1、秘密启用前玩37.已知O:E(了,21T),sin a=-了,sin(a+/3)=3co泊，则ta叩理科数学试卷A.-3B.-17C.39一2 D 注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回满分 150分，考试用时120分钟一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共0分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设复 数z 满足 lz-1I=2,z在
2、复平面内对应的点为（无，y)则A.(x-1)2+y2=4 B.(x+l)2+y2=4C.x2+(y-1)2=4D.x2+(y+l)2=42.已知集合A=j x I ax-1=0 I,B=1 x 12:s;x4,x EN l,且AU B=B,则实数a的所有值构成的集合是A 廿B 廿C.主，D.o,3.如图 l为某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.4丘B.8C.4$D.4屈A.(-oo,勺叶+oo)巨二二B.(-oo,轩u(李+oo)图14.巳知平面直角坐标系内三点A(1,3),B(2,5),C(m+I,3m+1),且平面内任意a 都可唯 一表示成-a=入AB+,AC(入，为实数），则实数m的
3、取值范围是C.(-00,2)U(2,+00)D.(-00,+00)5.设 F为抛物线C:y2=8x的焦点，点P(x。,y。)为C上一点，过P 作 y轴垂线，垂足为 A,若IPFI=3 IPA I,则lro I=A.4迈B.4C.2丘D.26.药物在体内的转运及转化形成了药物的体内过程，从而产生了药物在不同器官、组织、体液间的浓度随时间变化的动态过程，根据这种动态变化过程建立两者之间的函数关系，可以定量反映药物在体内的动态变化，为临床制定和调整给药 方案提供理论依据经研究表明，大部分注射药物的血药浓度C(t)(单位：g/ml)随时间 t(单位：h)的变化规律可近似表示为C(t)=C。.e-k,其
4、中C。表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，k表示该药物在人体内的消除速率常数巳知某麻醉药的消除速率常数k=0.5(单位：h-1)某患者第一次静脉注射该麻醉药后即进人麻醉状态，测得其血药浓度为 4.5g/ml,当患者清醒时测得其血药浓度为 0.9g/ml,则该患者的麻醉时间约为(ln 5=1.609)8.将 5 名冬奥会志愿者分配到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，北京赛区至少分配2 名志愿者，其它赛区至少分配1名志愿者，每名志愿者只分配到1个赛区，则不同的分配方案共有A.80种B.50种9.如图 2,在矩形ABCD中，AB=丘-,BC=2,E为 BC 中点，把!:,AB E和t:,CD
5、E分别沿AE,DE折起，使点 B与点C重合于点P,若三棱锥P-ADE的四个顶点都在球 0 的球面上，则球 O 的表面积为A.3,rB.4,rC.5,rD.9,r10.根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于 10C即为入冬将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为 一组样本，现有 4组样本心、，依次计算得到结果如下：心平均数及4;平均数云4且极差小于或等千3;平均数云 b aB.2组11.已知 a,bER且 12a 1a-b C.40种AD.25种c 图2酝C.3 组D.4 组C.bln aalnbb D.-ea-b12.已知函数f(x)=sin(2x+p)(OpO,bO)
6、的一个焦点 F 关于其一条渐近线的对称点 P 在 C 上，且直线 PF 与圆a b2 x2寸=4 相切，则C的离心率为16.如图 3,某城市公园内有一矩形空地 ABCD,AB=300m,AD=180m,现规D划在边 AB,CD,DA 上分别取点 E,F,G,且满足 AE=EF,FG=GA,在凶EAG 内建造喷泉瀑布，在 6.EFG 内种植花卉，其余区域铺设草坪，并修G建栈道 EG 作为观光路线（不考虑宽度），则当 tanLAEG=时，四边形 AEFG 的面积 S 最小，此时 S=m2.(本题第一空 2 分，第二空 3 分）三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(
