1、2016-2017学年湖北省宜昌市长阳二中高二（下）期中数学试卷（理科）一选择题（每小题5分，请将唯一正确答案的序号填写在答题卡对应序号处）1sin20cos10cos160sin10=（）ABCD2等比数列an的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）ABCD3直线y=k（x+1）与圆x2+y2=1的位置关系是（）A相离B相切C相交D与k的取值有关4如果在一次试验中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，3）、B（2，3.8）、C（3，5.2）、D（4，6），则y与x的回归直线方程是（）Ay=x+1.9By=1.04x+1.9Cy=0.95x+1.04Dy=1.05x0
2、.95已知aR，则“a2”是“a22a”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6如果执行程序框图，那么输出的S=（）A2450B2500C2550D26527设斜率为的直线l与双曲线交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率为（）ABCD8设（5x）n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若MN=56，则展开式中常数项为（）A5B15C10D209设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=|x+3y|的最大值为（）A4B6C8D1010从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入
3、选的不同选法的种数位（）A85B56C49D2811若函数f（x）=ex+ax，xR有两个零点，则实数a的取值范围为（）A1aeBaeCea1Dae12设函数f（x）是奇函数y=f（x）（xR）的导函数，f（1）=0，当x0时，xf（x）+f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，1）（0，1）B（0，1）（1，+）C（，1）（1，0）D（1，0）（1，+）二填空题（每小题5分，请将最终结论填写在答题卡对应的位置）13随机变量服从正态分布N（1，2），已知P（0）=0.3，则P（2）= 14已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图
4、是一个底边长为6、高为4的等腰三角形，则该几何体的体积为 ；侧面积为 15从0，1随机取两个数分别记为x，y，那么满足的概率为 16已知向量， =（1，7），设M是直线OP上任意一点（为坐标原点），则的最小值为 三解答题（请在答题卡对应处写出必要的解答过程）17如图，ACD是等边三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，BD交AC于E，AB=2（1）求cosCBE的值；（2）求AE18一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个每张卡片被取出的概率相等（1）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所
5、得新数是奇数的概率；（2）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片设取出了次才停止取出卡片，求的分布列和数学期望19如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，边长为，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点（1）求证：ACSD；（2）若SD平面PAC，求CP与平面SBC所成角的正弦值20椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为A（0，2），右焦点F与点的距离为2，（1）求椭圆的方程；（2）斜率k0的直线l：y=kx2与椭圆相交于不同的两点M，N满足|AM|=|AN|，求直线l的方程21已知函数f（x）=xlnx，g
6、（x）=x2+ax3，（1）求函数f（x）的图象在点（1，0）处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间上的最小值；（3）对一切实数x（0，+），2f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围22在平面直角坐标系中，直线l的方程为x+y+3=0，以直角坐标系中x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆M的极坐标方程为=2sin（）写出圆M的直角坐标方程及过点P（2，0）且平行于l的直线l1的参数方程；（）设l1与圆M的两个交点为A，B，求+的值2016-2017学年湖北省宜昌市长阳二中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题（每小题5分，请将唯一正确答案的序号填写在答题卡对应序号处）1si
7、n20cos10cos160sin10=（）ABCD【考点】GQ：两角和与差的正弦函数【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可【解答】解：sin20cos10cos160sin10=sin20cos10+cos20sin10=sin30=故选：D2等比数列an的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）ABCD【考点】89：等比数列的前n项和【分析】设等比数列an的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可【解答】解：设等比数列an的公比为q，S3=a2+10a1，a5=9，解得故选C3直线y=k（x+1）与圆x2+y2=1的位置关系是（）
