1、4.2.1直线与圆的位置关系基础巩固一、选择题1直线axy2a0与圆x2y29的位置关系是()A相离 B相交C相切 D不确定答案B解析当a0时，直线y0显然与该圆相交；当a0时，圆心(0,0)到直线axy2a0距离d23(半径)，也与该圆相交2设直线l与圆x2y21相切于点M(，)，则l的斜率是()A1 BC D答案C解析设圆心为C，kCM，CMl，l的斜率k.3已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x4y40与圆C相切，则圆C的方程为()Ax2y22x30Bx2y24x0Cx2y22x30Dx2y24x0答案D解析设圆心为(a,0)(a0)，则2，即a2，圆C的方程为(x2)2y2
2、4.4圆心坐标为(2，1)的圆在直线xy10上截得的弦长为2，那么这个圆的方程为()A(x2)2(y1)24B(x2)2(y1)22C(x2)2(y1)28D(x2)2(y1)216答案A解析d，r2，圆的方程为(x2)2(y1)24.5已知直线x7y10把圆x2y24分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于()A BC D2答案D解析圆x2y24的圆心为O(0,0)，半径r2，设直线x7y10与圆x2y24交于M，N两点，则圆心O到直线x7y10的距离d，过点O作OPMN于P，则|MN|22.在MNO中，|OM|2|ON|22r28|MN|2，则MON90，这两段弧长之差的绝对值等于2.6圆(
3、x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于1的点有()A1个 B2个C3个 D4个答案C解析圆心(3,3)到直线3x4y110的距离，d2，又r3，故有三个点到直线3x4y110的距离等于1.二、填空题7过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的长为_.答案2分析先判断最短弦的位置，然后构造由半径、弦心距和弦长的一半组成的直角三角形进行求解解析最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心距d，所以最短弦长为222.8过直线xy20上点P作圆x2y21的两条切线，若两条切线的夹角是60，则点P的坐标是_.答案(，)解析本题主要考查数形结合的思想
4、，设P(x，y)，则由已知可得PO(O为原点)与切线的夹角为30，由|PO|2，由可得.三、解答题9已知一个圆C与y轴相切，圆心C在直线l1：x3y0上，且在直线l2：xy0上截得的弦长为2，求圆C的方程分析设出圆心坐标，利用几何性质列方程求出圆心坐标，再求出半径即可解析圆心C在直线l1：x3y0上，可设圆心为C(3t，t)又圆C与y轴相切，圆的半径为r|3t|.再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形可得()2()2|3t|2.解得t1.圆心为(3,1)或(3，1)，半径为3.故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.10已知圆x2y2x6ym0与直线x2y30相交
5、于P、Q两点，O为原点，且OPOQ，求实数m的值解析设点P、Q的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)由OPOQ，得kOPkOQ1，即1，x1x2y1y20.又(x1，y1)、(x2，y2)是方程组的实数解，即x1，x2是方程5x210x4m270的两个根，x1x22，x1x2.P、Q是在直线x2y30上，y1y2(3x1)(3x2)93(x1x2)x1x2将代入，得y1y2.将代入，解得m3.代入方程，检验0成立，m3.能力提升一、选择题1过点(2,1)的直线中，被圆x2y22x4y0截得的弦最长的直线的方程是()A3xy50 B3xy70C3xy10 D3xy50答案A解析x2y22x4
6、y0的圆心为(1，2)，截得弦最长的直线必过点(2,1)和圆心(1，2)直线方程为3xy50，故选A2若过点A(4,0)的直线l与曲线(x2)2y21有公共点，则直线l的斜率的取值范围为()A(，) B，C(，) D，答案D解析解法1：如图，BC1，AC2，BAC30，k.解法2：设直线l方程为yk(x4)，则由题意知，1，k.解法3：过A(4,0)的直线l可设为xmy4，代入(x2)2y21中得：(m21)y24my30，由16m212(m21)4m2120得m或m.l的斜率k，0)(0，特别地，当k0时，显然有公共点，k，3过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交于y轴于M、N
7、两点，则|MN|()A2 B8C4 D10答案C解析由已知得kAB，kCB3，所以kABkCB1，所以ABCB，即ABC为直角三角形，其外接圆圆心为(1，2)，半径为5，所以外接圆方程为(x1)2(y2)225，令x0，得y22，所以|MN|4，故选C4设圆(x3)2(y5)2r2(r0)上有且仅有两个点到直线4x3y20的距离等于1，则圆半径r的取值范围是()A3r5 B4r4 Dr5答案B解析圆心C(3，5)，半径为r，圆心C到直线4x3y20的距离d5，由于圆C上有且仅有两个点到直线4x3y20的距离等于1，则d1rd1，所以4r6.二、填空题5设直线l截圆x2y22y0所得弦AB的中点
8、为(，)，则直线l的方程为_；|AB|_.答案xy20解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则xy2y10，xy2y20，两式相减得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)2(y1y2)0，kAB1.故l的方程为y1(x)，即xy20.又圆心为(0,1)，半径r1，故|AB|.6若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y1相切，则圆C的方程是_.答案(x2)2(y)2分析由已知设出圆C的方程，与直线的方程联立，利用0即可求解解析因为圆过原点，所以可设圆的方程为x2y2DxEy0.因为圆过点(4,0)，将点(4,0)代入圆的方程得D4，即圆的方程为x2y24xEy0.又圆与直线y1
9、相切，将其代入圆的方程得x214xE0，又方程只有一个解，所以424(1E)0，解得E3.故所求圆的方程为x2y24x3y0，即(x2)2(y)2.三、解答题7已知圆C：x2y22x4y30.(1)求圆心C的坐标及半径r的大小；(2)已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程；(3)从圆外一点P(x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且|MP|OP|，求点P的轨迹方程解析(1)圆心C的坐标为(1,2)，半径为.(2)直线l在两坐标轴上的截距相等且不为零，设直线l方程为xya，a1或a3.所求直线l的方程为xy10或xy30.(3)连接CM，则切线PM与
10、CM垂直，连接PC，|PM|2|PC|2|CM|2，又|PM|OP|，(x1)2(y2)22x2y2，即2x4y30，点P的轨迹方程为2x4y30.8已知圆C：x2(y1)25，直线l：mxy1m0.(1)求证：对mR，直线l与圆C总有两个不同的交点；(2)作直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|，求直线l的倾斜角解析(1)方法一：由消去y并整理，得(m21)x22m2xm250.(2m2)24(m21)(m25)16m2200，对于一切mR恒成立，直线l与圆C总有两个不同的交点方法二：l的方程可变形为y1m(x1)，故直线恒过定点P(1,1)因为|PC|212(11)25，所以P(1,1)在圆C内，所以直线l与圆C总有两个不同的交点方法三：圆C的圆心(0,1)到直线l的距离d，d250.即圆心到直线l的距离小于圆的半径，所以直线l和圆C必有两个不同的交点(2)圆C的半径为r，所以圆心到直线l的距离为d.由点到直线的距离公式，得，解方程，得m.直线l的倾斜角为或.
