1、第12讲 函数与方程【学习目标】1结合二次函数的图象，掌握二次方程根的分布情况；2理解函数零点的概念和性质，以及会用二分法求函数的零点C【解析】f(0)3，f(1)1，应选C.D【解析】当x0时，ylnx与y2x6的图象有1个交点当x0时，yx(x1)与x轴有2个交点f(x)有3个零点，选D.3设f(x)3x3x8，用二分法求方程3x3x80在(1,2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.25)0，f(1.5)0，则方程的根在()A(1,1.25)B(1.25,1.5)C(1.5,2)D不能确定B【解析】依二分法原理可知应选B.4函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是()A(2，1)B(
2、1,0)C(0,1)D(1,2)B5(2011辽宁)已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是(，2ln22【解析】问题可转化为ex2xa0有解即a2xex有解令g(x)2xex，则g(x)2ex，令g(x)0有xln2，g(x)在(，ln2)上单调递增，在(ln2，)上单调递减，g(x)maxg(ln2)2ln22，a(，2ln22【知识要点】1函数零点的几个等价关系方程f(x)0有函数yf(x)的图象与有交点函数yf(x)有零点根x轴连续不断f(a)f(b)0(aa，bb)f(c)0根3用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(1)确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；
3、(2)求区间(a，b)的中点x1；(3)计算f(x1)；若f(x1)0，则x1就是函数的零点；若f(a)f(x1)0，则令bx1(此时零点x0(a，x1)；若f(x1)f(b)0，则令ax1(此时零点x0(x1，b)(4)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(4)一、一元二次方程根的分布例1已知关于x的二次方程x22mx2m10.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围【点评】一元二次函数的零点问题，即一元二次方程根的分布问题，通常转化为二次函数的图象问题，利用
4、等价转换思想求解二、函数零点的判定例2判断下列函数在给定区间上是否存在零点(1)f(x)x23x18，x1,8；(2)f(x)log2(x2)x，x1,3【解析】(1)解法一：f(1)200，f(1)f(8)0.故f(x)x23x18，x1,8存在零点解法二：令f(x)0，得x23x180，x1,8，(x6)(x3)0.x61,8，x31,8，f(x)x23x18，x1,8存在零点【点评】(1)函数零点存在性问题常用的办法有三种：1用零点存在性定理(零点存在性定理是充分条件，而非必要条件)；2解方程；3用图象(2)判断函数零点的个数，通常用数形结合法，直接求解法三、求函数的零点例3用二分法求函
5、数f(x)x3x1在区间1,1.5内的一个零点(精确度0.1)|1.3751.3125|0.06250.1，函 数 的 零 点 落 在 区 间 长 度 小 于 0.1的 区 间1.3125,1.375内，故函数零点的近似值为1.3125.【点评】(1)求函数零点的近似值的关键是利用二分法求值过程中区间长度是否小于精确度，当区间长度小于精确度时，运算即结束，而此时取的中点值即为所求，当然也可取区间端点的另一个值(2)精确度与精确到是两个不同的概念，精确度最后的结果不能四舍五入，而精确到只需区间两个端点的函数值满足条件，即取近似值之后相同，则此时四舍五入的值即为零点的近似解C【点评】本题主要考查导
6、数的几何意义，利用导数研究取值的方法、基本不等式求最值及方程根的讨论，由此可认为由于有关函数零点问题是新增知识点，既可以以小题形式考查(如基础检测4)，也可以结合其它知识综合考查，并将函数与方程思想，转化化归思想，数形结合思想渗透其中一并考查1利用函数yf(x)的零点来研究方程f(x)0的根的分布情况，是数形结合的体现此时，要构造合理的函数，根据函数值的情况判断其零点情况，若要知道零点个数，还需结合函数的单调性2解决一元二次方程根分布问题，先构造二次函数，再作出符合根的分布的二次函数的图象，由图象的形象直观可得出符合根的分布的必要条件，进而证明(或寻求)它也是其充要条件3我们可用二分法来求方程
7、的近似解由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算其流程图如下：(0,1)2【解析】(1)当x2时，f(x)3(x1)20，f(x)在(，2)上单调递增，f(x)(，1)；当x2时，f(x)在2，)上单调递减，f(x)(0,1；要使f(x)k有两个不同的实根，则0k1.【命题立意】(1)本题考查函数的零点问题，考查学生作图的能力，考查数形结合的思想方法(2)本题考查了函数零点的存在区间，对数函数和一次函数的性质等知识，本题可运用函数零点的判定来解决，也可画出对数函数ylogax(2a3)的图象和直线yxb(3b4)再进行直观判断CBBB(5，1)