8、A相离B相切C相交D与k的取值有关【考点】J9：直线与圆的位置关系【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d与半径r比较大小即可得到直线与圆的位置关系【解答】解：由圆的方程得圆心坐标为（0，0），半径r=1则圆心到直线y=k（x+1）的距离d=1=r，所以直线与圆的位置关系是相交故选C4如果在一次试验中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，3）、B（2，3.8）、C（3，5.2）、D（4，6），则y与x的回归直线方程是（）Ay=x+1.9By=1.04x+1.9Cy=0.95x+1.04Dy=1.05x0.9【考点】BK：线性回归方程【分析】根据
9、所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中验证，若能够成立的只有一个，这一个就是线性回归方程【解答】解：=2.5， =4.5，这组数据的样本中心点是（2.5，4.5）把样本中心点代入四个选项中，只有y=1.04x+1.9成立，故选B5已知aR，则“a2”是“a22a”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】71：不等关系与不等式【分析】我们分别判断“a2”“a22a”与“a22a”“a2”的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到答案【解答】解：当“a2”成立时，a22a=a（a2）0“a22a”成立即“a2”“a22a”为真
10、命题；而当“a22a”成立时，a22a=a（a2）0即a2或a0a2不一定成立即“a22a”“a2”为假命题；故“a2”是“a22a”的充分非必要条件故选A6如果执行程序框图，那么输出的S=（）A2450B2500C2550D2652【考点】E8：设计程序框图解决实际问题【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出：S=21+22+250的值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出：S=21+22+250的值S=21+22+250=250=2550故选C7设斜率为的直线l与双曲线交于不同
11、的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率为（）ABCD【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】由这两个交点在x轴上的射影恰好是双曲线的两个焦点，知，再由b2=c2a2能导出2，从而能得到该双曲线的离心率【解答】解：由题设知，令x=c，得y=，即，2，解得e=，或e=（舍）故选B8设（5x）n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若MN=56，则展开式中常数项为（）A5B15C10D20【考点】DB：二项式系数的性质【分析】通过给二项式中的x赋值1求出展开式的各项系数和；利用二项式系数和公式求出二项式系数和，代入MN=56求出n；利用二项展开式的通项公
12、式求出二项展开式的通项，令x的指数为0，求出常数项【解答】解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为M=4n，二项式系数和为N=2n，由MN=56，得n=3，其展开式的通项为 令3=0得r=2代入通项解得常数项为15故选B9设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=|x+3y|的最大值为（）A4B6C8D10【考点】7C：简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=|x+3y|过点A时，z最大值即可【解答】解：作出约束条件的可行域如图，由z=|x+3y|知，所以动折线z=|x+3y|经过可行域A或B点时，z取得最大值时，目标函数取得最大值由得A（2，2
13、）由解得B（2，2），代入目标函数可得zA=8，zB=4目标函数取得最大值：8故选：C10从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位（）A85B56C49D28【考点】D8：排列、组合的实际应用【分析】由题意知丙没有入选，只要把丙去掉，把总的元素个数变为9个，甲、乙至少有1人入选，包括甲乙两人只选一个的选法和甲乙都选的选法两种情况，根据分类计数原理得到结果【解答】解：丙没有入选，只要把丙去掉，把总的元素个数变为9个，甲、乙至少有1人入选，由条件可分为两类：一类是甲乙两人只选一个的选法有：C21C72=42，另一类是甲乙都选的选法有C22C
14、71=7，根据分类计数原理知共有42+7=49，故选C11若函数f（x）=ex+ax，xR有两个零点，则实数a的取值范围为（）A1aeBaeCea1Dae【考点】52：函数零点的判定定理【分析】作出y=ex与y=ax的图象，根据函数图象的交点个数和导数的几何意义判断a的范围【解答】解：令f（x）=0得ex=ax，f（x）有两个零点，y=ex与y=ax的图象有两个交点，作出y=ex与y=ax的图象，如图所示：若直线y=ax与y=ex相切，设切点坐标为（x0，y0），则有，解得x0=1，y0=e，a=e，当ae即ae时，直线y=ax与y=ex的图象有两个交点故选B12设函数f（x）是奇函数y=f（
