不存在时，则M(1，)，N(1，)此时10，与已知矛盾当l
19、的斜率存在时设为k，则l的方程为yk(x1)代入C1方程并整理得，(14k2)x28k2x4k240.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2.y1y2k(x11)k(x21)k2(x1x2x1x21)，0，x1x2y1y20，k240，k2，存在符合条件的直线l且方程为y2(x1)(理)(20112012襄阳市调研)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线xy0相切，过点P(4,0)且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点(1)求椭圆C的方程；(2)求的取值范围；(3)若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点解析(
20、1)由题意知e，e2，即a2b2，又b，a24，b23，故椭圆的方程为1.(2)由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为yk(x4)，由得：(4k23)x232k2x64k2120.由(32k2)24(4k23)(64k212)0得：k2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2 y1y2k(x14)k(x24)k2x1x24k2(x1x2)16k2，x1x2y1y2(1k2)4k216k2250k2，0，所以k210，从而2综上，当ABx轴时，取得最小值2.解法2：设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)再设直线AB方程为xmyr，与W的方程联立，消去x得(
21、m21)y22mry(r22)0，故y1y2，y1y2，所以x1x2y1y2y1y2(my1r)(my2r)(m21)y1y2mr(y1y2)r2(m21)mrr22 .由x1x20不难得到0m2b0)的左、右顶点与上顶点，直线A2B与圆C：x2y21相切(1)求证：1；(2)P是椭圆E上异于A1，A2的一点，直线PA1，PA2的斜率之积为，求椭圆E的方程；(3)直线l与椭圆E交于M，N两点，且0，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由解析(1)已知椭圆E：1(ab0)，A1，A2与B分别为椭圆E的左右顶点与上顶点，所以A1(a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，直线A2B的方程是1.因为
22、A2B与圆C：x2y21相切，所以1，即1.(2)设P(x0，y0)，则直线PA1，PA2的斜率之积为kPA1k PA21，而1，所以b2a2.结合1，得a24，b2.所以，椭圆E的方程为1.(3)设点M(x1，y1)，N(x2，y2)若直线l的斜率存在，设直线l为ykxm，将ykxm代入1得，1.化简得，(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20(0)x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2km()m2.因为0，所以x1x2y1y20.代入得(a2b2)m2a2b2(1k2)0.结合(1)的1，得m21k2.圆心到直线l的距离为d1，所以直
23、线l与圆C相切若直线l的斜率不存在，设直线l：xn.代入1，得yb.|n|b，a2n2b2(a2n2)解得n1，所以直线l与圆C相切1(20112012绥化市一模)若圆C：x2y22x4y30关于直线2axby60对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是()A2B3C4D6答案C解析C：(x1)2(y2)22，圆心C(1,2)在直线2axby60上，ab30，由点P(a，b)向圆引切线，设切线长为l，则l2|PC|2r2(a1)2(b2)22(b4)2(b2)222b24b182(b1)21616，l4，当b1，a2时，lmin4.2(20112012吉林省延吉市质检)若双曲线1(a0
24、，b0)的左右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y22bx的焦点分成7:5的两段，则此双曲线的离心率为()A.B.C. D.答案C解析由条件知，c3b，c2a2b2，c29(c2a2)，e2，e.3(20112012重庆模拟)双曲线y23x21的渐近线方程是()Ay3x ByxCyx Dyx答案C4设F是椭圆1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i1,2,3，)使|FP1|，|FP2|，|FP3|，组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为_答案解析易知1|FPn|1，若a11，an1，则ana1(n1)dd(n21)，即0d，当d0时，d0)上任意一点，过点M作抛物线C的两条切
25、线MA，MB，切点分别为A，B.(1)当M的坐标为(0，1)时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；(2)求证：直线AB恒过定点(0，m)解析(1)当M的坐标为(0，1)时，设过M点的切线方程为ykx1，代入x24y，整理得x24kx40，令(4k)2440，解得k1，代入方程得x2，故得A(2,1)，B(2,1)，因为M到AB的中点(0,1)的距离为2，从而过M，A，B三点的圆的方程为x2(y1)24.易知此圆与直线l：y1相切(2)证法一：设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过抛物线上点A(x1，y1)的切线方程为(yy1)k(xx1)，代入x24y，整
26、理得x24kx4(kx1y1)0，(4k)244(kx1y1)0，又因为x4y1，所以k.从而过抛物线上点A(x1，y1)的切线方程为yy1(xx1)，即yx，又切线过点M(x0，y0)，所以得y0x0 即y0x0y1，同理可得过点B(x2，y2)的切线为yx，又切线过点M(x0，y0)，所以得y0x0 即y0x0y2，即点A(x1，y1)，B(x2，y2)均满足y0x0y，即x0x2(y0y)，故直线AB的方程为x0x2(y0y)，又M(x0，y0)为直线l：ym(m0)上任意一点，故x0x2(ym)对任何x0成立，所以x0，ym，从而直线AB恒过定点(0，m)证法二：设过M(x0，y0)的
27、抛物线的切线方程为yy0k(xx0)(k0)，代入x24y，消去y得，x24kx4(y0kx0)0，(4k)244(y0kx0)0，即k2x0ky00，从而k1，k2，此时x1，x2，所以切点A，B的坐标分别为A(，)，B(，)，因为kAB，x0，所以AB的中点坐标为(x0，)，故直线AB的方程为y(xx0)，即x0x2(y0y)，又M(x0，y0)为直线l：ym(m0)上任意一点，故x0x2(ym)对任意x0成立，所以x0，ym，从而直线AB恒过定点(0，m)证法三：由已知得y，求导得y，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，故过点A(x1，y1)的切线斜率为k，从而切线方程为(yy1)(xx1)，即yx，又切线过点M(x0，y0)，所以得y0x0 即y0x0y1，同理可得经过点B(x2，y2)的切线为yx，又切线过点M(x0，y0)，所以得y0x0 即y0x0y2，即点A(x1，y1)，B(x2，y2)均满足y0x0y，即x0x2(y0y)，故直线AB的方程为x0x2(y0y)，又M(x0，y0)为直线l：ym(m0)上任意一点，故x0x2(ym)对任意x0成立，所以x0，ym，从而直线AB恒过定点(0，m)
