1、甘肃省金昌市第一中学2021届高三数学一模试题 文（含解析）一、选择题（共12小题）.1已知集合Ax|x23x40，B4，1，3，5，则AB（）A4，1B1，5C3，5D1，32若z1+2i+i3，则|z|（）A0B1CD23埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）ABCD4设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）ABCD5某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：）的关系，在20个不
2、同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（xi，yi）（i1，2，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10至40之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）Aya+bxBya+bx2Cya+bexDya+blnx6已知圆x2+y26x0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A1B2C3D47设函数f（x）cos（x+）在，的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（）ABCD8设alog342，则4a（）ABCD9执行下面的程序框图，则输出的n（）A21B19C17D2310设an是等比数列，且a1+a2+a31，a2+a3+a42，则a6
3、+a7+a8（）A12B24C30D3211已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB1，AC，ABAC，AA14，则球O的表面积为（）A5B10C20D12设F1，F2是双曲线C：x21的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|2，则PF1F2的面积为（）AB3CD2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13若x，y满足约束条件则zx+7y的最大值为 14设向量（1，1），（m+1，2m4），若，则m 15曲线ylnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 16数列an满足，则数列的前2020项和为 二、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明
4、过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知B150（1）若ac，b2，求ABC的面积；（2）若sinA+sinC，求C18网购是当前人们购物的新方式，某公司为了改进营销方式，随机调查了100名市民，统计了不同年龄的人群网购的人数如表：年龄段（岁）（0，20）20，40）40，60）60，100）网购人数2632348男性人数1510105（1）若把年龄在20，60）的人称为“网购迷”，否则称为“非网购迷”，请完成下面的22列联表，并判断能否有99%把握认为网
5、购与性别有关？网购迷非网购迷总计男性女性总计（2）若从年龄小于40岁的网购男性中用分层抽样的方法抽取5人，再从中抽取两人，求两人年龄都小于20岁的概率附：P（K2k0）0.100.050.010.001k02.7063.8416.63510.82819如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB、BB1的中点（1）证明：BC1平面A1CD；（2）设AA1ACCB2，求三棱锥CA1DE的体积20已知函数f（x）lnx+2ax（1）当a1时，讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围21已知抛物线E：x22py（p0），直线ykx+2与E交于A、B两点，且2，其中O为
6、原点（1）求抛物线E的方程；（2）点C坐标为（0，2），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k222k2为定值（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C1的参数方程为（为参数）（1）求曲线C1的直角坐标方程；（2）曲线C2的极坐标方程为（R），求C1与C2的公共点的极坐标选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|3x+1|2
7、|x1|（1）画出yf（x）的图象；（2）求不等式f（x）f（x+1）的解集参考答案一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的小题.1已知集合Ax|x23x40，B4，1，3，5，则AB（）A4，1B1，5C3，5D1，3解：集合Ax|x23x40（1，4），B4，1，3，5，则AB1，3，故选：D2若z1+2i+i3，则|z|（）A0B1CD2解：z1+2i+i31+2ii1+i，|z|故选：C3埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其
8、侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）ABCD解：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为h，则依题意有：，因此有h2（）2ah4（）22（）10（负值舍去）；故选：C4设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）ABCD解：O，A，B，C，D中任取3点，共有10种，即OAB，OAC，OAD，OBC，OBD，OCD，ABC，ABD，ACD，BCD十种，其中共线为A，O，C和B，O，D两种，故取到的3点共线的概率为P，故选：A5某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：）的关系，在20个不同的温度条件下进
9、行种子发芽实验，由实验数据（xi，yi）（i1，2，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10至40之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）Aya+bxBya+bx2Cya+bexDya+blnx解：由散点图可知，在10至40之间，发芽率y和温度x所对应的点（x，y）在一段对数函数的曲线附近，结合选项可知，ya+blnx可作为发芽率y和温度x的回归方程类型故选：D6已知圆x2+y26x0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A1B2C3D4解：由圆的方程可得圆心坐标C（3，0），半径r3；设圆心到直线的距离为d，则过D（1，2）的直线与圆
10、的相交弦长|AB|2，当d最大时弦长|AB|最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时d|CD|2，所以最小的弦长|AB|22，故选：B7设函数f（x）cos（x+）在，的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（）ABCD解：由图象可得最小正周期小于（），大于2（），排除A，D；由图象可得f（）cos（+）0，即为+k+，kZ，（*）若选B，即有，由+k+，可得k不为整数，排除B；若选C，即有，由+k+，可得k1，成立故选：C8设alog342，则4a（）ABCD解：因为alog342，则log34a2，则4a329则4a，故选：B9执行下面的程序框图，则输出的n（）A21B19C17D2
