1、热点(十四)新定义，新背景，新情境1定义集合A，B的一种运算：A*Bx|xx1x2，其中x1A，x2B，若A1,2,3，B1,2，则A*B()A1,2,3,4,5 B2,3,4,5C2,3,4 D1,3,4,52规定记号“”表示一种运算，定义abab(a，b为正实数)，若1k20)个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为()A. B.C. D.9(多选题)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的xD，存在yD，使得f(x)f(y)成立，则称函数f(x)为“H函数”下列为“H函数”的是()Aysin xcos x Byln xexCy2x Dyx22x10(多选题)若函数yf(x)
2、的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t，则称函数yf(x)为“t函数”下列函数中可以称为“2函数”的是()Ayxx3 ByxexCyxln x Dyxcos x11(多选题)已知单位向量i，j，k两两的夹角均为，若空间向量ax iy jz k(x，y，zR)，则有序实数组(x，y，z)称为向量a在“仿射”坐标系O xyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作a(x，y，z)，则下列命题正确的是()A已知a(1,3，2)，b(4,0,2)，则ab0B已知a，b，其中x，y，z均为正数，则当且仅当xy时，向量a，b的夹角取得最小值C已知a(x1，y1，z1)，b
3、(x2，y2，z2)，则ab(x1x2，y1y2，z1z2)D已知(1,0,0)，(0,1,0) ，(0,0,1)，则三棱锥O ABC的表面积S12(多选题)2020新高考卷信息熵是信息论中的一个重要概念设随机变量X所有可能的取值为1,2，n，且P(Xi)pi0(i1,2，n)，i1，定义X的信息熵H(X)ilog2pi.()A若n1，则H(X)0B若n2，则H(X)随着p1的增大而增大C若pi(i1,2，n)，则H(X)随着n的增大而增大D若n2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2，m，且P(Yj)pjp2m1j(j1,2，m)，则H(X)H(Y)13甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个
4、数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b1,2,3,4,5，若|ab|1，就称甲、乙“心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为_14已知函数f(x)的图象在点(x0，f(x0)处的切线为l：yg(x)，若函数f(x)满足xI(其中I为函数f(x)的定义域)，当xx0时，f(x)g(x)(xx0)0恒成立，则称x0为函数f(x)的“转折点”已知函数f(x)exax22x在区间0,1上存在一个“转折点”，则a的取值范围是_15高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的
5、最大整数，则yx称为高斯函数例如：2.13，3.13，已知函数f(x)，则函数yf(x)的值域为_16在实数集R中定义一种运算“*”，具有如下性质：(1)对任意a，bR，a*bb*a；(2)对任意aR，a*0a；(3)对任意a，bR，(a*b)*cc*(ab)(a*c)(b*c)5c；则对于函数f(x)x*(x0)，f_，函数f(x)的最小值为_热点(十四)新定义，新背景，新情境1答案：B解析：当x11时，x2可以取1或2，则x1x22或3；当x12时，x2可以取1或2，则x1x23或4；当x13时，x2可以取1或2，则x1x24或5.A*B2,3,4,5故选B.2答案：A解析：因为定义aba
6、b(a，b为正实数)，1k23，所以1k23，化为(|k|2)(|k|1)0，所以|k|1，所以1k1.故选A.3答案：B解析：设等差数列bn的公差为d(d0)，k，因为b11，则nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因为对任意的正整数n上式均成立，所以(4k1)d0，(2k1)(2d)0，解得d2，k.所以数列bn的通项公式为bn2n1.故选B.4答案：A解析：根据题意，若甲选择仰泳，乙可以选择蝶泳或自由泳，剩余两人任意选择剩下的两种泳姿，有CA224种选法，若甲选择自由泳，则乙只能选择蝶泳，剩余两人任意选择剩下两种泳姿，有A2种选法