7、本小题满分 12 分）如图 4,长方体 ABCD-A1B1C几的底面是正方形，E,F 分别是 BB1,B1 亿上的点，且 B1F=2C1F,B1 E=2BE.(1)证明：点 F 在平面 AD1 E 内；(2)若 AA1=3,AB=2,求二面角 A-DIE-B 的余弦值ABFc 图3DI A1 cl B1 F 18.(本小题满分 12 分）已知正项等比数列位.I的前n项和为s.,a1=1,且请在心S2+S3=17;a4-a2=6S2;a1+5 是 a2 和 a3 的等差中项；这三个条件中任选一个，补充到上述题目中的横线处，并求解下面的问题(1)求数列ja.f的通项公式；(2)若 bn=(n+I)
8、4n+2 log3 an+l 求数列飞了的前 n 项和T旷注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分19.(本小题满分 12 分）已知椭圆C:I寸=1,下顶点为 A,不与坐标轴垂直的直线 l 与 C 交于 P,Q两点(I)若线段 PQ 的中点为 R(-1,了），求直线 l 的斜率；(2)若 l 与 y 轴交于点 B(O,2),直线 AP,AQ 分别交 x 轴千点 M,N,0为坐标原点，记 6AOM 的面积为 S1,6ABN 的面积为 S2,求 S1.S2 的值20.(本小题满分 12 分）3月 14 日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”小
9、明、小俊两人组队代表班级参赛，每一轮竞赛，小组中的两人分别答 2 道题，若两人回答正确的题目不少千3道，则该小组将被称为“神算小组.巳知小明每次答题正确的概率为 P 1,小俊每次答题正确的概率为 P 2,在答题过程中两人答题正确与否互不影响，且各轮结果亦互不影响(1)若 P 1=,P 2=，则在第一轮竞赛中，求小明、小俊组获得“神算小组”的概率；5 5(2)若 P 1+P 2=一，则在数学知识竞赛中，小明、小俊组要想获得“神算小组”的次数为 5 次，理论上至4 少要进行多少轮竞赛？并求此时 P1,P 2 的值21.(本小题满分 12 分）已知函数f(x)=ae尤+lna-1.(1)当 a=l
10、时，若直线 l 既是曲线/(幻的切线，也是曲线 g位）=ln灶l 的切线，求直线 l 的方程；(2)若不等式/(x)-ln(叶2);:,:1 恒成立，求实数 a 的取值范围请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多做，则按所做的第一题计分22.(本小题满分 10 分）【选修 4-4:坐标系与参数方程】在平面直角坐标系动中，曲线 c,的参数方程是（勹；:(0 为参数，m,O).以原点 O 为极点，尤轴的y=m正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 p=sin
11、0(psin0+4).(1)求 C1 的普通方程和 Cz 的参数方程；(2)若 cl 与 C2 交于 P,Q 两点，设直线 OP 的斜率为 kl 直线 OQ 的斜率为 k2,求上的值kl k2 23.(本小题满分 10 分）【选修 4-5:不等式选讲】已知函数J(x)=I 2x-5 曰 x+21.(1)求不等式f(x):s;:3的解集；13(2)设函数 g(x)=lx+a订+Ix-a I,若对任意 meR,存在 neR,使得J(m)+g(n)求实数 a 的取值2 范围理科数学第3页（共4页）口 一 一 口 一 二理科数学第4页（共4页）理科数学参考答案一、选择题（本大题共 12 小题，每小题
12、5 分，共 60 分）题号123456789101112答案ADBCCBDACBDA【解析】1z 在复平面内对应的点为()x y，则复数+i()zx y xyR，则|1|(1)i|2zxy，由复数的模长公式可得22(1)4xy，故选 A.2由题，得2 3B，由 ABB得 AB，当0a 时，A 为空集符合题意，故选 D.3由三 视 图 可 知，该 几 何 体 为 如 图 1 所 示 的 三 棱 柱111ABCABC，且有12 2AA，ABC为等腰三角形，2 2AB，而 AB 边上的高为 2，所以该三棱柱的体积12 222 282V ，故选 B.4由题意，可知(1 2)AB ，(32)ACmm，由