11、3解：依据程序框图的算法功能可知，输出的n是满足1+3+5+.+n100的最小正奇数，易解得n19，所以输出的n21故选：A10设an是等比数列，且a1+a2+a31，a2+a3+a42，则a6+a7+a8（）A12B24C30D32解：an是等比数列，且a1+a2+a31，则a2+a3+a4q（a1+a2+a3），即q2，a6+a7+a8q5（a1+a2+a3）25132，故选：D11已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB1，AC，ABAC，AA14，则球O的表面积为（）A5B10C20D解：由直棱柱的外接球的半径与底面三角形的外接圆的半径和棱柱高的一半构成直角三角
12、形AB1，AC，ABAC，外接圆的半径rBC1，球心到底面的距离hAA12，球的半径满足R2r2+h212+225，球O的表面积为4R220故选：C12设F1，F2是双曲线C：x21的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|2，则PF1F2的面积为（）AB3CD2解：由题意可得a1，b，c2，|F1F2|2c4，|OP|2，|OP|F1F2|，PF1F2为直角三角形，PF1PF2，|PF1|2+|PF2|24c216，|PF1|PF2|2a2，|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|4，|PF1|PF2|6，PF1F2的面积为S|PF1|PF2|3，故选：B二、填空题：本大题共4小题
13、，每小题5分，共20分。13若x，y满足约束条件则zx+7y的最大值为1解：x，y满足约束条件，不等式组表示的平面区域如图所示，由，可得A（1，0）时，目标函数zx+7y，可得yx+，当直线yx+过点A时，在y轴上截距最大，此时z取得最大值：1+701故答案为：114设向量（1，1），（m+1，2m4），若，则m5解：向量（1，1），（m+1，2m4），若，则m+1（2m4）m+50，则m5，故答案为：515曲线ylnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为y2x解：ylnx+x+1的导数为y+1，设切点为（m，n），可得k1+2，解得m1，即有切点（1，2），则切线的方程为y22（x
14、1），即y2x，故答案为：y2x16数列an满足，则数列的前2020项和为解：（n+1），4（），所以数列的前2020项和为4（+.+）4（）故答案为：二、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知B150（1）若ac，b2，求ABC的面积；（2）若sinA+sinC，求C解：（1）ABC中，B150，ac，b2，cosB，c2（负值舍去），a2，（2）sinA+sinC，即sin（180150C）+，化简得，sin
15、（C+30），0C30，30C+3060，C+3045，C1518网购是当前人们购物的新方式，某公司为了改进营销方式，随机调查了100名市民，统计了不同年龄的人群网购的人数如表：年龄段（岁）（0，20）20，40）40，60）60，100）网购人数2632348男性人数1510105（1）若把年龄在20，60）的人称为“网购迷”，否则称为“非网购迷”，请完成下面的22列联表，并判断能否有99%把握认为网购与性别有关？网购迷非网购迷总计男性女性总计（2）若从年龄小于40岁的网购男性中用分层抽样的方法抽取5人，再从中抽取两人，求两人年龄都小于20岁的概率附：P（K2k0）0.100.050.010
16、.001k02.7063.8416.63510.828解：（1）由题中信息得22列联表如下表所示：网购迷非网购迷总计男性202040女性461460总计6634100计算得，故有99%把握认为网购与性别有关；（2）年龄在（0，20）、20，40）网购男性分别有15人、10人按分层抽样的方法随机抽取5人，年龄段（0，20）应抽取3人，分别记为1、2、3；年龄段20，40）应抽取2人，分别记为a、b，从中随机抽取2人的一切可能结果所组成的基本事件共10个：（1，2）、（1，3）、（1，a）、（1，b）、（2，3）、（2，a）、（2，b）、（3，a）、（3，b）、（a，b）用A表示“两人年龄都小于2
17、0岁”这一事件，则事件A由3个基本事件组成：（1，2）、（1，3）、（2，3）故事件A的概率为19如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB、BB1的中点（1）证明：BC1平面A1CD；（2）设AA1ACCB2，求三棱锥CA1DE的体积【解答】（1）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，连结DF，则BC1DF因为DF平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD，所以BC1平面A1CD（2）解：因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD由已知ACCB，D为AB的中点，所以CDAB又AA1ABA，于是CD平面ABB1A1由AA1ACCB2，得ACB90，A1E
18、3，故A1D2+DE2A1E2，即DEA1D所以三菱锥CA1DE的体积为：120已知函数f（x）lnx+2ax（1）当a1时，讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围解：（1）当a1时，f（x）lnx+2x，x0，当x（0，1）时，f（x）0，f（x）在（0，1）上单调递增；当x（1，+）时，f（x）0，f（x）在（1，+）上单调递减（2），当a0时，f（x）0，f（x）单调递增，不合题意；当a0时，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）0，f（x）单调递减，令1lna0，得0ae，所以当a（0，e）时，f（x）有两个零点21已知抛物线E：x22py（p0），直线ykx
19、+2与E交于A、B两点，且2，其中O为原点（1）求抛物线E的方程；（2）点C坐标为（0，2），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k222k2为定值【解答】（1）解：将ykx+2代入x22py，得x22pkx4p0，其中4p2k2+16p0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x22pk，x1x24p，x1x2+y1y24p+4，由已知，4p+42，解得p，抛物线E的方程为x2y（2）证明：由（1）知x1+x2k，x1x22，x1x2，同理k2x2x1，2（x1x2）22（x1+x2）28x1x216（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用
20、2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C1的参数方程为（为参数）（1）求曲线C1的直角坐标方程；（2）曲线C2的极坐标方程为（R），求C1与C2的公共点的极坐标解：（1）曲线C1的参数方程为（为参数），普通方程为（x2）2+y21； （2）由已知C2的极坐标方程为（R），即yx，与圆的方程联立，有，则x，y，故交点的极坐标为（，）选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|3x+1|2|x1|（1）画出yf（x）的图象；（2）求不等式f（x）f（x+1）的解集解：函数f（x）|3x+1|2|x1|，图象如图所示（2）由于f（x+1）的图象是函数f（x）的图象向左平移了一个单位所得，（如图所示）直线y5x1向左平移一个单位后表示为y5（x+1）15x+4，联立，解得横坐标为x，不等式f（x）f（x+1）的解集为x|x
