1、深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 1 页 共 16页 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试 理科数学试题答案及评分参考一、选择题1.B 2.B 3.C 4.A 5.C6.D7.B 8.A 9.D 10.B 11.D 12.C12.解析：当462时，即83 时，max()13f x=，解得3=；当462时，即803时，max()sin()463f x=，令()sin()46g=，()3h=，如图，易知()yg=，()yh=的图象有两个交点11(,)Ay，22(,)By，所以方程sin()463=有两个实根12，又888()1()393gh=
2、，所以易知有1283，所以此时存在一个实数1=满足题设，综上所述，存在两个正实数 满足题设，故应选 C.二、填空题：13.314.6315.41516.4316.解析：由对称性不妨设 mn，易知线段 MN 所在直线的方程为12yx=，又21122xxx+，点 P 必定不在曲线C 上，不妨设1(,)2P t t，()mtn，且过点 P 的直线l 与曲线C 相切于点20001(,)2Q xxx+，易知0|x xPQyk=，即2000011()()221xxtxxt+=，整理得200210 xtx=，（法一）显然00 x，所以0012txx=，令1()f xxx=，1,0)(0,3x U，绝密启封并
3、使用完毕前 试题类型：A 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 2 页 共 16页 如图，直线2yt=和函数()yf x=的图象有两个交点，又(1)0f=，且8(3)3f=，8023t，即403t，403mn，|mn的最大值为 43，故应填 43（法二）由题意可知013x，令2()21f xxtx=，函数()f x 在区间 1,3上有两个零点，则2(1)20(3)86013440ftfttt=+V，解得403t，403mn，|mn的最大值为 43，故应填 43 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分 12 分）已知 ABC 的
4、内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的面积为 S，222+2abcS=.（1）求cosC；（2）若 cossinaBbAc+=，5a=，求b.解：（1）2221=sin22SabCabcS+=，222sinabcabC+=，2 分在 ABC 中，由余弦定理得222sinsincos222abcabCCCabab+=，sin=2cosCC，4 分又22sin+cos C=1C，255cos C=1cosC=5，由于(0,)C，则sin0C，那么cosC0，所以5cosC=5.6 分（2）（法一）在 ABC 中，由正弦定理得sincossinsinsinABBAC+=，7 分sin
5、sin()sin()sincoscossinCABABABAB=+=+=+，8 分sincossinsinsincoscossinABBAABAB+=+，即sinsincossinBAAB=，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 3 页 共 16页 又,(0,)A B，sin0B，sin=cosAA，得4A=.9 分sinsin()sin()BACAC=+=+，10 分2522 53 10sinsincoscossin252510BACAC=+=+=，11 分在 ABC 中，由正弦定理得3 105sin103sin22aBbA=.12 分（法二）coss
6、inaBbAc+=，又coscosaBbAc+=，cossincoscosaBbAaBbA+=+，8 分即sincosAA=，又(0,)A，4A=.9 分在 ABC 中，由正弦定理得2 55sin52 2sin22aCcA=.10 分coscosbCAaC=+，252 25325c=+=.12 分（法三）求 A 同法一或法二在 ABC 中，由正弦定理得2 55sin52 2sin22aCcA=，10 分又由余弦定理2222coscababC=+，得2230bb=，解得1b=或3b=.所以3b=.12 分（余弦定理2222 cosabcbA=+，得2430bb+=，解得1b=或3b=.因为当1b
7、=时，222+-20abc=，不满足cosC0(不满足222+22abcS=)，故舍去，所以3b=）【命题意图】综合考查三角函数的基本运算、三角函数性质，考查利用正弦、余弦定理解决三角形问题，检验学生的数学知识运用能力.深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 4 页 共 16页（第 18 题图）18（本小题满分 12 分）如图，在直四棱柱1111ABCDA BC D中，底面 ABCD 是平行四边形，点 M，N 分别在棱1C C，1A A 上，且12C MMC=，12A NNA=.（1）求证：1/NC平面 BMD；（2）若1322A AABAD=，3DAB=
