1、1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定学 习 目 标核 心 素 养1.能正确写出一个命题的否定，并判断其真假2理解含有一个量词的命题的否定的意义3会对含有一个量词的命题进行否定(重点)4掌握全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题(重点、难点)1.通过对命题的否定的认识，提升数学抽象的数学素养2通过对含有一个量词的命题的否定的理解，提升逻辑推理的数学素养.1命题的否定 (1)一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“p ”，读作“非p”或“p的否定”(2)如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题；反之亦然常见的命题的否定形式有：原语句是都是
2、至少有一个至多有一个否定形式不是不都是一个也没有至少有两个2.含有一个量词的命题的否定一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论；全称量词命题p：xM，p(x)，它的否定p：xM，p(x)；存在量词命题p：xM，p(x)，它的否定p：xM，p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题 1有以下命题：没有男生爱踢足球；所有男生都不爱踢足球；至少有一个男生不爱踢足球；所有女生都爱踢足球其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定的是()ABCD C所有男生都爱踢足球的否定为“不是所有男生都爱踢足球”，即“至少有一个男生不爱踢足球”2命题“xR，nN*，使得nx2”的
3、否定形式是()AxR，nN*，使得nx2BxR，nN*，使得nx2CxR，nN*，使得nx2DxR，nN*，使得nx2D根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D.3命题“xR，x22x20”的否定是 ()AxR，x22x20 BxR，x22x20CxR，x22x20 DxR，x22x20 A由存在量词命题和全称量词命题的关系可知“xR，x22x20”的否定为xR，x22x20.4命题“任意xR，若y0，则x2y0”的否定是_存在xR，若y0，则x2y0已知命题是一个全称量词命题，其否定为存在量词命题，先将“任意”换成“存在”， 再否定结论，即命题的否定是：存在xR，若y0, 则x2y0.命题的
4、否定【例1】写出下列命题的否定，并判断其真假(1)p：ysin x是周期函数；(2)p：实数的绝对值都大于0；(3)p：菱形的对角线垂直平分；(4)p：若xy0，则x0或y0.解(1) p ：ysin x不是周期函数假命题(2) p：实数的绝对值不都大于零真命题(3) p：菱形的对角线不垂直或不平分假命题(4) p：若xy0，则x0且y0. 假命题p是对命题p的全盘否定，其命题的真假与原命题相反对一些词语的正确否定是写p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”等1写出下列命题的否定形式，并判断其真假(1)p：面积相等的三角形都是全等三角形；(2)p：若m2n20，则实
5、数m，n全为零；(3)p：实数a，b，c满足abc0，则a，b，c中至少有一个为0.解(1) p：面积相等的三角形不都是全等三角形真命题(2) p：若m2n20，则实数m，n不全为零假命题(3) p：实数a，b，c满足abc0，则a，b，c中都不为0.假命题全称量词命题的否定【例2】写出下列命题的否定，并判断其真假(1)p：任意nZ，则nQ；(2)p：等圆的面积相等，周长相等；(3)p：偶数的平方是正数解(1) p：存在nZ，使nQ，这是假命题(2) p：存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题(3) p：存在偶数的平方不是正数，这是真命题1写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题
6、的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定2有些全称量词命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”2写出下列全称量词命题的否定(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；(2)p：对任意xZ，x2的个位数字不等于3；(3)p：数列1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；(4)p：可以被5整除的整数，末位是0.解(1) p：存在一个能被3整除的整数不是奇数(2) p：xZ，x2的个位数字等于3.(3) p：数列1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数(4) p：存在被5整除的整数，末位不是0.存在量词命题的否定【例3】写出下列存在量词命题的否
7、定(1)p：xR，x22x20；(2)p：有的三角形是等边三角形；(3)p：有一个素数含三个正因数解(1) p：xR，x22x20.(2) p：所有的三角形都不是等边三角形(3) p：每一个素数都不含三个正因数与全称量词命题的否定的写法类似，要写出存在量词命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到存在量词命题的否定.3写出下列命题的否定，并判断其真假(1)存在一个平行四边形，它的对角线互相垂直；(2)存在一个三角形，它的内角和大于180；(3)存在偶函数为单调函数解(1)命题的否定：对于任意的平行四边形，它的对角线都不互相垂直，是假命题(2)
8、命题的否定：对于任意的三角形，它的内角和小于或等于180，是真命题(3)命题的否定：所有的偶函数都不是单调函数，是真命题全称量词命题与存在量词命题的应用【例4】已知命题p：xR，x22axa0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是_(0,1)法一：若命题p：xR，x22axa0是真命题，得(2a)24a0，即a(a1)0, 若命题p是假命题，则a(a1)0，解得0a0是真命题，得(2a)24a0，即a(a1)0，解得0a1.1全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函
9、数等数学知识来解决2存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在” “不存在”“是否存在”等语句表述解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设4命题“存在xR，使x22xm0”是假命题，求得m的取值范围是(a，), 则实数a的值是()A0 B1 C2 D3 B由题意知原命题的否定是真命题，即xR，都有x22xm0是真命题由44m0，得m1，a1.1p是对命题p的全盘否定，其命题的真假与原命题相反对一些词语的正确否定是写p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“
10、至少三个”等2对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称量词命题还是存在量词命题(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等(4)无量词的全称量词命题要先补回量词再否定1已知ab，则下列结论中正确的是()Ac0，abcBc0，abcCc0，abc Dc0，abcDA项，若a1，b2，c1，满足ab，但abc不成立；B项，若a9.5，b10，c1，abc不成立；C项，因为ab，c0，所以abc恒成立，故C错误，D项，c0，abc成立，故选D.2
11、设命题p：xR，x210，则p为()AxR，x210 BxR，x210CxR，x210 DxR，x210B命题p：xR，x210，是一个全称量词命题，p：xR，x210.3下列命题的否定为假命题的是()AxR，x22x20BxR，x31C所有能被3整除的整数都是奇数D某些梯形的对角线互相平分D对于选项A，因为x22x2(x1)210，所以xR，x22x20是假命题，故其否定为真命题；对于选项B，因为当x1时，x31，所以xR，x31是假命题，故其否定为真命题；对于选项C，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题；对于选项D，任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题，因此其否定是假命题4“至多有2个人”的否定为_至少有3个人“至多有两个人”含义是有0人或1人或2人，故“至多有2个人”的否定为“至少有3个人”
