1、章末综合测评(二)推理与证明(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1根据偶函数定义可推得“函数f(x)x2在R上是偶函数”的推理过程是()A归纳推理B类比推理C演绎推理D非以上答案C根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.2在ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，则有EFBC，这个问题的大前提为()A三角形的中位线平行于第三边B三角形的中位线等于第三边的一半CEF为中位线DEFBCA这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为ABC的中位线；结论：EFBC
2、.3用反证法证明“若xy0，则x0或y0”时，应假设()Ax0或y0Bx0且y0Cxy0Dxy0B用反证法证明“若xy0，则x0或y0”时，应先假设x0且y0.4下列推理正确的是()A把a(bc)与loga(xy)类比，则有loga(xy)logaxlogayB把a(bc)与sin (xy)类比，则有sin (xy)sin xsin yC把a(bc)与axy类比，则有axyaxayD把(ab)c与(xy)z类比，则有(xy)zx(yz)D(xy)zx(yz)是乘法的结合律，正确5已知abc0，则abbcca的值()A大于0B小于0C不小于0D不大于0D因为abc0，所以a2b2c22ab2ac
3、2bc0，所以abbcca0.故选D.6对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab与bc及ac中至少有一个成立；ac，bc，ab不能同时成立其中判断正确的个数为()A0个B1个C2个D3个B若(ab)2(bc)2(ca)20，则abc，与“a，b，c是不全相等的正数”矛盾，故正确ab与bc及ac中最多只能有一个成立，故不正确由于“a，b，c是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故不正确7庄子天下篇中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”反映这个命题本质的式子是()A12B12C.1D.1D据已知可得，每次截
4、取的长度构成一个以为首项，为公比的等比数列，11.故反映这个命题本质的式子是1.8在ABC中，tan Atan B1，则ABC是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定Atan Atan B1，A，B只能都是锐角，tan A0，tan B0,1tan Atan B0.tan (AB)0.AB是钝角角C为锐角故选A.9观察下列各等式：553 125,5615 625,5778 125，则52 017的末四位数字是()A3125B5625C8125D0625A553 125的末四位数字为3125；5615 625的末四位数字为5625；5778 125的末四位数字为8125；58390 6
5、25的末四位数字为0625；591 953 125的末四位数字为3125根据末四位数字的变化，3125,5625,8125,0625，即末四位的数字是以4为周期变化的，故2 017除以4余1，即末四位数为3125.则52 017的末四位数字为3125.10已知函数f(x)，其导数为f(x)，记函数f(x)的导数为f(x)，若在区间(a，b)上，f(x)0恒成立，则称f(x)在(a，b)上为下凸函数，下列函数中，在(0，)上为下凸函数的是()Af(x)2xBf(x)Cf(x)x2Df(x)sin xC对于函数f(x)x2，f(x)2x，于是f(x)2，满足f(x)0恒成立，故f(x)x2在(0，
6、)上为下凸函数11已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则2”若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则()A1B2C3D4C如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等积法有4rr，故AOAMMO，故AOOM3.12将石子摆成如图所示的梯形形状称数列5,9,14,20，为“梯形数”根据图形的构成，此数列的第2 018项与5的差，即a2 0185()A2 0232 018B2 0232 017C1 0122 0
7、16D1 0122 017Dan5表示第n个梯形有n1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n2个an5，a2 01852 0171 012.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13设实数a，b，c满足abc1，则a，b，c中至少有一个数不小于_(填具体数字)假设a，b，c都大于，则abc1，这与已知abc1矛盾假设a，b，c都小于，则abc1，这与已知abc1矛盾，故a，b，c中至少有一个数不小于.14在ABC中，若D为BC的中点，则有()，将此结论类比到四面体中，在四面体ABCD中，若G为BCD的重心，则可得一个类比结论：_.()由“ABC”类比“四面体AB
8、CD”，“中点”类比“重心”，由此可得在四面体ABCD中，G为BCD的重心，则有()15当n1时，有(ab)(ab)a2b2，当n2时，有(ab)(a2abb2)a3b3，当n3时，有(ab)(a3a2bab2b3)a4b4，当nN*时，你能得到的结论是_(ab)(anan1babn1bn)an1bn1根据题意，由于当n1时，有(ab)(ab)a2b2，当n2时，有(ab)(a2abb2)a3b3，当n3时，有(ab)(a3a2bab2b3)a4b4，当nN*时，左边第二个因式可知为anan1babn1bn，那么对应的表达式为(ab)(anan1babn1bn)an1bn1.16有三张卡片，分
9、别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_1和3法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡
10、片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：(1)如果a，b0，则lg ；(2)22.证明(1)当a，b0时，有，lg lg ，lg lg ab.(2)要证22，只要证()2(22)2，即22，这是显然成立的，所以，原不等式成立18(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处(1)求证：四边形的内角和等于360.证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都
11、是直角，有ABCD90909090360，所以四边形的内角和为360.(2)已知和都是无理数，试证：也是无理数证明：依题设和都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以必是无理数(3)已知实数m满足不等式(2m1)(m2)0，用反证法证明：关于x的方程x22x5m20无实根证明：假设方程x22x5m20有实根由已知实数m满足不等式(2m1)(m2)0，解得2m，而关于x的方程x22x5m20的判别式4(m24)，2m，m24，1)(1)证明：函数f(x)在(1，)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)0没有负数根证明(1)法一：任取x1、x2(1，)，不妨设x10，a1且ax10，aaa
12、(a1)0， 又x110，x210，0，于是f(x2)f(x1)aa0，故函数f(x)在(1，)上为增函数法二：f(x)axln aaxln a，a1，ln a0，axln a0，f(x)0在(1，)上恒成立，即f(x)在(1，)上为增函数(2)设存在x00(x01)满足f(x0)0，则a，且0a1.01，即x02，与假设x0b0)与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：为定值b2a2；(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线1(a0，b0)与x轴交于A、B两点，点P是双曲线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)解(1)证明如下：设点P(x0，y0)(x0a)依题意，得A(a,0)，B(a,0)，所以直线PA的方程为y(xa)，令x0，得yM.同理得yN.所以yMyN.又点P(x0，y0)在椭圆上，所以1，因此y(a2x)所以yMyNb2.因为(a，yN)，(a，yM)，所以a2yMyNb2a2.(2)(a2b2)
