1、第二章函数、导数及其应用第九节函数与方程抓 基 础明 考 向提 能 力教 你 一 招我 来 演 练备考方向要明了考 什 么 了解函数零点的概念，能判断函数在某个区间上是否存在零点.怎 么 考1.函数的零点、方程根的个数是历年高考的重要考点2.利用函数的图形及性质判断函数的零点，及利用它们求参数取值范围问题是重点，也是难点3.题型以选择题和填空题为主，常与函数的图象与性质交汇命题.1.函数的零点(1)定义对于函数yf(x)(xD)，把使成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与有交点函数yf
2、(x)有f(x)0 x轴零点3函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数yf(x)在区间内有零点，即存在c(a，b)，使得，这个也就是f(x)0的根f(a)f(b)0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点(x1,0)无交点零点个数(x1,0)，(x2,0)两个一个零个1函数f(x)exx2的零点所在的一个区间是()A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)解析：由于f(0)10，f(1)e10，根据函数的零点存在性定理，知函数f(x)的零点在区间(0,1)内答案：C答案：C3(教材习题改编)在以下区间中，存在函数f
3、(x)x33x3的零点的是 ()A1,0 B1,2C0,1 D2,3答案：C解析：注意到f(1)70，f(0)30，f(2)110，f(3)330，结合各选项知，选C.答案：2答案：(2,0)5已知函数f(x)x2xa在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)x2xa在(0,1)上有零点f(0)f(1)0.即a(a2)0，解得2a0.1函数的零点不是点函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标2函数零点具有的性质对于任意函数，只要它
4、的图象是连续不间断的，其函数零点具有以下性质：(1)当它通过零点(不是偶次零点)时，函数值变号；(2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号3零点存在定理的零点个数(1)在(a，b)上存在零点(此处的零点不仅指变号零点)，个数不定，若仅有变号零点，则有奇数个(2)若函数在(a，b)上有零点，不一定有f(a)f(b)0时，2ln x0，解得xe2，则f(x)在(0，)上有一个零点，所以f(x)共有2个零点答案C巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！)答案：B答案：D冲关锦囊函数零点的判断方法(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函
5、数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点精析考题例3(2011辽宁高考改编)已知函数f(x)exxa有零点，则a的取值范围是_自主解答f(x)exxa，f(x)ex1.令f(x)0，得x0.当x0时，f(x)0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上是增函数故f(x)minf(0)1a.若函数f(x)有零点，则f(x)min0.即1a0，a1.答案(，1若函数变为f(x)ln x2xa，其他条件不
6、变，求a的取值范围巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！)3(2012天津联考)若函数f(x)x33xa有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 ()A(2,2)B2,2C(，1)D(1，)答案：A解析：函数f(x)有3个不同的零点，即其图象与x轴有3个不同的交点，因此只需f(x)的极大值与极小值异号即可f(x)3x23，令3x230，则x1，故极值为f(1)和f(1)，f(1)a2，f(1)a2，所以应有(a2)(a2)0，故a(2,2)4(2012南通质检)已知函数f(x)x2(1k)xk的一个零点在(2,3)内，则实数k的取值范围是_答案：(2,3)解析：因为(1k)24k(1k)20对一切
7、kR恒成立，又k1时，f(x)的零点x1(2,3)，故要使函数f(x)x2(1k)xk的一个零点在(2,3)内，则必有f(2)f(3)0，即2k3.冲关锦囊此类利用零点求参数范围的问题，可利用方程，有时不易甚至不可能解出，而转化为构造两函数图象求解，使得问题简单明了，这也体现了数形结合思想数学思想数形结合思想与转化化归思想在解决方程根的问题中的应用巧妙运用当x2时，f(x)3(x1)20，说明函数在(，2)上单调递增，函数的值域是(，1)，又函数在2，)上单调递减，函数的值域是(0,1方程f(x)k有两个不同的实根，转化为函数yf(x)和yk有两个不同的交点，如图所示，当0k1时直线yk与函数f(x)图象有两个交点，即方程f(x)k有两个不同的实根答案：(0,1)题后悟道解答本题利用了转化与化归、数形结合的思想，所谓转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题本题是将不易直接解决的问题转化成两个熟悉的函数图象的交点问题，从而可利用图象求之 点击此图进入
