1、选考部分 第十二篇 几何证明选讲(选修 4-1)第 1 节 相似三角形的判定及有关性质 基础梳理考点突破知识整合 1.平行线截割定理及应用(1)平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.(2)平行线等分线段定理的推论 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线必平分另一腰.基础梳理 抓主干 固双基(3)平行线分线段成比例定理及其推论 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.2.相似三角形的判定定理与性质定理(1)相似三
2、角形的判定定理 定理 内容 判定定理 1 两角对应相等,两三角形相似 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似 判定定理 3 三边对应成比例,两三角形相似 (2)相似三角形的性质定理 定理与推论 内容 性质定理 1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形周长的比等于相似比 性质定理 2 相似三角形面积的比等于相似比的平方 推论 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方 3.直角三角形相似的判定定理与射影定理(1)直角三角形相似的判定定理 定理 内容 判定定理 1 如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相
3、似 判定定理 2 如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似 判定定理 3 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似 (2)直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.双基自测 1.如图所示,在ABC 和DBC 中,ABDB=BCDC=ACBC=73,若 DBC 的周长之差为 12 cm,则ABC 的周长为 .解析:由相似三角形的性质可得ABCDBCCC=73,CABC=73CDBC,又CABC-CDBC=12 cm,代入解得,CABC=2
4、1 cm.答案:21 cm 2.如图所示,ABCDEF,AFBE=O,若 AO=OD=23DF,BE=14 cm,则 BO 等于 .解析:CDEF,OD=23 DF,OC=23 CE,又ABCD,AO=OD,O 为 BC 中点,BO=OC,OB=27 BE=27 14=4 cm.答案:4 cm 3.如图所示,在ABC 中,M、N 分别是 AB、BC 的中点,AN、CM 交于点 O,那么MON 与AOC 面积的比是 .解析:M、N 分别是 AB、BC 的中点,MNAC,MN=12 AC.MNOCAO.MONCOASC=2MNAC=212=14.答案:14 4.在 RtABC 中,C=90,CDA
5、B 于 D,若 BDAD=13,则BCD=.解析:由射影定理得,CD2=ADBD,又BDAD=13,令 BD=x,AD=3x,CD2=ADBD=3x2,CD=3 x,在 RtCDB 中,tanBCD=BDCD=3xx=33,BCD=6.答案:6 考点突破 剖典例 知规律 考点一 平行线截割定理及应用【例 1】如图ABC 中,D 为 BC 的中点,E 在 CA 上且AE=2CE,AD,BE 交于 F,则 AFFD=,BFFE=.思维导引:观察图形结构特征,可取 BE 的中点构造中位线,从而得到成比例线段,求得结论.解析:取 BE 的中点 G,连接 DG,在BCE 中,D、G 分别为 BC、BE
6、的中点,DGEC,且 DG=12EC.又AE=2CE,DGEC,AFFD=EFFG=AEDG=12AEEC=4,又 BG=GE,BFEF=BGGFEF=BGGFEF=2GFEFEF=2 14+1=32.答案:4 32 反思归纳(1)利用平行线分线段成比例定理来计算或证明,首先要观察平行线组,再确定所截直线,进而确定比例线段及比例式,同时注意合比性质、等比性质的运用.(2)平行线分线段成比例定理及推论是证明两条线段相等的重要依据,特别是在应用推论时,一定要明确哪一条线段平行于三角形的一边,是否过一边的中点.即时突破 1(2013 珠海期末质检)如图所示,在 ABC 中,DEBC,EFCD,若BC
7、=4,DE=2,DF=1,则 AB 的长为 .解析:DEBC,ADAB=AEAC=DEBC=12,ECAC=12.D 为 AB 的中点,又EFCD,DFAD=ECAC=12.AD=2.AB=2AD=22=4.答案:4 考点二 相似三角形的判定与性质【例 2】如图所示,D 为ABC 中 BC 边上一点,CAD=B,若AD=5,AB=9,BD=6,则 DC 的长为 .思维导引:根据CAD=B 及公共角C 可得CADCBA,从而得出成比例线段求出 DC.解析:CAD=B,C=C,CADCBA,ADBA=CDCA=ACBC,AC=AB CDAD,AC=AD BCAB,AB CDAD=AD BCAB,设
8、 CD=x,则 95x=5(6)9x,解得 x=7528.答案:7528 反思归纳(1)求解线段长度问题要充分利用所求线段与已知线段长度之间的关系,化归到相应三角形中,通过构造相似三角形求解.(2)由相似三角形构造成比例线段时,要注意边与边的对应,可以利用等角所对的边对应成比例构造等式,避免出错.即时突破 2 如图所示,D、E 分别为ABC 的边 AB、AC 上的点,A=35,C=85,AED=60,求证:ADAB=AEAC.证明:在ABC 中,A=35,C=85,B=60,B=AED,又A=A,ADEACB,ADAC=AEAB.ADAB=AEAC.考点三 直角三角形中的射影定理【例 3】已知
9、,如图所示,在ABC 中,ACB=90,CDAB 于 D,AC=6,DB=5,则 AD=;CD=.思维导引:根据已知,利用射影定理 构造关于 AD 的方程求解.解析:在 RtABC 中,ACB=90,CDAB,AC2=ABAD.设 AD=x,则 AB=x+5,又AC=6,62=x(x+5),即 x2+5x-36=0,解得 x=4(舍去负值),故 AD=4.由 CD2=ADDB 得 CD2=45=20,CD=25.答案:4 25 反思归纳(1)运用直角三角形中的射影定理时要注意大前提是在直角三角形中,要确定好直角边及其射影.(2)在证明问题中要注意等积式与比例式的相互转化,同时注意射影定理的其他
10、变式.即时突破 3 如图所示,在ABC 中,ADBC 于 D,DEAB 于 E,DFAC于 F.求证:AEAB=AFAC.证明:ADBC,ADB 为直角三角形,又DEAB,由射影定理知,AD2=AEAB.同理可得 AD2=AFAC,AEAB=AFAC.备选例题【例 1】如图所示,在梯形 ABCD 中,ABCD,若 SODC SBDC=13,则 SODCSABC=.解析:SODCS BDC=13,且ODC 和BDC 有公共边,设ODC 和BDC 的高分别为 h 和 H,则 hH=13,DODB=13,DOOB=12.又ABCD,ODCOBA.SODCSOBA=14.设 SODC=a,则 SOBC=2a,S OAB=4a,SABC=SOAB+SOBC,SABC=6a.SODCSABC=16.答案:16【例 2】如图所示,在梯形 ABCD 中,ADBC,AB=CD,DECA,且交 BA 的延长线于 E,求证:EDCD=EABD.证明:在梯形 ABCD 中,AB=DC,ABC=DCB.又 BC=BC,ABCDCB.BAC=BDC,ACED,ADBC,E=BAC=BDC,EAD=ABC=DCB,EADDCB.EADC=EDDB ,即 EDCD=EABD.点击进入课时训练