8、，求二面角NBDM的正弦值.解：（1）证明：（法一）如图，连接 AC 交 BD 于点G，连接 MG 设1C M 的中点为 E，连接 AE 2 分,G M 是在 ACE 边,CA CE 的中点，/MG AE，3 分又12C MMC=，12A NNA=，11/AA CC，四边形1ANC E 是平行四边形，故1/NCAE，1/NCGM，4 分GM 平面 BMD，1/NC平面 BMD.5 分（法二）如图，设 E 是1BB 上一点，且12BEB E=，连接1EC.设G 是 BE 的中点，连接GM.1 分11/BEMCBE MC=，四边形1BEC M 是平行四边形，故1/ECBM，2 分又BM 平面 BM
9、D，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 5 页 共 16页 1/EC平面 BMD，3 分同理可证/NE AG，/AG DM，故/NE DM，/NE平面 BMD，4 分又1ECNE，平面1NEC，且1NEC EE=，平面1/NEC平面 BMD，又1NC 平面1NEC，所以1/NC平面 BMD.5 分（2）（法一）设二面角 NBDM为，二面角NBDA为 ，根据对称性，二面角 MBDC的大小与二面角 NBDA大小相等，故2=，sinsin(2)sin2=.下面只需求二面角 MBDC的大小即可.7 分由余弦定理得2222cos3BDADABAD ABDAB=+
10、=，故222ABADBD=+，ADBD.8 分四棱柱1111ABCDA BC D为直棱柱，1DD 底面 ABCD，1DDBD，9 分又1,AD D D 平面11ADD A，1ADD DD=，BD平面11BDD B，10 分ND 平面11ADD A，NDBD，所以二面角 NBDA的大小为NDA，即NDA=，在 RtNAD中，12sin22ANND=，11 分 4=，2=，二面角 NBDM的正弦值为1.12 分（法二）由余弦定理得2222cos3BDADABAD ABDAB=+=，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 6 页 共 16页 故222ABADBD
11、=+，ADBD.6 分 以 D 为坐标原点O，以1,DA DC DD 分别为,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.依题意有(0,0,0)D，(0,3,0)B，(1,3,1)M，(1,3,1)N，(0,3,0)DB=，(1,3,1)DM=，(1,3,1)DN=，7 分 设平面 MBD 的一个法向量为(,)nx y z=，00n DBn DM=，3030yxyz=+=，令1x=，则1z=，0y=，(1,0,1)n=，9 分 同理可得平面 NBD 的一个法向量为(1,0,1)m=，10 分 所以0cos,0|22m nm nm n=，11 分 所以二面角 NBDM的大小为 2，正弦值为1.1
12、2 分【命题意图】考察线面平行、线面垂直判定定理等基本知识，考查空间想象能力，计算能力，考查学生综合运用基本知识处理数学问题的能力.19（本小题满分 12 分）已知以 F 为焦点的抛物线2:2(0)C ypx p=过点(1,2)P，直线l 与C 交于 A，B 两点，M 为AB 中点，且OMOPOF+=uuuruuuruuur.（1）当=3时，求点 M 的坐标；（2）当12OA OB=uur uuur时，求直线l 的方程.解：（1）因为(1,2)P在22ypx=上，代入方程可得2p=，所以C 的方程为24yx=，焦点为(1,0)F，2 分设00(,)M x y，当=3时，由3OMOPOF+=uu
13、uruuuruuur，可得(2,2)M，4 分（2）（法一）设11(,)A x y，22(,)B x y，00(,)M x y，由OMOPOF+=uuuruuuruuur，可得00(1,2)(,0)xy+=，所以0=2y，所以l 的斜率存在且斜率121212042=1yykxxyyy=+，7 分深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 7 页 共 16页 可设l 方程为 yxb=+，联立24yxbyx=+=得22(24)0 xbxb+=，2244=16 160bbb=（2），可得1b ，9 分则1242xxb+=，212x xb=，2121 212()4y
14、yx xb xxbb=+=，所以21212=412OA OBx xy ybb=+=uur uuur，11 分解得6b=，或2b=（舍去），所以直线l 的方程为6yx=.12 分（法二）设l 的方程为 xmyn=+，11(,)A x y，22(,)B xy，00(,)M x y，联立24xmynyx=+=得2440ymyn=，216160mn=+，6 分 则124yym+=，124y yn=，21212()242xxm yynmn+=+=+，所以2(2,2)Mmnm+，7 分由OMOPOF+=uuuruuuruuur，得2(21,22)(,0)mnm+=，所以1m=，8 分所以l 的方程为 xy