7、，因此一共有426种选法，故选A.5答案：A解析：由题设知，f(x)sin xcoscos xsinsin，所以为了得到函数ysin x的图象，只需要把函数f(x)sin的图象上所有的点向左平移个单位长度故选A.6答案：D解析：通解易知v(1，)，uv(3，)，设向量u与uv的夹角为，则cos ，所以sin ，又|uv|2，|u|2，所以|u(uv)|222.优解设向量u与uv的夹角为，因为uv(3，)，|uv|2，|u|2，所以|u(uv)|u|uv|sin |u|uv|2.故选D.7答案：B解析：由题意得数列an的前n项和Sn3n2n，易知an6n2.于是，故数列的前2 019项和为1.故
8、选B.8答案：C解析：由新运算可知f(x)cos 2xsin 2x2cos，所以将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数y2cos的图象，即y2cos 2x的图象，显然该函数为偶函数经检验知选项A，B，D错误，选C.9答案：AB解析：由题意，得“H函数”的值域关于原点对称A中，ysin xcos xsin 2x，其值域关于原点对称，故A是“H函数”；B中，函数yln xex的值域为R，故B是“H函数”；C中，因为y2x0，故C不是“H函数”；D中，yx22x(x1)211，其值域不关于原点对称，故D不是“H函数”综上所述，A，B是“H函数”，故选AB.10答案：CD解析：设切点的横坐
9、标分别为x1，x2，对于A，y13x2，所以两条切线的斜率之和为23(xx)，由于x1，x2不能同时为零，所以23(xx)2，不符合题意；对于B，y1ex，所以两条切线的斜率之和为22，不符合题意；对于C，yln x1，所以两条切线的斜率之和为2ln x1ln x22ln (x1x2)，当x1，x2互为倒数时，两切线的斜率之和为2，符合题意；对于D，y1sin x，所以两条切线的斜率之和为2sin x1sin x2，当sin x1sin x20，即x12kx2或x12x2(kZ)时，两条切线的斜率之和为2，符合题意综上所述，故选CD.11答案：BC解析：对于A，由题可知ab(i3j2k)(4i
10、2k)4i212ij8ik2ik6jk4k2412cos 6cos 6cos 412cos .由于，所以ab0，故该命题不正确；对于B，由题可知ax iyj，bz k，cos a，b ，由基本不等式可知当且仅当xy时，cos a，b取最大值，即两向量夹角取得最小值，故该命题正确；对于C，由题可知ab(x1x2)i(y1y2)j(z1z2)k(x1x2，y1y2，z1z2)，故该命题正确；对于D，由题可知三棱锥O ABC是棱长为1的正四面体，其表面积S41，故该命题不正确综上，故选BC.12答案：AC解析：对于选项A，若n1，则p11，log210，H(X)p1log2p1log210，A正确；
11、对于选项B，当p1时，H(X)ilog2pi(p1log2p1p2log2p2)，当p1时，H(X)ilog2pi(p1log2p1p2log2p2)，由此可得，当p1与p1时，信息熵相等，B错误；对于选项C，若pi，则H(X)ilog2pinlog2n，H(X)随着n的增大而增大，C正确；对于选项D，若n2m，随机变量Y的可能取值为1,2，m，由P(Yj)pjp2m1j(j1,2，m)知，P(Y1)p1p2m；P(Y2)p2p2m1；P(Y3)p3p2m2；P(Ym)pmpm1.H(X)(p1log2p1p2mlog2p2m)(p2log2p2p2m1log2p2m1)(pmlog2pmpm
12、1log2pm1)，H(Y)(p1p2m)log2(p1p2m)(p2p2m1)log2(p2p2m1)(pmpm1)log2(pmpm1)，H(Y)H(X)(p1p2m)log2(p1p2m)(pmpm1)log2(pmpm1)p1log2p1p2mlog2p2mpmlog2pmpm1log2pm1p1log2p2mlog2.易知01，01，log20，log20，H(Y)H(X)，故D错误13答案：解析：任意两人猜数字时互不影响，故各有5种可能，故基本事件有5525种，“心有灵犀”的情况包括：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(
13、4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，共13种，故他们“心有灵犀”的概率为.14答案：1ae解析：根据定义，函数f(x)满足xI(其中I为函数f(x)的定义域)，当xx0时，f(x)g(x)(xx0)0恒成立，f(x)exax2.令h(x)exax2，则h(x)exa，令h(x)exa0，则其解就是“转折点”，故exa，xln a，x0,1，则0ln a1，解得1ae.15答案：0,1,2解析：因为f(x)，2x10，所以01，所以3，即f(x)3，所以yf(x)的值域为0,1,216答案：3解析：令c0，得(a*b)*00*（ab）+（a*0）+(b*0),由a*b=b*a可得（a*b）*0=（ab）* 0 +(a * 0)+(b * 0),再由a * 0 =a 得(a * b )* 0=a * b =ab + a + b. f(x)x * = 1x，所以f，由基本不等式知x2，则f(x)3，当且仅当x1时等号成立，故f(x)min3.
