1、湖北省宜昌市长阳县第一高级中学2019-2020高一下学期期中考试数学试卷时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1. 的值为()A. B. C. D. 2. 若都是锐角，且，则= ( )A. B. C. 或D. 或3. 已知的内角,的对边分别为,且,则的面积为( )A. B. C. D. 4. 如图是一个正方体的表面展开图，则图中“”在正方体中所在的面的对面上的是（ ）A. B. C. 快D. 乐5. 在中，若，若满足条件的三角形有两种，则的取值范围是（）A. B. C. D. 6. 已知中,则为()A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰或直角三角形D.
2、等边三角形7. 已知集合,若,则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 8. 若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D. 9. 已知均为正实数，若，且，则的最小值是（）A. B. C. D. 10. 已知半径为的球的两个平行截面的周长分别为和，则两平行截面间的距离是（ ）A. B. C. 或D. 或11. 如图是正方体的展开图,则在这个正方体中:与是异面直线; 与平行; 与成角; 与平行. 以上四个命题中,正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 12. 对一切实数,不等式恒成立, 则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，
3、共4小题20分）13. 设当时,函数取得最大值,则_.14. 在地平面上有一旗杆(在地面),为了测得它的高度,在地平面上取一长度为的基线,在处测得点的仰角为,在处测得点的仰角为,又测得,则旗杆的高等于_.15. 若函数，则不等式的解集为_.16. 关于函数. 的最大值为; 最小正周期是; 在区间上是减函数; 将函数的图象向左平移个单位后,将与原函数图象重合. 其中说法正确的有_.三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17. 函数. (1)求函数的单调递减区间; (2)当时,求函数的值域.18. 高铁是我国国家
4、名片之一,高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示,、为山脚两侧共线的三点,在山顶处测得这三点的俯角分别为、,计划沿直线开通穿山隧道,现已测得、三段线段的长度分别为、. (1)求出线段的长度; (2)求出隧道的长度.19. 已知向量(1)求的最小值及相应的t值； (2)若与共线，求实数t的值20. 如图,在四边形中,求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积及体积.21. 如图，在正三棱柱中，底面边长为，为的中点，三棱柱体积. （1）求三棱柱的表面积； （2）求异面直线与所成角的余弦值22. 已知,为常数,函数. (1)当时,求关于的不等式的解集; (2)当时,若函数在上存在零点,求实数的取值范
5、围; (3)对于给定的,且,证明:关于的方程在区间内有一个实数根.答案和解析 第1题： 【答案】C【解析】原式=cos45 cos75 +sin45 sin75 =cos(-30 )= (3 )/2. 第2题： 【答案】A【解析】因为0/2，0/2，且sin(-)= (10 )/10，所以0-b，且sinA2，且(2 )/4 x1，2x22. 第6题： 【答案】C【解析】由a/sinA = b/sinB = c/sinC =2R(R为ABC的外接圆半径),得b=2RsinB,c=2RsinC, bcosB-ccosC=0,2RsinBcosB-2RsinCcosC=0,即sin2B=sin2C
6、, 2B=2C或2B+2C=,即B=C或B+C= /2,ABC是等腰或直角三角形. 第7题： 【答案】B【解析】A=x| (x+3)/(x-2) 0=x|-3x2,因为AB,结合数轴可知,m2,故选B. 第8题： 【答案】B【解析】解不等式x2 -2x-30得-1x3；观察选项取a=-1，解不等式x2 +4x-(1+a)0，即x2 +4x0可得-4x0，显然 A不正确；令a=31，不等式x2 +4x-(1+a)0，即x2 +4x-320，解得-8x4，仅有B正确.故选B. 第9题： 【答案】B【解析】a b ，a b =2x+y-1=0，即2x+y+1=2 又x,y均为正实数， 则1/x +
7、4/(y+1) =(1/x + 4/(y+1)(x+ (y+1)/2)=1+ (y+1)/2x + 4x/(y+1) +23+2(y+1)/2x 4x/(y+1) =3+22， 当且仅当y+1=22 x时“=”成立， 故选：B 第10题： 【答案】C【解析】画出球的截面图如图所示 是一个球的大圆，两平行直线是球的两个平行截面的直径， 则两个平行截面的半径分别为3和4. 有两种情形： 两个平行截面在球心的两侧， m=(52 -32 ) =4,n=(52 -42 ) =3两平行截面间的距离是：m+n=7； 对于，两个平行截面在球心的同侧， 两平行截面间的距离是：m-n=1. 则两平行截面间的距离是
8、1或7. 故选：C. 第11题： 【答案】A【解析】将正方体的展开图还原为正方体ABCD-EFMN后, 可得AF,CN异面;BM,AN平行; 连接AN,NF,可得FAN为AF,BM所成角,且为60;ANDE,DEAB可得DE平面ABN,可得DEBN. 可得正确, 第12题： 【答案】C【解析】当x=0时，不等式x2 +a|x|+10恒成立，当x0时，则有a (-1-|x|2 )/|x| =-(|x|+ 1/|x| )，故a大于或等于-(|x|+ 1/|x| )的最大值，由基本不等式可得(|x|+ 1/|x| )2，-(|x|+ 1/|x| )-2，即-(|x|+ 1/|x| )的最大值为-2，
9、故实数a的取值范围是-2,+). 第13题： 【答案】2+3 【解析】f(x)=sinx+3 cosx=2sin(x+ /3);当x=时,函数f(x)取得最大值 + /3 = /2 +2k,kZ;= /6 +2k(kZ); tan(+ /4)=tan(/6 +2k+ /4)=tan(/4 + /6)= (1+ (3 )/3)/(1- (3 )/3) =2+3 . 故答案为:2+3 . 第14题： 【答案】20【解析】由题意可得POOA,POOB,且OB=OP=h,OA= OP/(tan30 ) =3 h,在AOB中,由余弦定理可得AB2 =OA2 +OB2 -2OAOBcosAOB, 即400
10、=3h2 +h2 -23 hhcos30,解得h=20,旗杆OP的高度为20m. 第15题： 【答案】-3,1【解析】当x0时，不等式|f(x)|1/3即为- 1/x 1/3，解得-3x2时,x(-,1b-1,+); 当b2时,x(-,b-11,+). (2)若a=2b-1,f(x)=x2 -bx+2b-1在(-2,1)上存在零点, 即b= (x2 -1)/(x-2)在(-2,1)上有解. 令g(x)= (x2 -1)/(x-2),即y=b的图像与g(x)的图像在(-2,1)上有交点,g(x)= (x2 -1)/(x-2) =x-2+ 3/(x-2) +4, 故g(x)在(-2,2-3 )上单
11、调递增,在(2-3 ,1)上单调递减. 又g(-2)=- 3/4,g(2-3 )=4-23 ,g(1)=0, 当- 3/4 b4-23 时,满足题意, 即b的取值范围为(- 3/4,4-23 . (3)设g(x)=f(x)- 1/3f(x_1)+2f(x_2), 则g(x_1)=f(x_1)- 1/3f(x_1)+2f(x_2)= 2/3f(x_1)-f(x_2),g(x_2)=f(x_2)- 1/3f(x_1)+2f(x_2)=- 1/3f(x_1)-f(x_2),g(x_1)g(x_2)=- 2/9 f(x_1)-f(x_2)2. f(x_1)f(x_2),g(x_1)g(x_2)0, 又函数g(x)在区间x_1,x_2上的图像是连续不断的一条曲线,故由零点的存在定理可得g(x)=0在(x_1,x_2)内有一个实数根.