15、n=+，由16 160n=+可得，1n ，9 分由124y yn=得221212()16y yx xn=，所以21212=412OA OBx xy ynn=+=uur uuur，11 分解得6n=，或2n=（舍去），所以直线l 的方程为6yx=.12 分【命题意图】本题以直线与抛物线为载体，考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系、向量的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力.20（本小题满分 12 分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区名患者的相关信
16、息，得到如下表格：潜伏期（单位:天）2,04,2(6,4(8,6(10,8(12,10(14,12(人数85205310250130155（1）求这名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；10001000 x深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 8 页 共 16页（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过 6 天为标准进行分层抽样，从上述名患者中抽取人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期6天潜伏期6天总计岁以上（含岁）1
17、00岁以下总计（3）以这名患者的潜伏期超过天的频率，代替该地区 名患者潜伏期超过天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了 20 名患者，其中潜伏期超过天的人数最有可能（即概率最大）是多少？附：0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635)()()()(22dbcadcbabcadnK+=，其中dcban+=.解：（1）5.45131511130925073105205385110001=+=）（x天.2 分（2）根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期6天潜伏期6天总计50岁以上（含50岁）653510050 岁以下554510
18、0总计12080200则212510001080120200)35554565(22=K2.083，5 分 经查表，得3.8412.0832K，所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关.6 分（3）由题可知，该地区每 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率为521000400=，7 分 设调查的 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数为 X，则)52,02(BX,kkkCkXP=02025352)(，0=k，1，2，20，8 分 100020095%50505055200100061666)(02kKP0k深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 9 页 共
19、 16页 由=+=)1()()1()(kXPkXPkXPkXP得+kkkkkkkkkkkkCCCC121102020291110202025352535253525352，10 分 化简得+kkkk3)12(2)02(2)1(3，解得542537 k,又Nk,所以8=k,即这 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数最有可能是 8 人.12 分【命题意图】以医学案例为实际背景，考查频数分布表，考查平均数，二项分布的随机变量概率最大时的取值；考查分析问题、解决问题的能力；处理数据能力、建模能力和核心素养.21（本小题满分 12 分）已知函数()eln(1)xf xax=.（其中常数e=2.718
20、28，是自然对数的底数）（1）若 aR，求函数()f x 的极值点个数；（2）若函数()f x 在区间(1,1+e)a上不单调，证明：111aaa+.解：（1）易知(1)e()1xxafxx=，1x ，1 分 若0a，则()0fx，函数()f x 在(1,)+上单调递增，函数()f x 无极值点，即函数()f x 的极值点个数为0；2 分若0a，（法一）考虑函数(1)e(1)xyxa x=，Q1(1)e0ayaaaaa+=，(1)0ya=，函数(1)e(1)xyxa x=有零点0 x，且011xa+，Qe0 xyx=，函数(1)e(1)xyxa x=为单调递增函数，函数(1)e(1)xyxa