15、x）（xR）的导函数，f（1）=0，当x0时，xf（x）+f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，1）（0，1）B（0，1）（1，+）C（，1）（1，0）D（1，0）（1，+）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系【分析】由已知当x0时总有xf（x）+f（x）0成立，可判断函数g（x）为增函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（，0）（0，+）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+）上的单调性和奇偶性，而不等式f（x）0等价于xg（x）0，分类讨论即可求出【解答】解：设g（x）=xf（x），则g（x）的导数为：g（x）=f（x）+xf（x）当x0时，xf（
16、x）+f（x）0，即当x0时，g（x）恒大于0，当x0时，函数g（x）为增函数，f（x）为奇函数函数g（x）为定义域上的偶函数又g（1）=1f（1）=0，f（x）0，当x0时，g（x）0，当x0时，g（x）0，当x0时，g（x）0=g（1），当x0时，g（x）0=g（1），x1或1x0故使得f（x）0成立的x的取值范围是（1，0）（1，+），故选：D二填空题（每小题5分，请将最终结论填写在答题卡对应的位置）13随机变量服从正态分布N（1，2），已知P（0）=0.3，则P（2）=0.7【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】随机变量服从正态分布N（1，2），得到曲线关于x=1对
17、称，根据曲线的对称性得到小于0的和大于2的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果【解答】解：随机变量服从正态分布N（1，2），曲线关于x=1对称，P（0）=P（2）=0.3，P（2）=10.3=0.7，故答案为：0.714已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形，则该几何体的体积为64；侧面积为40+24【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由题意可知，这一几何体是一个四棱锥，且四棱锥的底面是一个长为8，宽为6的矩形，四棱锥的高为4，所以体积可用乘以底面积，再乘高来求，表面积可用底
18、面积再加四个侧面三角形面积来求，最后，把底面积和侧面积相加即可【解答】解：由题意可知，这一几何体是一个四棱锥，且四棱锥的底面是一个长为8，宽为6的矩形，四棱锥的高为4，为864=64侧面为等腰三角形，底边长分别为8，6；斜高分别为5，4侧面积为852+642=40+24=40+24故答案为64，40+2415从0，1随机取两个数分别记为x，y，那么满足的概率为【考点】CF：几何概型【分析】求出从0，1随机取两个数为x，y对应的区域面积，再求出满足yx2的区域面积，计算面积比即可求出的概率【解答】解：从0，1随机取两个数为x，y，对应的区域是边长为1的正方形，面积为1，如图所示；满足yx2的区域
19、为图中阴影部分，根据对称性，求出阴影部分的面积为2（12x2）=2（）=；满足yx2的概率是P=故答案为：16已知向量， =（1，7），设M是直线OP上任意一点（为坐标原点），则的最小值为8【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】由题意设，则，R，利用向量三角形减法法则求得的坐标，得到关于的二次函数求最值【解答】解：由题意设，则，R，又=（1，7），=（12，7）（52，1）=（12）（52）+（7）（1）=5220+12对称轴方程为=2，当=2时，的最小值为522202+12=8故答案为：8三解答题（请在答题卡对应处写出必要的解答过程）17如图，ACD是等边三角形，ABC是等腰直角三角形，
20、ACB=90，BD交AC于E，AB=2（1）求cosCBE的值；（2）求AE【考点】HQ：正弦定理的应用【分析】（1）根据图中各角和边的关系可得CBE的值，再由两角差的余弦公式可得答案（2）根据正弦定理可直接得到答案【解答】解：（1）BCD=90+60=150，CB=AC=CDCBE=15，（2）在ABE中，AB=2，由正弦定理得，故18一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个每张卡片被取出的概率相等（1）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是奇数的概率；（2）现从盒子中一次随机取出1张
21、卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片设取出了次才停止取出卡片，求的分布列和数学期望【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CB：古典概型及其概率计算公式；CG：离散型随机变量及其分布列【分析】（1）直接利用古典概型的概率公式求解即可（2）从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，由题意知抽取的次数可能的取值是1、2、3、4，求出概率的分布列，然后求解期望【解答】（本小题满分12分）解：（1）记事件A为“任取2张卡片，将卡片上的数字相加得到的新数是奇数”，因为奇数加偶数可得奇数，所以所以所