13、于 AB，AC 不共线，故 232mm，即2m，故选 C.5根据抛物线的定义，可知00|22pPFxx，即有0023xx，解得01x ，所以0|2 2y，故选 C.6由题意，得0.50.94.5et，所以0.515et，则0.5ln5t，解得2ln53.2t，故选 B.7由于3sin5 且322，则有4cos5.由sincoscossin3cos得，184cossin55，故9tan2，故选 D.8第一类情形，先从 5 名志愿者中选择 2 名志愿者到北京参加活动，有25C10种方法，再从剩下的 3 名志愿者中选择 2 名志愿者到延庆参加活动，有23C3种方法，最后剩下的1 名志愿者到张家口参加
14、活动，有 1 种方法，由乘法分步原理得共有10 3 1=30 种分配方案；第二类情况，先从 5 名志愿者中选择 2 名志愿者到北京参加活动，有25C10种方法，再从剩下的 3 名志愿者中选择 1 名志愿者到延庆参加活动，有13C3种方法，最后剩下的 2 名志愿者到张家口参加活动，有 1 种方法，由乘法分步原理得共有10 3 1=30 图 1种分配方案；第三类情况，先从 5 名志愿者中选择 3 名志愿者到北京参加活动，有35C10种方法，再从剩下的 2 名志愿者中选择 1 名志愿者到延庆参加活动，有12C2种方法，最后剩下的 1 名志愿者到张家口参加活动，有 1 种方法，由乘法分步原理得共有10
15、 2 1=20 种分配方案；由加法分类计数原理得共有30302080种分配方案，故选A.9 由 题 意 可 知，PEPAPEPD，PAPDP，所 以 PE 平 面 PAD 又22PAPDAD，所以222PAPDAD，所以 PAPD，故可将三棱锥 PADE补形成以 PE PA PD，为相邻三条棱的长方体；若三棱锥 PADE的四个顶点都在球O 的球面上，则该长方体的各顶点亦在球O 的球面上.设球O 的半径为 R，则该长方体的体对角线长为 2R，即22225RPEPAPD，从而有22=4(2)5OSRR球，故选 C10错，举反例：0，0，0，4，11，其平均数34x，但不符合题意.对，在4x 且极差
16、小于等于 3，气温数据只可能在以下数组中取到(0，1，2，3)，(1，2，3，4)，(2，3，4，5)，(3，4，5，6)，符合题意.错，举反例：1，1，1，1，11，平均数34x，且标准差4s，但不符合题意.对，在众数等于 5 且极差小于等于 4 时，最大数不超过 9，符合题意，故选 B.11由于2xy 在 R 上单调递增，由122ab，可得 0ab.由于 0ab，1yx在(0)，上单调递减，所以 11ab，A 错.由于sin(0)yxx x，则有cos1 0yx ，所以sinyxx在(0)，上单调递减，又 0ab，可得 sinsinaabb，又0ab，则有 sinsin1abab，B 错.
17、由于ln xyx(0)x，则有21ln xyx，当0ex时，0y，所以ln xyx在(0 e)，上单调递增；当ex 时，0y，所以ln xyx在(e)，上单调递减；由于ln xyx在(0)，上不单调，所以无法判断 ln aa与 lnbb的大小，亦无法判断lnba 与lnab 的大小，C 错.由于e(0)xyxx，则有当0 x 时，(1)e0 xyx，所以exyx在(0)，上单调递增；又0ab，可得 eeabab，所以ea bba，D 对，故选 D.12当63x，时，2233x，又(0)，则有 2x的最小值大于 3而最大值小于 53.又()sin(2)f xx在区间 63，上单调递减，所以322
18、332，解得 566.令()sin(2)0f xx，则 2()xkkZ，即()22kxkZ；由于当1k 时，0222，可得0223，解得 3.综上，可得 的取值范围是536，所以对.如图 2 所示的是sin 23yx，5sin 26yx图象，由图可知，满足题意的()f x 在(0 2)，上有且仅有 2 个极小值点，有且仅有 4 个零点，所以对，错；当2 时，sin 2cos22yxx，此时()f x 在(0 2)，上有且仅有 1 个极大值点，所以错，故选 A.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）题号13141516答案527（满足(6 12)a，均可，答案不唯一）53
19、14400 33，【解析】13如图 3 所示，根据约束条件作出的可行域是顶点为(1 5)A，(0 1)B，(1 0)C，的ABC及其内部，则1yzx表示可行域内点()x y，与点(1 0)，连线的斜率，当直线经过(1 5)A，时，直线的斜率值最大为 551 12，故答案为 52.14如图 4 所示，由于满足条件的ABC有两个，则 sinbAab，即 612a，故答案为7（满足(6 12)a，均可，答案不唯一）.15如图 5 所示，不妨设点 P 在第二象限，设 C 的图 4图 3左、右焦点分别为(0)Fc ，(0)(0)F cc，则 PF 的中点 M 在直线byxa上，且2|1bcaFMbba，
