1、第二章函数12.3 函数的值域第二课时题型4 用不等式法求函数的值域1.求下列函数的值域：(1);(2).2解：(1)因为x ，所以x-0，所以，当且仅当x-=，即x=时等号成立.所以y ，所以原函数的值域为,+).3(2)原函数可化为sinx-ycosx=1-2y，所以sin(x-)=1-2y(其中)，所以sin(x-)=-1,1，所以|1-2y|，所以3y2-4y0，所以0y ，所以原函数的值域为0,.4点评：对于求形如或 (x-或x-)的值域，常用均值不等式求解，求解时注意“一正，二定，三相等”三个条件须同时成立.5将上题(1)中条件“x ”改为“x ”呢?解：因为x ，所以x-0，所以
2、当且仅当，即x=时等号成立.所以y-，所以原函数的值域为(-,-.62.设a0为常数，函数f(x)=，已知当xm，n(nm0)时，f(x)的值域也是m，n，求a的取值范围.解：因为f(x)在(0，+)上是增函数，所以当nm0时，f(x)在m，n上是增函数.因为当xm,n时,f(x)m,n,所以从而m,n是关于x的方程=x的两个不等正根.题型5 有关值域的逆向思维问题7由=x，得，所以解得0a，故a的取值范围是(0，).点评：解决函数的定义域与值域对应的问题，一般先根据函数的单调性，找到定义域与值域的端点值的对应关系，然后由此得出相应参数的方程(或不等式)，再求解得出参数的取值或取值范围.8若函
3、数f(x)=的最大值为4，最小值为-1，求实数a，b的值.解：设y=,去分母得yx2-ax+y-b=0，y=0显然在函数值域-1，4内；y0时，xR，所以=a2-4y(y-b)0，即4y2-4by-a20的解为-1y4.所以方程4y2-4by-a2=0的两根为-1，4，由韦达定理知，b=-1+4=3，-=-14，所以a=4，b=3或a=-4，b=3.拓展练习9 3.若不等式a-x-对一切x(0，成立，求a的最小值.解：构造函数f(x)=-x-，x(0，则f(x)=-1+，当x(0，时，y0，所以f(x)=-x-在(0，上单调递增.因为x(0，,所以f(x)max=f()=-，又因为af(x)恒
4、成立af(x)max=-，故a的最小值为-.题型6 恒成立与存在性问题10点评：不等式的恒成立问题，可以构造函数，利用函数的最值问题来解决.求函数的最值的方法与求函数的值域的方法是类似的，此类题综合了函数、方程、不等式等知识，注意三者之间的相互转化与联系.11(原创)关于x的不等式a在区间1，2上有解，求a的取值范围.解：构造函数f(x)=，x1，2，则f(x)=，当x1，2时，f(x)0，所以f(x)在区间1，2上是减函数.所以x1,2时,f(x)min=f(2)=-，因为a在区间1，2上有解，则af(x)min=-.故a的取值范围是-，+).12如图，在边长为1的正三角形ABC中，P、Q、
5、R分别为边BC、CA、AB上的点，且CQ=2BP，AR=3BP，求PQR的面积S的取值范围.题型实际应用问题13解：设BP=x，则S=SABC-SBPR-SPCQ-SARQ又03x1，即0 x ，所以函数的定义域为0，所以当x=时，Smin=;当x=0时，Smax=.所以S的取值范围是，.141.求函数值域的常用方法:配方法、判别式法、换元法、不等式法、有界性法、单调性法、图象法、反函数法、几何法等.2.已知函数的定义域或值域，求参数的值或取值范围，关键是要将题设条件转化为关于参数的方程(组)或不等式(组).3.对于求含参数的方程有实根的条件，若能分离参数，则可转化为函数的值域求解.154.恒成立问题：f(x)a恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(x)maxa.5.存在性问题：存在x，使f(x)a成立f(x)maxa；存在x，使f(x)a成立f(x)mina.16