22、得新数是奇数的概率等于 （2）所有可能的取值为1，2，3，4，根据题意得P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=，P（=4）=故t=3的分布列为1234PE（）=19如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，边长为，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点（1）求证：ACSD；（2）若SD平面PAC，求CP与平面SBC所成角的正弦值【考点】MI：直线与平面所成的角；LO：空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）连结BD，交AC于点O，以O为原点建立坐标系，通过计算得出ACSD；（2）求出与平面SBC的法向量，计算cos即可得出CP与平面SBC所成角的正弦值【解答】（1）证明：连结BD，
23、交AC于点O，由题意知SO平面ABCD，以O点为坐标原点，以OB，OC，OS分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系底面ABCD是边长为的正方形，侧棱长为2，OB=OC=1，于是，ACSD（2）解：SD平面PAC，PC平面PAC，SDCP，设，又，又，解得，B（1，0，0），设平面SBC的法向量为=（x，y，z），则，令z=1得，于是CP与平面SBC所成角的正弦值为|cos|=20椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为A（0，2），右焦点F与点的距离为2，（1）求椭圆的方程；（2）斜率k0的直线l：y=kx2与椭圆相交于不同的两点M，N满足|AM|=|AN|，求直线l的方程【考点】K4：椭圆的
24、简单性质【分析】（1）设出椭圆的标准方程，由题意得b=2，再由a、b、c之间的关系及|FB|=2，求出a2=12，从而得到椭圆的方程（2）假设存在直线l，则点A在线段MN的垂直平分线上，把直线l的方程代入椭圆的方程，转化为关于x的一元二次方程，由题意知判别式大于0，设出M、N的坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，用斜率表示MN的中点P的坐标，求出AP的斜率，由APMN，斜率之积等于1，求出直线l的斜率【解答】解：（1）依题意，设椭圆方程=1 （ ab0 ），则其右焦点坐标为F（c，0），c=，由|FB|=解得c=2，又b=2，a2=c2+b2=12，即椭圆方程为（2）由|AM|=|AN|知点
25、A在线段MN的垂直平分线上，把y=kx2代入椭圆方程消去y得x2+3（kx2）2=12，即（1+3k2）x212kx=0由k0，得方程的=（12k）2=144k20，即方程有两个不相等的实数根 设M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点P（x0，y0），则x0=，y0=kx02=，即P（），k0，直线AP的斜率为k1=，由APMN，得2+2+6k2=6，解得：k=存在直线l满足题意，直线l的方程y=x221已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x2+ax3，（1）求函数f（x）的图象在点（1，0）处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间上的最小值；（3）对一切实数x（0，+），2f（
26、x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论t的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（3）问题转化为恒成立，设，根据函数的单调性求出a的范围即可【解答】解：（1）因为，得f（1）=ln1+1=1，f（x）的图象在点（1，0）处的切线方程：y=1（x1）+0，即y=x1为所求（2）f（x）的定义域为（0，+），f（x）=lnx+1=0时，且t0，所以，当时，x在时，f（x）0，f（x）递减，x在时f（x）0，f（
27、x）递增，所以；当时，x在，f（x）0，f（x）递增，所以f（x）最小值=f（t）=tlnt于是（3）x（0，+）时2f（x）g（x）恒成立，即2xlnxx2+ax3恒成立，即恒成立，设=0时x=3或1，又因为x（0，+），当x（0，1）时，h（x）0，h（x）递减，x（1，+）时，h（x）0，h（x）递增，所以h（x）最小值=h（1）=4，于是a4为所求22在平面直角坐标系中，直线l的方程为x+y+3=0，以直角坐标系中x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆M的极坐标方程为=2sin（）写出圆M的直角坐标方程及过点P（2，0）且平行于l的直线l1的参数方程；（）设l1与圆M的两个交点为A，B，求
28、+的值【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程【分析】（）极坐标方程=2sin两边同乘，得2=2sin，从而能求出M的直角坐标方程，直线x+y+3=0的倾斜角为，由此能求出过点P（2，0）且平行于x+y+3=0的直线的参数方程（）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，由参数t 的几何意义能求出+的值【解答】解：（）极坐标方程=2sin两边同乘，得2=2sin其中2=x2+y2，y=sin，x=cos所以M的直角坐标方程为x2+y22y=0又直线x+y+3=0的倾斜角为，所以过点P（2，0）且平行于x+y+3=0的直线的参数方程为即，（t为参数）直线的参数方程不唯一，只要正确给分（）把（）中的代入整理得设方程的两根为t1，t2，则有由参数t 的几何意义知PA+PB=t1+t2，PA*PB=t1t2所以若直线的参数方程不是标准型，没有利用几何意义，但通过其他方法得出结论的给分2017年6月17日