20、故|2|2P FF Mb；由 于O MP F，则 有|OM 2222|2OFFMcba；又 O，M 分别为 F F，PF 的中点，则|2|2PFOMa，由双曲线的定义可得 2|248bPFPFaa，所以4b，所以22216154cabeaa，故答案为 5.16 如 图6，由 题，RtRtEAGEFG，设02AEG，则 有222DGF.在 RtGDF中，180cos2DGAGGFAG，可 得AG 218090cos21cos290(1tan)，则122SAG AE 2tanAG 22290(1 tan)tan23190tan2tantan.令 tant，由于2290(1)18090(1)300t
21、tt，解得113t，则3181002Sttt.令31()2f tttt，所以222221(31)(1)()32ttf tttt，则303f；当 1333t 时，()0f t，()f t 在 1333，上单调递减；当313t 时，()0f t，()f t在313，上 单 调 递 增，所 以min3()3f tf 16 39，故m i n 1 4 4 0 03S，此 时3t a n3，故答案为314400 33，三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分 12 分）（1）证明：如图 7，连接1BCEF，在长方体1111ABCDABC D中，11ADBC，因为1
22、1122B FC F B EBE，即1111123B FB EB CB B，所以111B EFB BC，所以1EFBC，图 6图 7所以1ADEF，所以1A DE F，四点共面，所以点 F 在平面1AD E 内.（4分）（2）解：以 D 为坐标原点，DA的方向为 x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，连接 AC，则(2 0 0)A，1(0 0 3)D，(2 2 1)E，(0 2 0)C，所 以(021)AE，1(2 0 3)AD ，(2 2 0)AC ，.设平面1AD E 的法向量为()x y z，m，由100AEAD，mm得 20230yzxz，可取(3)12，m.在正方形
23、 ABCD 中，BDAC，又1DDAC，1BDDDD，BD，1DD 平面1D EBD，所以 AC 平面1D EBD.（9分）由于82 7cos7|142 2ACACAC，mmm，因此，二面角1AD EB的余弦值为 2 77.（12分）18（本小题满分 12 分）解：（1）设等比数列 na的公比为 q，由于0na，则有0q.选择条件，由2317SS得1232217aaa，又11a ，所以22150qq，解得5q （舍去）或3q，所以13nna.（6分）选择条件，由4226aaS，可知1q ，所以2221(1)61qa qq，则有2(1)6a q，又11a ，所以260qq，解得2q （舍去）或3
24、q，所以13nna.（6分）选择条件，由题，可知2312(5)aaa，又11a ，则有2120qq，解得4q （舍去）或3q，所以13nna.（6分）（2）由（1）得，3(1)log 3(1)nnbnn n，所以222224242112(1)(1)nnnbn nnn.（9分）所以22222111112 122223(1)nTnn222221111121223(1)nn222(1)n.（12分）19（本小题满分 12 分）解：（1）设1122()()P xyQ xy，由 P Q，在椭圆C 上，得221122224411xyxy，两式相减得12121212()()()()04xxxxyyyy，所以
25、121212124()yyxxxxyy，又线段 PQ的中点11 2R，且点 R 在椭圆C 内，所以121221xxyy，所以直线l 的斜率为121212yyxx.（4分）（2）如图 8 所示，由题意知，直线 l 的斜率存在，设直线2lykx：，1122()()P xyQ xy，联立22214ykxxy，得22(14)16120kxkx由22(16)48(14)0kk，得234k，即3322kk 或；且有1221614kxxk，1221214x xk.由于直线 AP 的方程为1111yyxx，令0y，解得111xxy，则1101xMy，同理可得2201xNy，所以1212121212121211
