1、第四章函数14.2 同角三角函数的关系与诱导公式考点搜索同角三角函数的三个基本关系式诱导公式“1”在化简、求值、证明中的妙用已知tan的值，求sin和cos构成的齐次式(或能化为齐次式)的值三角恒等式的证明2高考猜想以同角三角函数的基本关系式与诱导公式作为工具对三角函数进行恒等变换.3一、同角三角函数间的基本关系式 1.平方关系：_;1+tan2=sec2，1+cot2=csc2;2.商数关系：_，3.倒数关系：_,cossec=1,sincsc=1.二、诱导公式sin2+cos2=1tancot=141.2k+(kZ)，-，2-的三角函数值等于的 _三角函数值，前面加上一个把看成_角时原函数
2、值的符号.2.，的三角函数值等于的_函数值，前面加上一个把看成_角时原函数值的符号.记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限.(注：奇、偶指的奇数倍或偶数倍.)同名锐互余锐5盘点指南：sin2+cos2=1;tancot=1;同名；锐；互余；锐61.已知ABC中，cotA=，则cosA=()解：先由cotA=知A为钝角，则cosA0,排除A和B；再由和sin2A+cos2A=1,求得故选D.D72.sin585的值为()解：sin585=sin(360+225)=sin(180+45)=-sin45=，故选A.A83.已知tan=2，则sin2+sincos-2cos2=()解：故选D.D91.(1
3、)已知sin=，求tan;(2)已知sin=m(m0，m1)，求tan.解：(1)因sin=0，所以为第一或第二象限角.当为第一象限角时，当为第二象限角时，由(1)知，tan=-.题型1 运用同角三角函数的关系求值10(2)因为sin=m(m0，m1)，所以 (当在第一、四象限时取正号，当在第二、三象限时取负号).所以，当为第一、四象限角时，当为第二、三象限角时，11点评：同角三角函数关系式是化异名(函数)为同名(函数)的基础.主要的三个关系式为sin2x+cos2x=1，tanxcotx=1.转化时注意符号的取舍，如果角的范围不能确定，则注意分类讨论.12已知tan=m(m0)，求sin的值
4、.解：因为tan=m0，所以在第二、四象限.当在第二象限时,当在第四象限时，13 2.设是第二、三象限的角，求证：证明：因为是第二、三象限的角，所以cos0.所以左边题型2 运用同角三角函数关系化简、证明14 =右边，所以结论成立.点评：解决有关三角函数式的化简与证明的问题，关键是合理选择公式和变形方向，如异名化同名、整体代换、切化弦，等等.15化简解：原式=16 3.化简下列各式：(1)(2)解：(1)原式=题型3 诱导公式的应用17(2)原式=点评：诱导公式是化任意角的三角函数为锐角三角函数的公式，也是化异角为同角的公式，化简时特别注意符号的规定.18已知 (1)化简f()；(2)若求f(
5、)的值；(3)若=-1860，求f()的值.解：(1)19(2)由及得 (3)20 4.已知sin+cos=,(0,).求下列各式的值：(1)tan;(2)sin-cos;(3)sin3+cos3.解法1：因为sin+cos=,(0,),所以(sin+cos)2=1+2sincos,所以sincos=-0,cos0,cos0，所以sin-cos=.(3)sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)=点评：由sin2+cos2=1知，在式子sin+cos，sin-cos及sincos中，知道其中一个，便可求得其余两个式子的值.求解中注意符号的讨论与取舍.23242526 1.化简解法1：原式=题型 “1”的妙用27解法2：原式=28 2.已知求下列各式的值:(1);(2)sin2+sincos+2.解：由已知得 (1)题型切割化弦与齐次式的应用29(2)301.已知角的某一个三角函数值，求角的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择.一般思路是按“倒、平、倒、商、倒”的顺序求解，特别是要注意开方时的符号选取.2.在进行三角函数式化简和三角恒等式的证明时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，一般思路是切割化弦.3.证明三角恒等式的常用方法为：从一边开始证得它等于另一边，一般由繁到简；证明左、右两边都等于同一个式子(或值).31