21、x=有唯一零点0 x，(1)e()1xxafxx=亦存在唯一零点0 x，4 分 当0(1,)xx时，易知()0fx，即函数()f x 在0(1,)x上单调递减，当0(,)xx+时，易知()0fx，即函数()f x 在0(,)x+上单调递增，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 10 页 共 16页 函数()f x 有极小值点0 x，即函数()f x 的极值点个数为1，5 分 综上所述，当0a 时，函数()f x 的极值点个数为0；当0a 时，函数()f x 的极值点个数为1.（法二）易知函数exy=的图象与1ayx=(0)a 的图象有唯一交点00(,)M
22、 x y，00e1xax=，且01x ，3 分 当0(1,)xx时，易知()0fx，即函数()f x 在0(1,)x上单调递减，当0(,)xx+时，易知()0fx，即函数()f x 在0(,)x+上单调递增，函数()f x 有极小值点0 x，即函数()f x 的极值点个数为1，4 分 综上所述，当0a 时，函数()f x 的极值点个数为0；当0a 时，函数()f x 的极值点个数为1.（注：第（1）问采用法二作答的考生应扣 1 分，即总分不得超过 4 分）（法三）对于0a，必存在*nN，使得2lnana，即 2lnnaa，Q e1na，1e2lneee0nananaaaaa+=，1 eee(1
23、e)0enanananaaf+=，又11e(1)=e10aaaafaa+=，函数(1)e()1xxafxx=有零点，不妨设其为0 x，显然()e(1)1xafxxx=为递增函数，0 x 为函数()fx的唯一零点，4 分 当0(1,)xx时，易知()0fx，即函数()f x 在0(1,)x上单调递减，当0(,)xx+时，易知()0fx，即函数()f x 在0(,)x+上单调递增，函数()f x 有极小值点0 x，即函数()f x 的极值点个数为1，5 分 综上所述，当0a 时，函数()f x 的极值点个数为0；当0a 时，函数()f x 的极值点个数为1.（2）Q函数()f x 在区间(1,1+
24、e)a上不单调，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 11 页 共 16页 存在0(1,1+e)ax为函数()f x 的极值点，6 分 由（1）可知0a，且1+eee(1+e)0eaaaaaf=，即1+eeaaa，两边取对数得1+elnaaa，即1+elnaaa，7 分（法一）欲证 111aaa+，不妨考虑证 111+eln1aaaa+，先证明一个熟知的不等式：e1xx+，令g()e1xxx=，则g()e1xx=，g(0)0=，不难知道函数g()x 的极小值（即最小值）为g(0)0=，e10 xx，即e1xx+，8 分（思路 1：放缩思想）11e=e1a
25、aa+，即1e1aa+，9 分 又1 11eaa，11eaa，11lnaa，即 11lnaa ，11 分 111+eln1aaaa+，111aaa+.12 分（思路 2：构造函数）令1()ln1aaa=+，则22111()aaaaa=，不难知道，函数()a有最小值(1)0=，()0a，10 分当0a 时，1e1e01(1)eaaaaaa=+，11 分 11ln1e01aaaa+，即 111+eln1aaaa+，111aaa+.12 分（法二）令()1+elnxF xxx=，则1()e10 xF xx=，函数()F x 为单调递减函数，显然(2)2ln220F，且()0F a，02a，若01a，
26、则 1111aaaa+，即 111aaa+成立；8 分若12a，只需证 111+eln1aaaa+，不难证明 1114173aaa+，只需证明141+eln73aaa+，9 分深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 12 页 共 16页 令14()eln173aG aaa=+，12a，则22198198()e(73)(73)aG aaaaa=+，当12a时，22219849569(73)(73)aaaaaa+=+，显然函数249569yaa=+在1,2 上单调递增，且(1)20y=，()0G a，即函数()G a 为单调递增函数，10 分 当12a时，21
27、2e5()(1)05e5eG aG=，即()0G a，11 分 141+eln73aaa+，即 111aaa+，综上所述，必有 111aaa+成立.12 分（法三）同（法二）得02a，若01a，则 1111aaaa+，即 111aaa+成立；8 分若12a，只需证 111+eln1aaaa+，令11()eln11aG aaaa=+，12a，则222111()ee(1)(1)aaaG aaaa=+，下证当12a时，21e0(1)aa+，即证2e(1)aa+，即证2e1aa+，9 分令2()e1aH aa=，12a，则21()e12aH a=，当2ln2a=时，()0H a=，不难知道，函数()H