26、331321214(1)(1)4(3)(3)xxx xx xyyyykxxSkS 12222212123312312143()94 12489(14)49x xk x xk xxkkk.（12分）20（本小题满分 12 分）解：（1）由题可知，符合题意的所有可能的情况有小明答题正确 1 道，小俊答题正确2 道；小明答题正确 2 道，小俊答题正确 1 道；小明答题正确 2 道，小俊答题正确2 道.所以所求概率222212212222222241242142CCCCCC553533533245P.（6分）（2）两人在某一轮竞赛中获得“神算小组”的概率为22222112212221122222221
27、2()()()()()()C1CCC1CCPpppppppp 212121223)()p pppp p，因为1254pp，所以2121253()2Pp pp p.图 8由于101p ，201p ，1254pp，所以1114p ，2114p ，所以由基本不等式，可得2121225264ppp p 1258pp当且仅当时取“”，则有121251664p p.令12tp p，22525()33212458h tttt ，6412516t，由于 2564251，所以当2564t 时，max62125()409h t，即max62192540P.（9分）设他们小组在*()n nN轮竞赛中获得“神算小组”
28、次数为 X，则有()XB n P，由题可知，maxmax2125()45096E XnPn，解得10n，所以理论上至少要进行 10 轮比赛，此时1258pp.（12分）21（本小题满分 12 分）解：（1）当1a 时，()e1xf x .设曲线()f x 上任意一点11()P xy，由于1111()exyf x，11()exfx，则曲线()f x 在点 P 处的切线为111e1)e()xxyxx，即111ee(1)1xxyxx.设曲线()g x 上任意一点22()Q xy，由于222()ln1yg xx，221()g xx，则曲线()g x 在点Q 处的切线为2221n(l1)yxxxx，即2
29、21lnxyxx.由题，得112121ee(1)1lnxxxxx，解方程组，得1201xx，或1211exx，所以直线 l 的方程为0 xy或 e10 xy.（6分）（2）令()exF xx，由题，得 elnln(2)2(2)xaaxx，则有lnln(2)e(ln)ln(2)(2)eln(2)xaxxaxxx，即(ln)(ln(2)FxaFx.由于()exF xx在 R 上单调递增，所以lnln(2)xax，即lnln(2)axx.令()ln(2)(2)h xxx x，所以11()122xh xxx ；又(1)0h，所以当 21x 时，()0h x，所以()h x 在(21)，上单调递增；当1
30、x 时，()0h x，所以()h x 在(1)，上单调递减；则有当2x 时，max()(1)1h xh，所以ln1a，则ea，即 a 的取值范围为e+)，.（12分）22（本小题满分 10 分）【选修 44：坐标系与参数方程】解：（1）由331xaaym ，消去 a，得1(0)xmym，又31xa R，即1C 的普通方程为10(0)xmym；（2分）由sin(sin4)，得2cos4sin，则有22cos4 sin，将cosx，siny代入得24xy，所以曲线2C 的参数方程为24()4xttyt，为参数.（5分）（2）由244xtyt，可得(0)yt xx，故 t 的几何意义是抛物线24xy
31、上的点（除顶点）与原点所在直线的斜率.将244xtyt，代入10 xmy，得二次方程24410(0)mttm，当16 160m 时，设该二次方程两根为 12tt，则有 121ttm，1 214t tm，所以1212121 211111414ttmkkttt tm.（10分）23（本小题满分 10 分）【选修 45：不等式选讲】解：（1）由题，可得5725()332272.xxf xxxxx ，不等式()3f x 等价于不等式组273xx ，或522333xx ，或5273.xx ，解不等式组，得 x 或502x 或 5102x，即0 10 x，所以()3f x 的解集为0 10，（5分）（2）由（1）可知()f x 在52，上单调递减，在 52，上单调递增，所以min59()22f xf .由绝对值三角不等式，可知222()|()()|g xxaxaxaxaaa.由于对任意 mR，存在 nR，使13()()2f mg n，只需minmin13()()2f xg x，即2913|22aa，所以222aa，解不等式得 21a ，所以 a 的取值范围为 2 1a ，.（10分）
