1、第 2 节 空间几何体的表面积和体积 基础梳理考点突破知识整合 空间几何体的表面积和体积公式如下 见附表 基础梳理 抓主干 固双基 质疑探究 1:圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是如何导出的?提示:将其侧面展开利用平面图形面积公式导出.质疑探究 2:将圆柱、圆锥、圆台的侧面沿任意一条母线剪开铺平分别会得到什么图形?提示:矩形、扇形、扇环.双基自测 1.圆柱的底面积为 S,侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面积是(A)(A)4 S(B)2 S(C)S(D)2 33 S 解析:由r2=S 得圆柱的底面半径是S,故侧面展开图的边长为 2S=2S,所以圆柱的侧面积是 4S,故选 A.2.(2013 年高
2、考重庆卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(D)(A)180(B)200(C)220(D)240 解析:几何体为直四棱柱,其高为 10,底面是上底为 2,下底为 8,高为 4,腰为 5 的等腰梯形,所以底面面积为 12(2+8)42=40.四个侧面的面积和为(2+8+52)10=200,所以直四棱柱的表面积为 S=40+200=240.故选 D.3.一个球与一个正方体的各个面均相切,正方体的边长为 a,则球的表面积为 .解析:由题意,球的半径 R=2a,则球的表面积 S=4R2=422a=a2.答案:a2 4.(2013 东北三校联考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积
3、为 .解析:由三视图可知,该几何体是底面是直角梯形的四棱柱.棱柱的高为 4,底面梯形的上底为 4,下底为 5,腰 CD=2231=10,所以梯形的面积为 S=4532=272,所以该几何体的体积为 272 4=54.答案:54 考点突破 剖典例 知规律 考点一 几何体的表面积【例 1】(2013 甘肃天水一中模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()(A)6+73 (B)10+3 (C)12+3 (D)12 思维导引:根据三视图确定该几何体的结构特征,然后求几何体的表面积.解析:由三视图知,原几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥,三棱柱的底面为边长是 2 的等边三角形,高为 2,所
4、以该几何体的表面积为 S=1223+322-2 1221+1222=12+3.故选 C.反思归纳 由空间几何体的三视图求其表面积,应先画出其直观图确定各面的形状,再根据三视图中的量度进行计算.即时突破 1(2013 年高考陕西卷)某几何体的三视图如图所示.则其表面积为 .解析:由三视图可知,该几何体是一个半径为 1 的半球,故其表面积为 12412+12=3.答案:3 考点二 几何体的体积【例 2】(1)(2013 广东惠州二模)已知某几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是()(A)43 cm3(B)83 cm3(C)2 cm3(D)4 cm3(2)(20
5、13 年高考辽宁卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 .思维导引:由三视图想象该几何体的直观图(组合体),然后求其体积.解析:(1)由三视图可知,该几何体为底面是正方形边长为 2 cm,高为 2 cm 的四棱锥,故 V=13222=83 cm3,故选 B.(2)由三视图知,该几何体是直径为 4,高为 4 的圆柱中间挖去一个底面边长为 2、高为 4 的四棱柱.所以其体积为 V=224-224=16-16.答案:(1)B(2)3 反思归纳 求几何体体积的思路(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式
6、得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.即时突破 2(1)(2013 广州毕业班质量检测)某空间几何体的三视图及尺寸如图,则该几何体的体积是()(A)2 (B)1 (C)23 (D)13 (2)(2013 揭阳市高中毕业班第二次高考模拟)一个棱长为 2 的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()(A)7(B)223 (C)476 (D)233 解析:(1)由三视图可知,这个几何体是水平放置的直三棱柱,且底面是直角三角形,则 V=Sh=233122=2.故选 A
7、.(2)由三视图知几何体为如图所示的正方体 ABCD A1B1C1D1剪去两三棱锥 D1 MNP、B1 QRS,其中,M、N、P、Q、R、S 分别为相应棱的中点,则几何体体积为V=222-13 121112=233,故选 D.考点三 折叠与展开问题【例 3】如图,在三棱柱 ABC ABC中,ABC 为等边三角形,AA平面ABC,AB=3,AA=4,M 为 AA的中点,P 是BC 上一点,且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC到 M 的最短路线长为29,设这条最短路线与 CC的交点为 N,求(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长;(2)PC 与 NC 的长.解:(1)该三棱柱的侧面展开图为边长分别为 4
8、 和 9 的矩形,故对角线长为2249=97.(2)将该三棱柱的侧面沿棱 BB展开,如图所示,设 PC=x,则 MP2=MA2+(AC+x)2.MP=29,MA=2,AC=3,x=2,即 PC=2.又 NCAM,故 PCPA=NCAM,即 25=2NC.NC=45.反思归纳(1)求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离.(2)解决折叠问题时,要分清折叠前后两图形中(折叠前的平面图形和折叠后的空间图形)元素间的位置关系和数量关系哪些发生了变化,哪些没有发生变化.即时突破3 将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,点 A、B、C、
9、D 折叠后对应点分别为 A、B、C、D,使 BD=a,求三棱锥 D ABC的体积.解:如图所示正方形 ABCD 及折叠后直观图.易知在直观图中,AB=BC=CD=DA=a,且 ADDC,ABBC,取 AC中点 E,连接 DE,BE,则 DEAC,BEAC,DE=EB=22 a,DEEB,DE平面 ABC.DE 即为三棱锥 D ABC的高.故DA B CV =13SABCDE=13 12aa22 a=212 a3.备选例题【例 1】(2013 天津滨海新区重点学校联考)一个五面体的三视图如图,正视图与侧视图是等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,部分边长如图所示,则此五面体的体积为 .解析:由三视图
10、可知,该几何体是底面是直角梯形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥.四棱锥的高为 2,底面梯形的上底是 1,下底为 2,梯形的高是 2,所以梯形的面积为 12(1+2)2=3,所以该几何体的体积为 1332=2.答案:2【例 2】(2013 山东潍坊一中月考)四棱锥 P ABCD 的三视图如图所示,四棱锥 P ABCD 的五个顶点都在一个球面上,E、F 分别是棱AB、CD 的中点,直线 EF 被球面所截得的线段长为 22,则该球的表面积为()(A)12 (B)24 (C)36 (D)48 解析:将三视图还原为直观图如图,可得四棱锥 P ABCD 的五个顶点位于同一个正方体的顶点处,且与该正方体内接于同
11、一个球,且该正方体的棱长为 a.设外接球的球心为 O,则 O 也是正方体的中心,设 EF 中点为 G,连接 OG,OA,AG.根据题意,直线 EF 被球面所截得的线段长为 22,即正方体面对角线长也是 22,可得 AG=2=22 a,所以正方体棱长 a=2,在直角三角形 OGA 中,OG=12a=1,AO=3,即外接球半径 R=3,得外接球表面积为 4R2=12.故选 A.命题探究 与三视图有关的空间几何体的体积计算【典例】(2013 年高考广东卷)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是()(A)16 (B)13 (C)23 (D)1 分析:由几何体的三视图作出几何体的直观图,根据“长对正、高平齐、宽相等”寻找出此三棱锥的相关数据,代入棱锥的体积公式计算.解析:三棱锥其底面是腰长为 1 的等腰直角三角形,高为 2,V=13 12112=13.故选 B.命题意图 高考对三视图的考查多是给出几何体的三视图求其体积,难度不大,考查三视图的作法及空间想象能力.点击进入课时训练