28、 a 在1,2ln2)上单调递减，在(2ln2,2上单调递增，函数()H a 的最大值为(1)H，或(2)H中的较大值，显然(1)e20H=，且(2)e30H=，函数()H a 的最大值小于0，即()0H a，亦即2e1aa+，10 分 21e0(1)aa+，即()0G a，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 13 页 共 16页 函数11()eln11aG aaaa=+，12a单调递增，易知11(1)02eG=，()0G a，即 111+eln1aaaa+，11 分 当12a时，有 111aaa+成立，综上所述，111aaa+.12 分【命题意图】本
29、题以基本初等函数及不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性.22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线1C 的参数方程为=+=,sin,cos32tytx（t 为参数，为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin4=（1）求2C 的直角坐标方程；（2）直线1C 与2C 相交于FE,两个不同的点，点 P 的极坐标为(2 3,)，若PFPEEF+=2，求直线1C 的普通方程 解：（1）由题意得，2C 的极坐标方程为sin4=，
30、所以sin42=，1 分 又sin,cos=yx，2 分 代入上式化简可得，0422=+yyx，3 分 所以2C 的直角坐标方程4)2(22=+yx4 分（2）易得点 P 的直角坐标为)0,32(，将=+=,sin,cos32tytx代入2C 的直角坐标方程，可得 012)sin4cos34(2=+tt，5 分 22(4 3cos4sin)48=8sin()4803=+，解得3sin()32+，或3sin()32+，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 14 页 共 16页 不难知道 必为锐角，故3sin()32+，所以 2333+，即03,6 分 设这
31、个方程的两个实数根分别为 1t，2t，则 sin4cos3421+=+tt，1221=tt，7 分 所以 1t 与 2t 同号，由参数t 的几何意义可得，12128 sin()3PEPFtttt+=+=+=+，2212121 2()44 4sin()33EFttttt t=+=+，8 分 所以22 4 4sin()38 sin()33+=+，两边平方化简并解得sin()13+=，所以2 6k=+，k Z,因为03，所以6=，9 分 所以直线1C 的参数方程为=+=,21,2332tytx 消去参数t，可得直线1C 的普通方程为0323=+yx10 分【命题意图】本题主要考查了圆的极坐标方程与直
32、角坐标方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义和三角函数等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养，考察考生的化归与转化能力23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知,a b c 为正数，且满足1.abc+=证明：（1）1119abc+；（2）8.27acbcababc+深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 15 页 共 16页 证明：（1）因为()111111abcabcabc+=+3bacacbabacbc=+3222=9b ac ac ba ba cb c+（当且仅当13abc=时，等号成立）.5 分（2）（法一
33、）因为,a b c 为正数，且满足1abc+=，所以1cab=，且10a，10b，10c，所以acbcababc+()abab cab=+()1abababab=+（）(1)(1)()baab=+(1)(1)(1)abc=3(1)(1)(1)8327abc+=，所以8.27acbcababc+（当且仅当13abc=时，等号成立）.10 分（法二）因为,a b c 为正数，且满足1abc+=，所以1cab=，且10a，10b，10c，()1acbcababcabcacbcababc+=+()()()()1111ab ac abca=+()()11abcbc=+()()()111abc=深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 16 页 共 16页()338327abc+=所以8.27acbcababc+（当且仅当13abc=时，等号成立）.10 分【命题意图】本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式（三元均值不等式）的证明，涉及代数恒等变形等数学运算、充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力的考察
